Формулы параллелограмма, трапеции, квадрата, прямоугольника и ромба

5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

Формулы параллелограмма, трапеции, квадрата, прямоугольника и ромба

урок 1: Прямоугольник, ромб и квадрат. Часть 1


урок 2: Прямоугольник, ромб и квадрат. Часть 2

Лекция: Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

Четырехугольники

Один подраздел многоугольников мы изучили в прошлом вопросе, сейчас же перейдем к изучению четырехугольников – это многоугольники, у которых 4 стороны, 4 вершины, 4 угла.

В школьном курсе геометрии изучают несколько основных типов четырехугольников – это параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и трапецию. В этом же вопросы мы рассмотрим все, кроме трапеции, поскольку все первые 4 типа многоугольников имеют некоторые похожие черты – у них противолежащая пара сторон параллельна.

Отличительная особенность всех четырехугольников – это то, что сумма всех углом равна 360 градусов.

Ну давайте начнем характеризовать все четырехугольники, имеющиеся в теме.

Параллелограмм

Исходя из названия, можно судить, что у данного четырехугольника что-то параллельное. Это совершенно верно, параллелограмм – это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

Все четырехугольники характеризуются своими свойствами, поэтому давайте ознакомимся со свойствами параллелограмма:

  • Параллельные стороны параллелограмма попарно равны между собой

  • Противолежащие углы параллелограмма также равны
  • Диагонали параллелограмма пересекаются в точке, которая делит из пополам

Если у четырехугольника присутствуют перечисленные свойства, то он является параллелограммом:

  • Какой — то Один признак выполнен
  • Все свойства параллелограмма можно использовать

Для любого параллелограмма справедлива следующая формула, по которой ясно, что сумма квадратов сторон диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:

Данное свойство вытекает из теоремы Пифагора для двух прямоугольных треугольников.

Любую сторону можно найти по известным величинам диагоналей и углов между ними:

Найти стороны параллелограмма можно не только через диагонали, но и через высоты и площади:

Одними из наиболее важных формул являются формулы для нахождения диагоналей найти их можно по известным сторонам и углу между ними:

Но на самом деле самыми важными формулами являются формулы для нахождения площадей:

Квадрат

Правильный четырехугольник – это квадрат. Как известно, у всех правильных фигур равны стороны и равны углы. Квадрат можно назвать частным случаем параллелограмма, поскольку все свойства и признаки параллелограмма видны и у квадрата.

Свойства квадрата:

  • Все стороны равны.
  • Все углы равны 90 градусам.
  • Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом, а точка их пересечения делит их пополам.

Отличительной особенностью диагонали квадрата является то, что она есть гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными сторонам квадрата, а гипотенузой равной диагонали. Именно поэтому из теоремы Пифагора диагональ квадрата всегда в раз больше его стороны.

Так как у квадрата все стороны равны, то найти периметр и площадь этой фигуры не составляет ни малейшего труда:

Прямоугольник

Эта фигура характеризуется тем, что все её углы прямые, то есть по 90 градусов.

Свойства прямоугольника:

  • У прямоугольника все противолежащие стороны параллельны и равны между собой.
  • Все углы прямые.
  • Точка пересечения диагоналей делит их на равные части.

Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его сторон:

Как можно было понять, данная формула была выведена из теоремы Пифагора, поскольку в основе прямоугольника лежат 2 прямоугольных треугольника.

Формулы нахождения сторон по известным величинам диагоналей, а также площадей:

Формулы сторон прямоугольника

Формулы периметра прямоугольника

Формулы площадей

Ромб

И наконец-то мы подошли к последнему из параллелограммов, который называется ромбом.

У ромба, как и у квадрата, все стороны равно, но, как и у любого параллелограмма, его стороны попарно параллельны.

Отличительной особенностью ромба считается то, что его диагонали, пересекаясь под прямым углом, делятся пополам.

Не имеет смысла перечислять все свойства ромба, поскольку они аналогичны свойствам параллелограмма, а так же квадрата.

