Гармонические колебания пружинного маятника

2.2. Свободные колебания. Пружинный маятник

Гармонические колебания пружинного маятника

Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия.

Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению (см. §2.1):

F (t) = ma (t) = –m ω2 x (t).

В этом соотношении ω – круговая частота гармонических колебаний. Таким свойством обладает упругая сила в пределах применимости закона Гука:

Силы любой другой физической природы, удовлетворяющие этому условию, называются квазиупругими.

Таким образом, груз некоторой массы m, прикрепленный к пружине жесткости k, второй конец которой закреплен неподвижно (рис. 2.2.1), составляют систему, способную в отсутствие трения совершать свободные гармонические колебания. Груз на пружине называют линейным гармоническим осциллятором.

Рисунок 2.2.1.Колебания груза на пружине. Трения нет

Круговая частота ω0 свободных колебаний груза на пружине находится из второго закона Ньютона:
откуда

Частота ω0 называется собственной частотой колебательной системы.

Период T гармонических колебаний груза на пружине равен

При горизонтальном расположении системы пружина–груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза.

В положении равновесия пружина растянута на величину x0, равную
и колебания совершаются около этого нового положения равновесия.

Приведенные выше выражения для собственной частоты ω0 и периода колебаний T справедливы и в этом случае.

Строгое описание поведения колебательной системы может быть дано, если принять во внимание математическую связь между ускорением тела a и координатой x: ускорение является второй производной координаты тела x по времени t:

Поэтому второй закон Ньютона для груза на пружине может быть записан в виде
или

(*)

где

Все физические системы (не только механические), описываемые уравнением (*), способны совершать свободные гармонические колебания, так как решением этого уравнения являются гармонические функции вида

Уравнение (*) называется уравнением свободных колебаний.

Следует обратить внимание на то, что физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний ω0 или период T.

Такие параметры колебательного процесса, как амплитуда xm и начальная фаза φ0, определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени.

Если, например, груз был смещен из положения равновесия на расстояние Δl и затем в момент времени t = 0 отпущен без начальной скорости, то xm = Δl, φ0 = 0.

Если же грузу, находившемуся в положении равновесия, с помощью резкого толчка была сообщена начальная скорость то ,

Таким образом, амплитуда xm свободных колебаний и его начальная фаза φ0 определяются начальными условиями.

Модель. Колебания груза на пружине

Существует много разновидностей механических колебательных систем, в которых используются силы упругих деформаций. На рис. 2.2.

2 показан угловой аналог линейного гармонического осциллятора, совершающий крутильные колебания. Горизонтально расположенный диск висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс.

При повороте диска на угол θ возникает момент сил Mупр упругой деформации кручения:

Это соотношение выражает закон Гука для деформации кручения. Величина χ аналогична жесткости пружины k. Второй закон Ньютона для вращательного движения диска записывается в виде (см. §1.23)
где I = IC – момент инерции диска относительно оси, проходящий через центр масс, ε – угловое ускорение.

По аналогии с грузом на пружине можно получить:

Крутильный маятник широко используется в механических часах. Его называют балансиром. В балансире момент упругих сил создается с помощью спиралевидной пружинки.

Рисунок 2.2.2.Крутильный маятник




Лучшие школы, лагеря, ВУЗы за рубежом
изготовление стикеров
aksiomaprint.ru
Математика, Аннглийский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: online подготовка к ЕГЭ на College.ru, библиотека ЭОРов и обучающие программы на Multiring.ru.

Источник: https://physics.ru/courses/op25part1/content/chapter2/section/paragraph2/theory.html

Гармонические колебания пружинного маятника

Гармонические колебания пружинного маятника

Рассмотрим систему, которая состоит из:

  • упругой спиральной пружины,
  • очень небольшого тела массы $m$.

Один конец пружины закреплен, к другому концу прикреплено тело $m$ рис.1.

Рисунок 1. Пружинный маятник. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Длина пружины без деформации равна $l_0$. При растяжении или сжатии этой пружины до длины $l$ возникает сила упругости ($\vec F$), которая хочет вернуть пружине первоначальную длину. Если изменения длины пружины мало и равно:

$\Delta y=l-l_0(1),$

то выполняется закон Гука, в соответствии с которым сила упругости прямо пропорциональна изменению длины пружины:

$F=-k\Delta y (2),$

где $k$ — коэффициент упругости пружины.

Уравнение колебаний пружинного маятника

В таком случае уравнение движения тела, которое присоединено к концу пружины можно записать так:

$m\ddot{y}=-ky(3).$

Введем обозначение:

$m\omega2=k$, тогда дифференциальное уравнение (3) можно переписать в виде:

$\ddot{y}+\omega2y=0(4).$

Функция вида:

$y=y_m\cos (\omega t+\delta) (5),$

где $y_m$ — амплитуда колебаний (максимальное смещение груза от положения равновесия), является решением уравнения (4) при любых постоянных значениях $y_m$ и $\delta$.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Частота и период колебаний пружинного маятника

Груз на пружине выполняет гармонические колебания:

  • круговая (циклическая) частота которых равна:

    $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}(6)$

  • период колебаний составляет:

    $T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}(7).$

  • частота колебаний его:

    $u=\frac{1}{T}=\frac {\omega}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}(8).$

Мы видим в (7), что период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды. Данное свойство колебаний называют изохронностью. Колебания пружинного маятника являются изохронными, пока выполняется закон Гука. Если растяжения становятся большими, то закон Гука будет нарушаться, тогда возникает зависимость периода колебаний от амплитуды.

