Гамильтониан

ГАМИЛЬТОНИАН

Гамильтониан

м.Hamiltonian, Hamiltonian function- анизотропный спиновый гамильтониан- возмущённый гамильтониан- вращательный гамильтониан- гамильтониан Борна — Оппе… смотреть

Тагил Таган Тагал Оним Оман Ольга Олин Олим Нто Нота Нона Номинал Ном Ноль Ногата Нога Нло Нить Нитон Нитинол Нит Нина Нимало Нилот Нил Нии Нгонь Нгал Нато Натан Натали Нант Нана Намол Намин Налог Налить Налим Нал Наин Нагота Нагон Нагло Наган Мтилон Мотин Мот Монтан Монт Моль Молить Могила Мнить Митинг Миот Мио Миньон Минь Минога Мина Мильтон Мильон Милонит Милон Мило Милин Милан Мила Миг Мгла Мга Мать Мат Мао Манто Мант Маннит Манна Маниот Манин Манила Манго Мангль Манганит Мангал Манг Манат Мана Ман Мальта Мало Малинин Малин Мали Маланьин Магот Маго Магнон Магнолит Магнитола Магнит Магнат Маг Льгота Лот Лонг Ломить Лом Логин Лог Лить Лита Лион Линь Линт Линон Лина Лимонит Лимон Лимит Лиминг Лиман Лима Лиго Лигнит Лигнин Лига Лиана Лгать Латин Лата Лань Лантан Ланита Ланина Лана Ламинат Ламантин Лама Лагман Лаг Итог Итл Итиль Ионит Ионина Ион Иолит Иоланта Иол Иоганн Иоаннит Иоанн Инь Интина Интимно Интим Инта Инна Инга Имаго Ильм Ильин Илот Илона Илитон Илим Иго Игнат Игла Игил Гто Гот Гонт Гон Голь Гол Гном Гнить Гниль Гнать Гнат Гмина Глот Глиома Глинт Глина Гитана Гит Гимн Гималаи Гильотина Гиль Гиалит Гать Гата Ганна Ганин Гана Гамон Гамить Гамильтониан Гамильтон Гам Гало Галит Галиот Галиона Галинин Галина Галат Галантно Гала Гаити Атом Атм Аон Антоним Антон Антина Антимоль Антигона Антига Антиаон Анти Ант Аноним Анон Аноа Аннот Аннат Аннамит Анна Анионит Анион Анин Анимато Аним Анилин Ангола Англоман Англо Ангиома Ангина Анатоль Анат Анани Анальгин Аналог Амт Амон Амниот Амнион Амин Амилан Амил Талан Талина Талион Амиант Амати Талон Таль Тальма Там Тамань Тамга Тамил Танго Танин Аман Тиамин Тигль Тим Тимин Тимол Тина Тинг Альтинг Альт Тиноль Тионил Алма Агам Агалит Ага Аант Томан Агат Агит Агнат Аил Алан Аланин Алигота Алин Алинин Альгин Альма Том Толь Тол Тога Тмин… смотреть

в квантовой теории — оператор, соответствующий Гамильтона функции в классич. теории. В квантовой механике Г.— оператор (Н), определяющий изм… смотреть

м. матем. funzione f di Hamilton; operatore m hamiltoniano

гамильто́ниан м.Hamiltonian function* * *Hamilton's operator

Начальная форма — Гамильтониан, винительный падеж, единственное число, мужской род, неодушевленное

матем., физ. гамільтоніа́н — классический гамильтониан — релятивистский гамильтониан

— см. Гамильтона функций, Гамилътона оператор.

