Формулы квантовой механики

Основные положения квантовой физики

Формулы квантовой механики

В 1900г. немецкий физик М.Планк своими исследованиями продемонстрировал, что излучение энергии происходит дискретно, определенными порциями — квантами, энергия которых зависит от частоты световой волны. Теория М.Планка не нуждалась в концепции эфира и преодолевала противоречия и трудности электродинамики Дж.Максвелла.

Эксперименты М.Планка привели к признанию двойственного характера света, который обладает одновременно корпускулярными и волновыми свойствами. Понятно, что такой вывод был несовместим с представлениями классической физики. Теория М.Планка положила начало новой квантовой физики, которая описывает процессы, протекающие в микромире.

Опираясь на идеи М.Планка, А.Эйнштейн предложил фотонную теорию света, согласно которой свет есть поток движущихся квантов. Квантовая теория света (фотонная теория) рассматривает свет как волну с прерывистой структурой. Свет есть поток неделимых световых квантов — фотонов. Гипотеза А.

Эйнштейна позволила объяснить явление фотоэффекта — выбивания электронов из вещества под действием электромагнитных волн. Стало ясно, что электрон выбивается фотоном лишь в том случае, если энергия фотона достаточна для преодоления силы взаимодействия электронов с атомным ядром. В 1922 г. за создание квантовой теории света А.

Эйнштейн получил Нобелевскую премию.

Объяснение процесса фотоэффекта опиралось, помимо квантовой гипотезы М.Планка, также на новые представления о строении атома. В 1911г. английский физик Э.Резерфорд предложил планетарную модель атома.

Модель представляла собой атом как положительно заряженное ядро, вокруг которого вращаются отрицательно заряженные электроны. Возникающая при движении электронов по орбитам сила уравновешивается притяжением между положительно заряженным ядром и отрицательно заряженными электронами.

Общий заряд атома равен нулю, поскольку заряды ядра и электронов равны друг другу. Почти вся масса атома сосредоточена в его ядре, а масса электронов ничтожно мала. С помощью планетарной модели атома было объяснено явление отклонения альфа-частиц при прохождении через атом.

Поскольку размеры атома велики по сравнению с размерами электронов и ядра, альфа-частица без препятствий проходит через него. Отклонение наблюдается только тогда, когда альфа-частица проходит близко от ядра, в этом случае электрическое отталкивание вызывает ее резкое отклонение от первоначального пути.

В 1913г. датский физик Н.Бор предложил более совершенную модель атома, дополнив идеи Э.Резерфорда новыми гипотезами. Постулаты Н.Бора звучали следующим образом:

1. Постулат стационарных состояний. Электрон совершает в атоме устойчивые орбитальные движения по стационарным орбитам, не испуская и не поглощая энергии.

2. Правило частот. Электрон способен переходить с одной стационарной орбиты на другую, при этом испуская или поглощая энергию. Поскольку энергии орбит дискретны и постоянны, то при переходе с одной из них на другую всегда испускается или поглощается определенная порция энергии.

Первый постулат позволил ответить на вопрос: почему электроны при движении по круговым орбитам вокруг ядра не падают на него, т.е. почему атом остается устойчивым образованием?

Второй постулат объяснил прерывность спектра излучения электрона. Квантовые постулаты Н.Бора означали отказ от классических физических представлений, которые до этого времени считались абсолютно истинными.

Несмотря на быстрое признание теория Н.Бора все же не давала ответов на многие вопросы. В частности, ученым не удавалось точно описать многоэлектронные атомы. Выяснилось, что это связано с волновой природой электронов, представлять которые в виде твердых частиц, движущихся по определенным орбитам, ошибочно.

В действительности состояния электрона могут меняться. Н.Бор предположил, что микрочастицы не являются ни волной, ни корпускулой. При одном типе измерительных приборов они ведут себя как непрерывное поле, при другом — как дискретные материальные частицы.