У ромба так же существует связь между длинами диагоналей и его сторон. Поскольку в основании ромба лежат 4 прямоугольных треугольника, то можно было вывести формулу связи диагоналей и сторон через теорему Пифагора:

Формулы для сторон ромба

Формулы площадей ромба

Предыдущий урокСледующий урок

Источник: https://cknow.ru/knowbase/710-512-parallelogramm-pryamougolnik-romb-kvadrat.html

Портал педагога | Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат их свойства, формулы для вычисления их площадей

Формулы параллелограмма, трапеции, квадрата, прямоугольника и ромба

Наталья Александровна Моховикова
Должность: учитель
Учебное заведение: МБОУ СОШ пос.свх. Агроном
Населённый пункт: Лебедянь
Наименование материала: методическая раработка
Тема: Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат их свойства, формулы для вычисления их площадей
25.12.2016
Раздел: среднее образование

Назад

Учебный элемент

Наименование :

Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат их свойства, формулы для вычисления их площадей

Выполнила:

преподаватель математики Моховикова Наталья Александровна

Предмет

: математика

учебный элемент

Наименование:

Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства, формулы для вычисления их площадей Стр.1

Цель: изучив данный учебный элемент, Вы будете знать: какая фигура называется

четырехугольником, виды четырехугольника, их свойства, признаки и формулы для

нахождения площадей.

Оборудование

Количество

Наименование/Описание

1 2 3 4 5 Учебник Плакат с “родословным деревом” семейства “четырехугольников”. Карточки с занимательными задачами Шапочки-эмблемы “глав семейств”. “Гербы родов” — эмблемы параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата и трапеции. Литература : 1. А. В. Погорелов “Геометрия 7-11”, Просвещение, М., 2008 г. 2. М. В. Ткачева “Домашняя математика”, М., Просвещение, 1994 г., стр. 120. 3. М. Ю. Шуба “Занимательные задания в обучении математике”, М., Просвещение, 1995г., стр. 137. 4. Журнал “Математика в школе”, 1989 г., № 5, стр. 107. 5. Е. Е. Семёнов “Изучаем геометрию”, М., Просвещение, 1987 г., стр. 6. З. А. Дегтярева “Математика после уроков”, г. Краснодар, 1996 г., стр. 93. Рассказ свой подтверждая чертежами.

учебный элемент

Наименование:

Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства, формулы для вычисления их площадей

Стр 2

1.Четырёхугольник

– это геометрическая фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки – сторонами четырехугольника. A B C D

четырехугольник

A A B B C C D D

Фигуры, не являющиеся

четырехугольниками

учебный элемент

Наименование:

Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства, формулы для вычисления их площадей Стр. 3 2.Четырехугольники делятся на выпуклые и невыпуклые. Выпуклые – все вершины лежат по одну сторону от прямой, проходящей через две соседние вершины.

Невыпуклые – вершины лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две соседние вершины. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360° Нас будут интересовать только выпуклые четырехугольники. Это параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция.

A B C D A B C D

учебный элемент

Наименование:

Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства, формулы для вычисления их площадей Стр. 4

Параллелограмм

–четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма

1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. 2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. A B C D AB II CD BC II AD AB = CD BC = AD AО = ОC BО = ОD A D B C A D B C О

учебный элемент

Наименование:

Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства, формулы для вычисления их площадей Стр. 5 Признаки параллелограмма 1. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм 2.

Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм. 3. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Площадь параллелограмма

BC || AD

BC = AD

BC = AD

АB = СD

AО = ОC

BО = ОD

ВН – высота параллелограмма A D B C A B C D D B C О A A D B C Н AD – основание

S = BH ∙ AD

учебный элемент

Наименование:

Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства, формулы для вычисления их площадей Стр. 6

Ромб

– это параллелограмм, у которого все стороны равны Свойства ромба 1. В ромбе противоположные углы равны.

S = AB ∙ AD ∙ sin α

BC|| AD, AB || CD

AB = BC = CD = AD

A D B C Н

α

B A C D

А = ∟ С , ∟ В = ∟ D

учебный элемент

Наименование:

Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства, формулы для вычисления их площадей Стр. 7 2. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, взаимно перпендикулярны и делят углы ромба пополам Площадь ромба АН – высота ромба DС — основание AО = ОC, BО = ОD AC ┴ BD

BAO =

DAO,

ABO =

CBO

S = АH ∙ DС

A C D B B A C D О О A D Н С В

S = АВ ∙ sin α

учебный элемент

Наименование:

Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства, формулы для вычисления их площадей Стр. 8

Прямоугольник

– это параллелограмм, у которого все углы прямые. Свойства прямоугольника 1. В прямоугольнике противоположные стороны равны

S = 1/2∙ АC BD

AB || CD, BC || AD

∟ А = ∟ В = ∟ С = ∟ D =

90° A D С В

α

А D O B C A В С D и противоположные углы равны. 2. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.

AB = CD

BC = AD

BD = AC

AО = ОC

BО = ОD

учебный элемент

Наименование:

Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства, формулы для вычисления их площадей Стр. 9 Признак прямоугольника Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник Площадь прямоугольника Частный вид прямоугольника – квадрат.