гамільтаніян, -на- гамильтониан топологически нетривиальный

Русско-английский словарь по физике

Born-Oppenheimer Hamiltonian

Русско-английский словарь по физике

Breit Hamiltonian

Русско-английский словарь по физике

Breit-Pauli Hamiltonian

Русско-английский словарь по электронике

interaction Hamiltonian

Политехнический русско-французский словарь

hamiltonien m d’interaction

Русско-английский словарь по физике

interaction Hamiltonian

Русско-английский словарь по физике

vibronic interaction Hamiltonian

Русско-английский словарь по физике

perturbation Hamiltonian, perturbation interaction Hamiltonian

Политехнический русско-французский словарь

hamiltonien m perturbateur

Русско-английский словарь по физике

Hamiltonian of rotary motion

Русско-английский словарь по электронике

Heisenberg Hamiltonian магн.

Русско-английский словарь по физике

Ginzburg-Landau Hamiltonian

Политехнический русско-французский словарь

hamiltonien m dipolaire

Русско-английский словарь по физике

Landau Hamiltonian

Русско-английский словарь по физике

zero-order Hamiltonian

Русско-английский словарь по физике

oscillator Hamiltonian

Русско-английский словарь по физике

free field Hamiltonian

Русско-английский словарь по физике

strong interaction Hamiltonian

Русско-английский словарь по физике

Hamiltonian of a system

Русско-английский словарь по физике

Hamiltonian of an atom + field system

Русско-английский словарь по физике

Hamiltonian of the system in a nonrelativistic approximation

Русско-английский словарь по физике

weak interaction Hamiltonian

Русско-белорусский словарь математических, физических и технических терминов

гамiльтанiян тапалагiчна нетрывiяльны

Русско-белорусский физико-математический словарь

гамiльтанiян тапалагiчна нетрывiяльны

Источник: https://rus-physical-enc.slovaronline.com/506-%D0%93%D0%90%D0%9C%D0%98%D0%9B%D0%AC%D0%A2%D0%9E%D0%9D%D0%98%D0%90%D0%9D

Гамильтониан (оператор Гамильтона)

Гамильтониан

к библиотеке   к оглавлению   FAQ по эфирной физике   ТОЭЭ   ТЭЦ   ТПОИ   ТИ  

А   Б   В   Г   Д   Е   Ж   З   И   К   Л   М   Н   О   П   Р   С   Т   У   Ф   Х   Ц   Ч   Ш   Э   Ю   Я  

Гамильтониан (оператор Гамильтона) — квантовомеханич. оператор, соответствующий Гамильтона функции в классич. механике и определяющий эволюцию квантовой системы. В Шрёдинеера представлении эта эволюция описывается зависимостью от времени вектора состояния системы, к-рый удовлетворяет Шрёдингера ур-нию

где — гамильтониан. Если классич. функция Гамильтона не зависит явно от времени, то она является интегралом движения и значение её совпадает с энергией системы. Соответственно Г.

системы в этом случае является оператором энергии. Ур-ние (1) при этом имеет частные решения в виде стационарных состояний , где вектор состояния не зависит от времени и является собств. вектором Г.

, соответствующим значению энергии :

Ур-ние (2) определяет спектр энергии системы.

Оператор производной по времени физ. величины f также выражается через коммутатор Г. системы с оператором данной физ. величины:

Ур-ние (3) используется для описания эволюции системы в Гейзенберга представлении. Оно является квантовомеханич. аналогом ур-ния для классич. функции f, зависящей от координат qk и импульсов pk системы:

где — классич. скобка Пуассона,

(N — число степеней свободы системы). Сравнение ф-л (3) и (4) показывает, что в классич. пределе коммутатор должен переходить в .

Аналогичные соотношения должны выполняться для коммутаторов операторов, соответствующих и др. классич. физ. величинам. В согласии с этим Г. физ. системы получается из классич. функции Гамильтона заменой классич.

координат и импульсов частиц на соответствующие операторы, подчиняющиеся коммутац. соотношениям. При этом возникает неоднозначность в последовательности записи некоммутирующих операторов в выражениях, отвечающих произведению классич.

величин, к-рая устраняется симметризацией этих выражений, напр. qi рi заменяется на).