Выяснилось, что представление о точных орбитах движения электронов также ошибочно. Вследствие своей волновой природы электроны скорее «размазаны» по атому, причем весьма неравномерно. В определенных точках плотность их заряда достигает максимума.

Кривая, связывающая точки максимальной плотности заряда электрона, и представляет собой его «орбиту».

В 20-30-е гг. В.Гейзенберг и Л. де Бройль заложили основы новой теории — квантовой механики. В 1924г. в работе «Свет и материя»

Л. де Бройль высказал предположение об универсальности корпускулярно-волнового дуализма, согласно которому все микрообъекты могут вести себя и как волны, и как частицы.

На основе уже установленной дуальной (корпускулярной и волновой) природы света он высказал идею о волновых свойствах любых материальных частиц. Так, например, электрон ведет себя как частица, когда движется в электромагнитном поле, и как волна, когда проходит сквозь кристалл.

Эта идея получила название корпускулярно-волнового дуализма. Принцип корпускулярно-волнового дуализма устанавливает единство дискретности и непрерывности материи.

В 1926г. Э.Шредингер на основе идей Л. де Бройля построил волновую механику.

По его мнению, квантовые процессы — это волновые процессы, поэтому классический образ материальной точки, занимающей определенное место в пространстве, адекватен только макропроцессам и совершенно неверен для микромира.

В микромире частица существует одновременно и как волна, и как корпускула. В квантовой механике электрон можно представить как волну, длина которой зависит от ее скорости. Уравнение Э.Шредингера описывает движение микрочастиц в силовых полях и учитывает их волновые свойства.

На основе этих представлений в 1927г. был сформулирован принцип дополнительности, по которому волновые и корпускулярные описания процессов в микромире не исключают, а взаимно дополняют друг друга, и только в единстве дают полное описание.

При точном измерении одной из дополнительных величин другая претерпевает неконтролируемое изменение. Понятия частицы и волны не только дополняют друг друга, но и в то же время противоречат друг другу. Они являются дополняющими картинами происходящего.

Утверждение корпускулярно-волнового дуализма стало основой квантовой физики.

В 1927г. немецкий физик В.Гейзенберг пришел к выводу о невозможности одновременного, точного измерения координаты частицы и ее импульса, зависящего от скорости, эти величины мы можем определить только с определенной степенью вероятности.

В классической физике предполагается, что координаты движущегося объекта можно определить с абсолютной точностью. Квантовая механика существенно ограничивает эту возможность. В.Гейзенберг в работе «Физика атомного ядра» изложил свои идеи.

Вывод В. Гейзенберга получил название принципа соотношения неопределенностей, который лежит в основе физической интерпретации квантовой механики.

Его суть в следующем: невозможно одновременно иметь точные значения разных физических характеристик микрочастицы — координаты и импульса.

Если мы получаем точное значение одной величины, то другая остается полностью неопределенной, существуют принципиальные ограничения на измерение физических величин, характеризующих поведение микрообъекте.

Таким образом, заключил В.Гейзенберг, реальность различается в зависимости от того, наблюдаем мы ее или нет. «Квантовая теория уже не допускает вполне объективного описания природы», — писал он.

Измерительный прибор влияет на результаты измерения, т.е. в научном эксперименте влияние человека оказывается неустранимым.

В ситуации эксперимента мы сталкиваемся с субъект-объектным единством измерительного прибора и изучаемой реальности.

Важно отметить, что это обстоятельство не связано с несовершенством измерительных приборов, а является следствием объективных, корпускулярно-волновых свойств микрообъектов. Как утверждал физик М. Борн, волны и частицы — это только «проекции» физической реальности на экспериментальную ситуацию.

Два фундаментальных принципа квантовой физики — принцип соотношения неопределенностей и принцип дополнительности — указывают на то, что наука отказывается от описания только динамических закономерностей. Законы квантовой физики — статистические. Как пишет В.