Квадрат

– это прямоугольник, у которого все стороны равны.

BD = AC

S = АB ∙ AD

A D B C A D B C О О A D B C О О A В С D Свойства квадрата 1. Уквадрата все стороны равны и все углы равны. AB || CD, BC || AD, , AB = CD = BC = AD

∟ А = ∟ В = ∟ С = ∟ D =

90° AB = CD = BC = AD ∟ А = ∟ В = ∟ С = ∟ D = 90°

учебный элемент

Наименование:

Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства, формулы для вычисления их площадей Стр. 10 2. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, равны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам. Площадь квадрата AC ┴ BD BD = AC AО = ОC, BО = ОD

BAO =

DAO,

ABO =

CBO A В С D A В С D A В С D О

Трапеция

–четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

S = АВ²

S =1/2 АС²

BC || AD, AB || CD

BC и AD – основания,

AB и CD – боковые стороны

учебный элемент

Наименование:

Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства, формулы для вычисления их площадей Стр. 11 Виды трапеции Равнобедренная – боковые стороны равны Прямоугольная – один из углов прямой

А

В

С

D

А

В

С

D

A B C D Произвольная Средняя линия трапеции Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме Площадь трапеции ВН – высота трапеции ВС и AD — основания Средняя линия трапеции

это отрезок, соединяющий середины боковых сторон. MN- средняя линия

MN || AD, MN || AD,

MN = (BC + AD) / 2

S = 1/2 ∙ BH ∙ (ВС + AD)

учебный элемент

Наименование:

Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства, формулы для вычисления их площадей Стр. 12

ЗАДАЧИ

Четырехугольник

Найдите углы выпуклого четырёхугольника, если они равны друг другу.

Параллелограмм

Периметр параллелограмма равен 48 см. Найдите стороны параллелограмма, если разность двух сторон равна 7 см

Ромб

Найдите периметр ромба ABCD, в A B C D

М

М

N

N

A B C D H котором ∟ В = 60, АС= 10,5 см.

Прямоугольник

Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники АОВ и АОD равнобедренные.

Квадрат

Является ли четырёхугольник квадратом, если его диагонали: а) равны и взаимно перпендикулярны; б) взаимно перпендикулярны и имеют общую середину; в) равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину.

Трапеция

Найдите углы B и D трапеции ABCD с основаниями AD и BC, если ∟А = 36 ,∟С= 117 .

учебный элемент

Наименование:

Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства, формулы для вычисления их площадей Стр. 13

Проверка усвоения.

Контрольные вопросы.

1. Какая фигура называется четырехугольником? 2. Какие виды четырехугольников вы знаете? 3. Какие четырехугольники относятся к выпуклым? 4. Что такое параллелограмм? 5. Назовите свойства и признаки параллелограмма 6. Как найти площадь параллелограмма? 7. Какие четырехугольники обладают свойствами параллелограмма? 8. Что такое прямоугольник? 9. Назовите свойства прямоугольника

10.Как найти площадь прямоугольника? 11.Что такое ромб? 12.Назовите свойства ромба 13.Как найти площадь ромба 14.Что такое квадрат? 15.Перечислите свойства квадрата 16.Как найти площадь квадрата 17.Какой четырехугольник называется трапецией? 18.Какая трапеция называется равнобокой? 19.Как найти площадь трапеции?

В раздел образования

Источник: https://portalpedagoga.ru/servisy/publik/publ?id=16014

Площадь параллелограмма, треугольника и трапеции — урок. Геометрия, 8 класс

Формулы параллелограмма, трапеции, квадрата, прямоугольника и ромба
Необходимо определить, что такое высота параллелограмма.

Это перпендикуляр, проведённый из любой точки стороны параллелограмма к прямой, содержащей противоположную параллельную сторону. Обычно высоту проводят из вершины параллелограмма. Так как параллелограмм имеет две пары параллельных сторон, то он имеет высоты двух различных длин.

Высота \(BE\), проведённая между длинными сторонами, короче высоты \(BF\), проведённой между короткими сторонами.

Так как стороны ромба одинаковы, то высоты ромба также одинаковы: \(BE = BF\).

 

Площадь произвольного параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению высоты и стороны, к которой проведена высота.

Проведём высоты из двух вершин \(B\) и \(C\) к стороне \(AD\) .

Прямоугольные треугольники \(ABE\) и \(DCF\) равны (равные гипотенузы как противоположные стороны параллелограмма и равные катеты как расстояние между параллельными прямыми).

Параллелограмм \(ABCD\) и прямоугольник \(EBCF\) — равновеликие, так как состоят из равных фигур:

SABCD=SABE+SEBCD;SEBCF=SEBCD+SDCF.