Приведём Г. для простейших систем:

а) частица массы т во внеш. потенц. поле V(x, у, z):

где и т. д.;

б) система n частиц с парным взаимодействием

Аналогично в квантовой теории взаимодействующих полей (т. е. в динамич. системах с бесконечным числом степеней свободы) Г. системы получается из классич. гамильтоновой функции полей заменой классич. величин (напр.

, амплитуд нормальных колебаний) соответствующими операторами. Возникающая при этом неопределённость в порядке записи произведений некоммутирующих операторов позволяет выбрать такую последовательность (т. н. нормальное произведение ),к-рая естеств.

образом определяет физ. вакуум системы (см. Квантовая теория поля).

Если физ. величина f не зависит явно от времени (=0), то условием её сохранения, согласно (3), является обращение в нуль коммутатора оператора этой величины с Г. системы, =0, т. е. условие одновременной измеримости данной величины и энергии системы.

Если Г. системы обладает к—л. симметрией, то оператор, осуществляющий преобразования симметрии, коммутирует с Г. Соответственно этому каждой симметрии Г. отвечает закон сохранения определённой величины (см. Нетер теорема). Так, симметрии Г.

относительно сдвигов и поворотов системы в пространстве соответствуют законы сохранения импульса и момента импульса системы, симметрии Г. относительно отражения координат частиц — сохранение пространственной чётности системы и т. д. Симметрия Г.

приводит, как правило, к вырождению уровней энергии.

Поскольку Г. отвечает физ. величине (функции Гамильтона или энергии), он является эрмитовым оператором. Эрмитовость Г. обеспечивает сохранение нормы вектора состояния (т. е. полной вероятности).

Однако для описания процессов с поглощением частиц (напр., процессов рассеяния адронов на ядрах) могут быть использованы комплексные потенциалы, соответствующие неэрмитовым Г. (см.

Оптическая модель ядра).

Литература по оператору Гамильтона

  1. Боголюбов H. H., Ширков Д. В., Квантовые поля, M., 1980.

С. С. Герштейн

к библиотеке   к оглавлению   FAQ по эфирной физике   ТОЭЭ   ТЭЦ   ТПОИ   ТИ  

Знаете ли Вы, почему «черные дыры» — фикция?Согласно релятивистской мифологии, «чёрная дыра — это область в пространстве-времени, гравитационное притяжение которой настолько велико, что покинуть её не могут даже объекты, движущиеся со скоростью света (в том числе и кванты самого света). Граница этой области называется горизонтом событий, а её характерный размер — гравитационным радиусом. В простейшем случае сферически симметричной чёрной дыры он равен радиусу Шварцшильда».На самом деле миф о черных дырах есть порождение мифа о фотоне — пушечном ядре. Этот миф родился еще в античные времена. Математическое развитие он получил в трудах Исаака Ньютона в виде корпускулярной теории света. Корпускуле света приписывалась масса. Из этого следовало, что при высоких ускорениях свободного падения возможен поворот траектории луча света вспять, по параболе, как это происходит с пушечным ядром в гравитационном поле Земли.Отсюда родились сказки о «радиусе Шварцшильда», «черных дырах Хокинга» и прочих безудержных фантазиях пропагандистов релятивизма.Впрочем, эти сказки несколько древнее. В 1795 году математик Пьер Симон Лаплас писал:»Если бы диаметр светящейся звезды с той же плотностью, что и Земля, в 250 раз превосходил бы диаметр Солнца, то вследствие притяжения звезды ни один из испущенных ею лучей не смог бы дойти до нас; следовательно, не исключено, что самые большие из светящихся тел по этой причине являются невидимыми.» [цитата по Брагинский В.Б., Полнарёв А. Г. Удивительная гравитация. — М., Наука, 1985]

Однако, как выяснилось в 20-м веке, фотон не обладает массой и не может взаимодействовать с гравитационным полем как весомое вещество. Фотон — это квантованная электромагнитная волна, то есть даже не объект, а процесс.

А процессы не могут иметь веса, так как они не являются вещественными объектами. Это всего-лишь движение некоторой среды. (сравните с аналогами: движение воды, движение воздуха, колебания почвы).

Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМАРыцари теории эфира

Источник: http://bourabai.ru/physics/0668.html

Гамильтониан

Гамильтониан

В классической физике функцией Гамильтона ($H\left(\overrightarrow{r},\overrightarrow{p}\right)$) называют полную энергию, которая выражена через импульсы и координаты частицы. Для одной частицы полная энергия равна:

где $p$ — импульс частицы, $m$ — масса частицы, $U$ — потенциальная энергия частицы.

В квантовой механике функции Гамильтона соответствует оператор. Он получится, если в выражение (1) вместо вектора импульса подставить оператор $\hat{p}$, равный:

То есть имеем:

где $-\frac{{\hbar }2}{2m}\triangle =-\frac{{\hbar }2}{2m}(\frac{{\partial }2}{\partial x2}+\frac{{\partial }2}{\partial y2}+\frac{{\partial }2}{\partial z2})$- оператор кинетической энергии.

Введенный гамильтониан дает возможность представиться уравнение Шредингера в компактном виде:

Определение энергетического спектра системы как задача на собственные значения оператора Гамильтона

Для стационарных процессов уравнение Шредингера можно записать в виде:

где $E_n$ — собственные значения энергии, $\Psi_n$ — собственные функции, являющиеся решениями уравнения (5).

Каждому собственному значению энергии соответствует одно или несколько состояний системы, которые описываются одной или несколькими собственными волновыми функциями.

В том случае, если одному уровню энергии соответствует несколько собственных функций или состояний, то такие уровни именуются вырожденными. Количество состояний, соответствующих одной энергии называют кратностью вырождения (статистическим весом $g(E)).$

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Задача поиска собственных значений и собственных функций оператора Гамильтона самая важная среди задач на собственные значения и собственные функции операторов физических величин. Данная задача имеет название: стационарное уравнение Шредингера.

Существенный вклад в разнообразие в эту задачу вносит вид потенциальной энергии, которая входит в гамильтониан. Энергетический спектр может быть дискретным, непрерывным, а может представлять собой часть дискретных уровней, а часть иметь непрерывного спектра.

Известный набор собственных состояний Гамильтона полезен для решения уравнения (4). Допустим, что в начальный момент времени система пребывает в состоянии $\varphi \left(\overrightarrow{r}\right):$

Представим решение уравнения (5) в виде разложения в ряд по собственным функциям ($\Psi_n(\overrightarrow{r})$) оператора Гамильтона (данное разложение является всегда возможным и единственным):

где $C_n$ — постоянные коэффициенты разложения. Подставим выражение (7) в уравнение (5) получаем:

Примем во внимание то, что $\Psi_n$ — собственное состояние оператора Гамильтона с собственным значением $E_n$ преобразуем выражение (8) к виду:

Равенство (9) выполняется, если:

Решением дифференциального уравнения (10) служит:

Коэффициенты $C_n$ определяют по волновой функции при $t=0\ (6)$:

Из выражения (12) найдем:

Учтем, что при $T_n\left(t=0\right)=1.\ $Следовательно, решением нестационарного уравнения Шредингера с начальным условием (6) является выражение:

Формула (14) описывает эволюцию собственного состояния оператора Гамильтона с течением времени.

В нашем случае плотность вероятности не зависит от времени и ${\left|\Psi(\overrightarrow{r},t)\right|}2={\left|\Psi_n(\overrightarrow{r})\right|}2$.

В связи с этим собственные состояния оператора Гамильтона именуют стационарными. Постоянными во времени являются средние значения физических величин.