Гейзенберг, «в экспериментах с атомными процессами мы имеем дело с вещами и фактами, которые столь же реальны, сколь реальны любые явления повседневной жизни. Но атомы или элементарные частицы реальны не в такой степени. Они образуют скорее мир тенденций или возможностей, чем мир вещей и фактов».

В дальнейшем квантовая теория стала базой для ядерной физики, а в 1928г. П.Дирак заложил основы релятивистской квантовой механики.

Источник: https://xn----ctbjzeloexg6f.xn--p1ai/%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F-%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%BE%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D1%8B%D0%B5-%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B9-%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B8.html

Квантовая физика. Квантовая механика. Формулы

Формулы квантовой механики

Ква́нтовая фи́зика — раздел теоретической физики, в котором изучаются квантово-механические и квантово-полевые системы и законы их движения. Основные законы квантовой физики изучаются в рамках квантовой механики и квантовой теории поля и применяются в других разделах физики.

Формула Энштейна:
Спектр атома водорода:
Правило Бора:

hν = En – Em,где  m = 1,2,3…; n = m + 1, m + 2, m + 3…

Энергия связи атомного ядра:

Eсв = Δmc2;Δm = Zmp + Nmn – mя.

Закон радиоактивного распада: 

Ква́нтовая меха́ника — раздел теоретической физики, описывающий физические явления, в которых действие сравнимо по величине с постоянной Планка. Предсказания квантовой механики могут существенно отличаться от предсказаний классической механики. Поскольку постоянная Планка является чрезвычайно малой величиной по сравнению с действием повседневных объектов, квантовые эффекты в основном проявляются только в микроскопических масштабах. Если физическое действие системы намного больше постоянной Планка, квантовая механика органически переходит в классическую механику. В свою очередь, квантовая механика является нерелятивистским приближением (то есть приближением малых энергий по сравнению с энергией покоямассивных частиц системы) квантовой теории поля.Классическая механика, хорошо описывающая системы макроскопических масштабов, не способна описать все явления на уровне молекул, атомов,электронов и фотонов. Квантовая механика адекватно описывает основные свойства и поведение атомов, ионов, молекул, конденсированных сред, и других систем с электронно-ядерным строением. Квантовая механика также способна описывать поведение электронов, фотонов, а также других элементарных частиц, однако более точное релятивистски инвариантное описание превращений элементарных частиц строится в рамках квантовой теории поля. Эксперименты подтверждают результаты, полученные с помощью квантовой механики. , что эта энергия пропорциональна частоте ν с коэффициентом пропорциональности, определённым по формуле:где h — постоянная Планка, и 

О́птика (от др.-греч. ὀπτική, optike' появление или взгляд) — раздел физики, рассматривающий явления, связанные с распространением электромагнитных волн преимущественно видимого и близких к нему диапазонов (инфракрасное и ультрафиолетовое излучение).

Оптика описывает свойства света и объясняет связанные с ним явления. Методы оптики используются во многих прикладных дисциплинах, включая электротехнику, физику, медицину (в частности, офтальмологию). В этих, а также в междисциплинарных сферах широко применяются достижения прикладной оптики.

Вместе с точной механикой оптика является основой оптико-механической промышленности.

Длина световой волны  зависит от скорости распространения волны в среде  и связана с нею и частотой  соотношением:где  — показатель преломления среды. В общем случае показатель преломления среды является функцией длины волны: . Зависимость показателя преломления от длины волны проявляется в виде явления дисперсии света.

Характеристиками света являются:

Универсальным понятием в физике является скорость света . Её значение в вакууме представляет собой не только предельную скорость распространения электромагнитных колебаний любой частоты, но и вообще предельную скорость распространения информации или любого воздействия на материальные объекты. При распространении света в различных средах фазовая скоростьсвета  обычно уменьшается: , где  есть показатель преломления среды, характеризующий её оптические свойства и зависящий от частоты света: . В областианомальной дисперсии света показатель преломления может быть и меньше единицы, а фазовая скорость света больше . Последнее утверждение не входит в противоречие с теорией относительности, поскольку передача информации с помощью света происходит не с фазовой, а, как правило, с групповой скоростью.
«,»author»:»»,»date_published»:null,»lead_image_url»:»https://lh6.googleusercontent.com/proxy/Y9ctt6deHmbsF-GMgoQpulhU6yzi0JUj8n9SW_hPR7qcz_dmWFSCSP0aQywW9pgyjalFTA=w1200-h630-p-k-no-nu»,»dek»:null,»next_page_url»:»http://tytphysiki.blogspot.com/p/blog-page_8689.html»,»url»:»http://tytphysiki.blogspot.com/p/blog-page_8.html»,»domain»:»tytphysiki.blogspot.com»,»excerpt»:»ÐšÐ²Ð°ÌÐ½Ñ‚овая фи́зика — раздел теоретической физики , в котором изучаются квантово-механические и квантово-полевые системы и законы их …»,»word_count»:486,»direction»:»ltr»,»total_pages»:2,»pages_rendered»:2}

Источник: http://tytphysiki.blogspot.com/p/blog-page_8.html

Основные положения квантовой механики

Формулы квантовой механики

Двойственность свойств микрообъектов обусловливает невозможность описания их движения и взаимодействия в рамках классической механики. Потребовалась разработка новой механической теории — квантовой механики, основные принципы и законы которой установлены в конце 20-х годов ХХ в.

Принцип неопределенности В. Гейзенберга. Физическая интерпретация «неклассического» поведения микрообъектов была дана немецким ученым В. Гейзенбергом, который в 1927 г.

, исходя из созданного им математического аппарата квантовой механики, установил связь между предельными точностями определения («неопределенностями») координаты () и соответствующей проекции импульса () микрочастицы:

. (4.7)

Данное соотношение выражает принцип неопределенности Гейзенберга, который определяет фундаментальный предел возможности одновременного измерения пар определенных переменных. В частности, в случае движения электрона в атоме (∆х~10-10м) невозможно достаточно точно определить его ориентацию, что делает неприменимым к данному движению понятия «траектории».

Соотношение неопределенностей связывает также энергию (Е) и время (t):

. (4.8) Данное соотношение объясняет возможность виртуального состояния микрообъектов.

Следует подчеркнуть, что неопределенности обусловлены не техническими возможности определения точных значений данных параметров микрочастиц, а принципиальным «несуществованием» одновременно точных значений для данных пар параметров.

Эти соотношения свидетельствуют об объективно существующих ограничениях в возможности описания микрообъектов на языке классической механики.

Принцип дополнительности Н. Бора. Волновая функция. Н.

Бор показал, что корпускулярная и волновая модели микрообъектов никогда не предстают одновременно: получение информации об одних характеристиках микрообъекта неизбежно связано с потерей информации о других, дополнительных к первым.

В зависимости от эксперимента микрообъект проявляет либо свою корпускулярную природу, либо волновую, но не обе сразу. Эти две взаимоисключающие стороны природы микрообъекта следует рассматривать как диалектически дополнительные (единство противоположностей).

Описание микрообъектов не может быть дано на основе классической механики, в которой нет места корпускулярно-волновому дуализму. Однозначной характеристикой микрочастицы в квантовой механике является волновая функция — величина, позволяющая определить параметры движения в заданных внешних условиях.

Математически волновая функция описывает некоторый процесс, периодический во времени и в пространстве, длина волны которого определяется формулой де Бройля. Однако природа этого процесса не имеет аналогов в макромире, сама волновая функция — ненаблюдаемая величина, не имеющая физического смысла.

В квантовой механике с ней связывают так называемые «волны вероятности», так как квадрат амплитуды волной функции является мерой вероятности обнаружения микрочастицы в какой-либо области пространства.

Хотя основное уравнение квантовой механики позволяет однозначно определить зависимость волновой функции от координаты и времени в определенных условиях движения микрообъекта, оно фиксирует связь не осуществившихся событий, а потенциальных возможностей этих событий и выражающих их вероятностей.