Значит, площадь параллелограмма определяется так же, как площадь прямоугольника:

SEBCF=BE⋅BC;SABCD=BE⋅BC=BE⋅AD.

Если обозначить сторону через \(a\), высоту — через \(h\), то:

Sп−гр=a⋅h.

Для определения площади параллелограмма можно использовать короткую сторону и высоту, проведённую к короткой стороне.

Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, они перпендикулярны и делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.

SABCD=4⋅SABO=4⋅BO⋅AO2=2⋅BO⋅AO.

Формула определения площади ромба:

Sромба=d1⋅d22.

Эта формула справедлива для определения площади любого четырёхугольника, если его диагонали перпендикулярны.

Так как диагонали квадрата равны, то для определения площади квадрата в формуле достаточно длины одной диагонали:

Sквадрата=d22.

Площадь произвольного треугольника

Так как диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, то площадь треугольника равна половине площади параллелограмма.

 

Sтреуг=aha2, где \(h\) — высота (на рисунке — \(BE\)), проведённая к стороне \(a\) (на рисунке — \(AD\)).

Для определения площади треугольника можно использовать любую сторону и высоту, проведённую к этой стороне.

Удобно иногда использовать формулу Герона, если известны длины всех трёх сторон треугольника.

— формула Герона, где \(a\), \(b\) и \(c\) — стороны треугольника, \(p\) — полупериметр треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника

Так как катеты прямоугольного треугольника взаимно перпендикулярны, то один катет может быть высотой, а другой катет — стороной, к которой проведена высота. Получаем формулу:

S=a⋅b2, где \(a\) и \(b\) — катеты.

Для прямоугольного треугольника также можно применять формулы площади произвольного треугольника.

Пример:

1. вычислим площадь треугольника со сторонами \(17\) см, \(39\) см, \(44\) см.

Решение:

p=17+39+442=50;SΔ=50⋅50−17⋅50−39⋅50−44=50⋅33⋅11⋅6==25⋅2⋅3⋅11⋅11⋅2⋅3=5⋅2⋅3⋅11=330см2.

Чтобы легче было вычислить корень, необходимо не перемножать все числа, а раскладывать их на множители: a⋅a=a.

Формулу Герона можно использовать для вычисления высоты треугольника.

Пример:

2. вычислим меньшую высоту треугольника, стороны которого равны \(15\) см, \(13\) см, \(4\) см.

Решение:

используем две формулы вычисления площади:  SΔ=aha2 и SΔ=pp−ap−bp−c.

Меньшая высота в треугольнике — та, которая проведена к большей стороне, поэтому \(a =\) \(15\) см.

SΔ=pp−ap−bp−c=16⋅1⋅3⋅12=24см2.

Составляем уравнение:

15⋅h2=24⋅215⋅h=48;h=4815=3,2(см).

Иногда формула Герона используется для вычисления площади параллелограмма, если даны стороны параллелограмма и его диагональ.

Пример:

3. дан параллелограмм со сторонами \(17\) см и \(39\) см, длина диагонали равна \(44\) см. Вычислим площадь параллелограмма.  

Решение:

диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Используем результат, полученный в первом примере:

Sпараллелограмма=2⋅SΔ=2⋅330=660(см2).

Трапеция имеет одну пару параллельных сторон, следовательно, имеет одну высоту — перпендикуляр, проведённый между параллельными сторонами.

Чаще всего высоту трапеции проводят из вершин или через точку пересечения диагоналей.

Площадь трапеции определим как сумму площадей треугольников, на которые трапецию делит диагональ.
 

SABCD=SABD+SDBC;SABCD=AD⋅BE2+BC⋅DF2=AD⋅BE2+BC⋅BE2==AD+BC⋅BE2.

Если обозначить параллельные стороны (основания) трапеции через \(a\) и \(b\), высоту через \(h\), то:

Sтрап=a+b2⋅h.

Обрати внимание!

Важные следствия:

1. если высоты треугольников равны, то их площади относятся как длины оснований.

2. Если основания треугольников равны, то их площади относятся как длины высот.

3. Если высоты треугольников равны и их основания равны, то они равновелики, например, медиана делит треугольник на две равновеликие части.

Источник: https://www.yaklass.ru/p/geometria/8-klass/ploshchadi-figur-9235/ploshchad-parallelogramma-treugolnika-i-trapetcii-9238/re-5498cfac-2fcc-49e0-a4ac-23cf5dabe20d

Геометрия. Урок 4. Четырехугольники

Формулы параллелограмма, трапеции, квадрата, прямоугольника и ромба

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

-уроки на канале Ёжику Понятно.