И так, если Гамильтониан не зависит в явном виде от времени, то полную волновую функцию ($\Psi\left(\overrightarrow{r,}\ t\right)$), которая характеризует состояние системы можно представить как произведение координатной части $\Psi\left(\overrightarrow{r}\ \right)$ и экспоненты $e{-\frac{i}{\hbar }E_nt}.$

Пример 1

Задание: Найдите уровни энергии дискретного спектра частицы в поле $U\left(x\right)=-\alpha \delta \left(x\right),\ \alpha >0.$

Решение:

В качестве основы для решения задачи используем стационарное уравнение Шредингера:

\[\hat{H}\Psi=E\Psi\left(1.1\right),\]

Запишем оператор Гамильтона ($\hat{H}$) в явном виде в уравнении (1.1), получим:

\[-\frac{{\hbar }2}{2m}\frac{{\partial }2\Psi\left(x\right)}{\partial x2}-\alpha \delta \left(x\right)\Psi\left(x\right)=E\Psi\left(x\right)\left(1.2\right).\]

Связанные состояния частицы в поле, указанном в условиях задачи могут быть только при условии $E\[\Psi{''}\left(x\right)+\frac{2m}{{\hbar }2}\alpha \delta \left(x\right)\Psi\left(x\right)-\frac{2m}{{\hbar }2}E\Psi\left(x\right)=0\to \Psi{''}\left(x\right)+\frac{2m}{{\hbar }2}\alpha \delta \left(x\right)\Psi\left(x\right)-{\rho }2\Psi\left(x\right)=0\left(1.3\right),\]

где ведено следующее обозначение: ${\rho }2=-\frac{2m}{{\hbar }2}E.$ Общее решение уравнения (1.3) имеет вид:

\[\Psi_1\left(x\right)=Ae{\rho x}+Be{-\rho x}\left(1.4\right).\]

Волновая функция должна стремится к нулю при $x\to -\infty .$ Следовательно, $B=0$. В области $-\infty \[\Psi_1\left(x\right)=Ae{\rho x}\left(1.5\right).\]

Для области $0\[\Psi_2\left(x\right)=De{-\rho x}\left(1.6\right).\]

В соответствии с условием непрерывности волновой функции:

\[\Psi_1\left(0\right)=\Psi_2\left(0\right)\left(1.7\right).\]

Можно сделать вывод о том, что $A=D.$

Найдем интеграл от уравнения Шредингера в области $0-\varepsilon \[\Psi'\left(0+\varepsilon \right)-\Psi'\left(0-\varepsilon \right)+\frac{2m}{{\hbar }2}\alpha \Psi\left(0\right)=0\left(1.8\right).\]

Производная от $\Psi$ претерпевает разрыв при $x=0$. Значит, величина $\rho =\frac{2m\alpha }{{\hbar }2}$ — единственное значение. Из выражения ${\rho }2=-\frac{2m}{{\hbar }2}E$ следует, что имеется только одно состояние дискретного спектра с энергией:

\[E=-\frac{m{\alpha }2}{2\hbar }.\]

Ответ: $E=-\frac{m{\alpha }2}{2\hbar }-\ $единственное значение.

Пример 2

Задание: Задан оператор Гамильтона $\hat{H}=-\frac{{\hbar }2}{2m}\frac{{\partial }2}{\partial x2}-\alpha \delta \left(x\right).\ $Какой вид имеет волновая функция для частицы?

Решение:

Для установления вида волновой функции следует выражение $\Psi\left(x\right)=Ae{-\rho \left|x\right|}\left(1.5\right)$, полученное в примере $1$ нормировать на единицу:

\[\int\limits0_{-\infty }{A2}e{2\rho x}+\int\limits{\infty }_0{A2}e{-\rho 2x}=A2\left(\int\limits0_{-\infty }{e{2\rho x}}+\int\limits{\infty }_0{e{-2\rho x}}\right)=A2\left(\frac{2}{2\rho }\right)=\frac{A2}{\rho }=1\left(2.1\right).\]

Из выражения (2.1) получаем:

\[A=\sqrt{\rho }.\]

Ответ: $\Psi\left(x\right)=\sqrt{\rho }e{-\rho \left|x\right|}$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/predmet_i_zadachi_atomnoy_fiziki/gamiltonian/

Booksm
Добавить комментарий