Поэтому однозначная причинно-следственная связь событий, проявляющаяся в классической механике, не свойственна микромиру, здесь эта связь включает и необходимое и случайное. Даже зная начальное состояние и условия движения микрообъекта, невозможно однозначно предсказать его последующее поведение.

Описание его состояния с помощью волновой функции отражает изначально присущую микрообъектом вероятностность поведения. Ненаглядность создаваемых квантовой механикой моделей микромира не противоречит объективности даваемых ею знаний, но отражает качественное отличие свойств объектов микро- и макромира.

Особые свойства микрочастиц. Развитие релятивистской квантовой механики, описывающей движение микрообъектов со скоростями, сравнимыми со скоростью света, уже в конце двадцатых годов, привело к новым открытиям. В 1927 г. английский ученый Поль Дирак установил возможность существования у всех микрочастиц двойников – античастиц.

Античастицы отличаются от частиц знаком электрического (или другого) заряда. Античастица электрона (е-) – позитрон(е+), имеющая положительный электрический заряд, была открыта в 1932 г.

Взаимодействие частицы и античастицы приводит к аннигиляции (исчезновению) обеих и превращению их в кванты электромагнитного излучения:

е — + е + → 2γ (4.9)

Возможна и обратная реакция:

2γ е — + е + (4.10)

Однако она становится реальной только в силовом поле ядра атома. В отсутствии такого поля электрон и позитрон появляются как виртуальные частицы.

В микро-мире могут возникать виртуальные частицы. В соответствии с принципом неопределенности в течение некоторого времени:

(4.11)

возможно существование частиц с полной энергией ΔЕ = 2. Если это время слишком мало (меньше, чем 10-22 с), частицы невозможно экспериментально обнаружить, они виртуальны. Виртуальными являются все переносчики фундаментальных взаимодействий, фигурирующие в модели обменного взаимодействия.

Описание взаимодействия микрообъектов в настоящее время реализуется на основе развивающейся квантовой теории взаимодействий, которая является ядром всей современной физики. Она дает общий подход ко всем известным типам взаимодействий.

Физический вакуум. Одним из важнейших результатов такого подхода является представление о физическом вакууме.

Слово vacuum по латыни означает пустота. По обыденным житейским представлениям вакуум — это пространство, которое абсолютно ничего не содержит: ни молекул, ни атомов, ни элементарных частиц. Однако физики трактуют физический вакуум иначе. Чтобы пояснить что такое физический вакуум, проведем мысленный эксперимент.

Допустим, мы имеем сосуд сферической формы с идеально изолирующими и идеально отражающими стенками. Пусть в исходном состоянии в сосуде не обнаруживаются (не регистрируются) ни частицы вещества, ни кванты электромагнитного излучения т.е. фотоны, и нам представляется, что в сосуде пустота, не содержащая в себе абсолютно ничего.

Эксперимент начнем с того, что через очень малое прозрачное окошко в стенке сосуда начнем накачивать его электромагнитным излучением. Небольшая часть излучения после многократных отражений выйдет обратно из окошка, большая его часть останется внутри сосуда. Со временем количество фотонов в сосуде будет возрастать.

В некоторый момент времени какой-нибудь фотон внутри сосуда столкнется с другим фотоном и появится электрон-позитронная пара (в соответствии с (4.10)). Теперь вакуум перестал быть пустым, теперь он содержит две частицы: электрон и позитрон. Откуда взялись эти частицы? Их не было в электромагнитном излучении.

Следовательно, электрон и позитрон всегда находились в вакууме в каком-то нерегистрируемом виртуальном состоянии. Как уже указывалось, частицу можно зафиксировать, если время ее жизни более 10-22с. В «неподогретом» электромагнитным излучением вакууме пытающиеся появиться электрон и позитрон сразу исчезают в течение времени меньшем, чем 10-22 с.