страницы:

Определение четырехугольника

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек (вершин) и четырех отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырехугольники бывают выпуклые  ( A B C D )  и невыпуклые  ( A 1 B 1 C 1 D 1 ) .

Выпуклые четырехугольники

В задачах ОГЭ встречаются выпуклые четырехугольники, поэтому подробно изучим их.

Смежные стороны – соседние стороны, которые выходят из одной вершины. Пары смежных сторон:  A B  и  A D ,   A B  и  B C ,   B C  и  C D ,   C D  и  A D .

Противолежащие стороны – несмежные стороны (соединяют разные вершины). Пары противолежащих сторон:  A B  и  C D ,   B C  и  A D .

Противолежащие вершины – вершины, не являющиеся соседними (лежат друг напротив друга). Пары противолежащих вершин:  A  и  C ,   B  и  D .

Диагонали четырехугольника – отрезки, соединяющие противолежащие вершины.  A C  и  B D  – диагонали четырехугольника  A B C D .

Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются в одной точке.

Площадь произвольного выпуклого четырехугольника можно найти по формуле:

S = 1 2 d 1 d 2 ⋅ sin φ

где  d 1  и  d 2  – диагонали четырехугольника,  φ  – угол между диагоналями (острый или тупой – не важно).

Рассмотрим более подробно некоторые виды выпуклых четырехугольников.

Класс параллелограммов: параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат.

Класс трапеций: произвольная трапеция, прямоугольная трапеция, равнобокая (равнобедренная) трапеция.

Параллелограмм

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

  • Противолежащие стороны равны.
  • Противоположные углы равны.
  • Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
  • Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна  180 ° .
  • Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон. d 1 2 + d 2 2 = 2 ( a 2 + b 2 )

Площадь параллелограмма можно найти по трём формулам.

S = a ⋅ h a = b ⋅ h b

Как произведение стороны и высоты, проведенной к ней.

Поскольку стороны имеют разные длины, то высоты, которые к ним проведены, тоже будут иметь разные длины.

S = a ⋅ b ⋅ sin α

Как произведение двух смежных (соседних) сторон на синус угла между ними.

S = 1 2 ⋅ d 1 ⋅ d 2 ⋅ sin φ

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Ромб

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

  • Диагонали пересекаются под прямым углом.
  • Диагонали являются биссектрисами углов, из которых выходят.
  • Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь ромба можно найти по трём формулам.

S = a ⋅ h

Как произведение стороны ромба на высоту ромба.

S = a 2 ⋅ sin α

Как квадрат стороны ромба на синус угла между двумя сторонами.

S = 1 2 ⋅ d 1 ⋅ d 2

Как полупроизведение диагоналей ромба.

Прямоугольник

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы равны  90 ° .

Свойства прямоугольника:

  • Диагонали прямоугольника равны.
  • Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь прямоугольника можно найти по двум формулам:

S = a ⋅ b

Как произведение двух смежных (соседних) сторон прямоугольника.

S = 1 2 ⋅ d 2 ⋅ sin φ

Как полупроизведение диагоналей (так как они обе равны, обозначим их буквой d ) на синус угла между ними.

Квадрат

Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата:

  • Сохраняет свойства ромба.
  • Сохраняет свойства прямоугольника.

Площадь квадрата можно вычислить по двум формулам:

S = a 2

Как квадрат стороны.

S = d 2 2

Как полупроизведение квадратов диагоналей (диагонали в квадрате равны).

Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

Стороны, которые параллельны друг другу называются основаниями, другие две стороны называются боковыми сторонами.

B C  и  A D  – основания,  A B  и  C D  – боковые стороны трапеции  A B C D .

Свойства трапеции:

сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна  180 ° .

∠ A + ∠ B = 180 °

∠ C + ∠ D = 180 °

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Средняя линия параллельна основаниям. Её длина находится по формуле: m = a + b 2

Площадь трапеции можно найти по двум формулам:

S = a + b 2 ⋅ h = m ⋅ h

Как полусумму оснований на высоту. Поскольку полусумма оснований есть средняя линия трапеции, можно найти площадь трапеции как произведение средней линии на высоту.

S = 1 2 d 1 ⋅ d 2 ⋅ sin φ

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Виды трапеций

Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой два угла прямые.

Равнобокая (равнобедренная) трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойство равнобокой трапеции: углы при основании равны

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с четырехугольниками

Скачать домашнее задание к уроку 4.

Источник: https://epmat.ru/modul-geometriya/urok-4-chetyrehugolniki/

Booksm
Добавить комментарий