Амплитуда и начальная фаза колебаний пружинного маятника

Амплитуду колебаний ($y_m$) и начальную фазу ($\delta$) невозможно определить из дифференциального уравнения (4). Данные неизменные параметры колебаний определяют исходя из начальных условий колебаний. Например, задают:

  • смещение $y$ в момент времени принимаемы за $t=0$;
  • и начальную скорость ($\dot{x}$) в этот же момент времени.

Замечание 1

Дифференциальное уравнение (4) справедливо при любых начальных условиях. Поскольку это уравнение может описывать любые колебания, которые способна совершать наша колебательная система. Конкретное колебание выделяют из этого комплекса при определении постоянных $y_m$ и $\delta$.

Энергия колебаний пружинного маятника

Потенциальная энергия тела, подвешенного на пружине, задается выражением:

$U=\frac{1}{2}ky2 (9).$

Принимая во внимание гармонический закон изменения $y$ (5), получим, что потенциальная энергия изменяется во времени:

$U(t)=\frac{k y_m2 }{2} \cos2 (\omega t+\delta)=\frac{1}{4}k y_m2(1+\cos 2(\omega t+\delta)) (10).$

Кинетическую энергию определяют как:

$E_k=\frac{mv2}{2}(11).$

Скорость движения тела на пружине вдоль оси $Y$ найдем как первую производную от $y(t)$ по времени:

$v=v_y=\dot{y}=-y_m\omega\sin (\omega t+\delta)(12).$

Закон изменения кинетической энергии в зависимости от времени с учетом (12) запишем как:

$E_k=m y_m2\omega2\sin2 (\omega t+\delta) (13),$

где учитывая формулу (6), окончательно получим:

$E_k=k y_m2\sin2 (\omega t+\delta)=\frac{1}{4}k y_m2(1-\cos 2(\omega t+\delta)) (14).$

Формулы (10) и (14) показывают, что кинетическая и потенциальная энергии колеблющегося пружинного маятника изменяются во времени. Они сами выполняют гармонические колебания около средней величины, равной $\frac{1}{4} k y_m2$ с удвоенной циклической частотой $2\omega$.

В тот момент времени, когда кинетическая энергия максимальна, потенциальная энергия равна нулю и наоборот. При этом полная механическая энергия, равная сумме кинетической и потенциальной энергии не изменяется:

$E=\frac{1}{2}kx2+\frac{1}{2}m\dot{x}=const (15)$

При этом полная энергия колебаний пружинного маятника, если учесть выражения (10) и (14), равна:

$E=U+E_k=\frac{1}{2}k y_m2 (16).$

Выражение (5) является решением дифференциального уравнения (15), если круговая частота колебаний определятся при помощи выражения (6), амплитуда – формулой (16).

Так, если задана полная механическая энергия $E$, то амплитуда колебаний ($y_m$) не является произвольной величиной.

При этом произвол имеется только в определении начальной фазы колебаний $\delta$, которую определяют начальные условия. Чтобы определить $\delta$ достаточно одного начального условия:

  • либо нужно иметь начальное смещение;
  • либо начальную скорость.

Наличие в решении единственной произвольной константы связывают с тем, что уравнение (15) является дифференциальным уравнением первого порядка по времени.

Заметим, что энергию в уравнении (15) можно рассматривать как параметр, принимающий любые значения большие нуля, которые определяют начальные условия колебаний. В этом случае уравнение (15) считают эквивалентным уравнению (4).

На основе закона сохранения энергии (15) сделаем следующие выводы:

  1. Наибольшая кинетическая энергия пружинного маятника равна его наибольшей энергии потенциальной энергии.

    Данный вывод очевиден, так как потенциальная энергия маячтника максимальна при смещении точки выполняющей колебания на максимально возможное расстояние, при этом скорость, а соответственно и кинетическая энергия осциллятора равна нулю.

    Наибольшую кинетическую энергию колебательная система имеет тогда, когда она проходит положение равновесия ($x=0$), то есть потенциальная энергия равна нулю.

    $\frac{mV2}{2}=\frac{m\omega2y_m2}{2}(17),$

    где $V$ — максимальная скорость.

  2. Средняя кинетическая энергия пружинного маятника ($E_{k,sr}$) равна его средней потенциальной энергии ($U_{sr}$).

    $U_{sr}=\frac{m\omega2y_m2}{4}(18),$

    $E_{k,sr}=\frac{m\omega2y_m2}{4}(19)$.

    Сравнивая (18) и (19) мы видим, что:

    $U_{sr}= E_{k,sr}=\frac {1}{2}E$.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/garmonicheskie_kolebaniya/garmonicheskie_kolebaniya_pruzhinnogo_mayatnika/

Booksm
Добавить комментарий