, то есть умирают, не успев родиться. Обнаружить т.е детектировать их удалось лишь после того, как они получили энергию от фотонов и перешли из мерцающего, виртуального, в реальное состояние. Таким образом, физический вакуум можно представить себе как объект физического мира, в исходном состоянии которого не удается обнаружить приборами каких-либо частиц.

Путем воздействия на физический вакуум, например, электромагнитным излучением можно увеличить его энергию (нагреть), и перевести его в возбужденное состояние, при котором из вакуума рождаются реальные частицы: электрон и позитрон.

Если, посылая свет в окошко, продолжать увеличивать плотность электромагнитного излучения в сосуде, то фотоны начнут сталкиваться с электронами и позитронами. Вследствие такого воздействия рождаются более массивные положительно и отрицательно заряженные частицы: мюоны или мезоны.

Дальнейшее «накачивание» сферического сосуда фотонами вызовет рождение частиц пионов или мезонов, а затем внутри сосуда начнут образовываться пары протон-антипротон и нейтрон-антинейтрон.

Таким образом, в результате такого нарастающего энергетического воздействия фотонами на пустоту внутри сосуда можно получить все частицы, необходимые для построения атомных ядер и атомов Возникает вопрос: « А был ли вакуум пуст?» Если мы наблюдаем образование частиц из вакуума при его «разогреве», то они там были, но были в непроявленном, недетектируемом состоянии, следовательно, физический вакуум содержит плотно упакованный набор всех известных нам в природе частиц, находящихся в виртуальном состоянии. По выражению российского физика А.Б. Мигдала (1911 – 1991), физический вакуум можно представить себе как физический объект, который «кишит еще неродившимися» материальными частицами.

Свойства физического вакуума описывает квантовая теория поля, позволяющая понять механизм всех известных нам типов взаимодействий.

Квантовая теория поля рассматривает физический вакуум как прародителя известного нам мира и дает его определение: физический вакуум — это низшее энергетическое состояние квантовых полей, характеризующееся отсутствием каких-либо реальных материальных частиц. В этом состоянии обращаются в нуль импульс, электрический заряд и другие характеристики частиц.

В то же время физический вакуум не следует понимать как абсолютную пустоту. В нем постоянно происходят флуктуации (случайные всплески) энергии, приводящие к возникновению виртуальных частиц. Время жизни виртуальных частиц очень мало, не более 10-22с, и они не успевают вступить во взаимодействие с реальными частицами. Поэтому их можно считать чем-то вроде «призраков».

Однако «призрачный туман» виртуальных частиц участвует в коллективных взаимодействиях с реальными объектами материального мира, например, с ансамблями реальных частиц. Известен целый ряд физических эффектов, обусловленных этим взаимодействием. Например, сдвиг энергетических уровней в спектре водорода, аномалии в величине магнитного момента электрона и др.

Согласно современным космологическим теориям, в основе построения которых лежит концепция Большого Взрыва (подробнее об этом ниже), возникновение Вселенной явилось следствием фазового перехода физического квантового вакуума. В силу соотношений неопределенности В. Гейзенберга (3.

8), в вакууме непрерывно происходят флуктуации энергии и спонтанные рождения и аннигиляции виртуальных частиц. Таким образом, физический вакуум не пуст, а насыщен всевозможными флуктуациями всевозможных полей и представляет собой физический объект, при коллективном взаимодействии с которым обнаруживают свои свойства все элементарные частицы (микрообъекты) реального мира.

Взаимодействие микрообъектов с вакуумом по современным воззрениям свидетельствует о целостности мира, о несведении его к отдельным элементам.

Если согласно классической науке мир рассматривался как совокупность независимых отдельных частей, взаимодействующих по детерминистским законам, то в квантовой теории ни один объект не может быть полностью индивидуализирован.

По словам Борна, Вселенная является неделимым целым, отдельные частицы которого имеют смысл абстракций или приближений, справедливых лишь в классическом пределе. Во второй половине XX в. основное внимание уделяется созданию единой квантово-релятивистской теории структуры материи и фундаментальных взаимодействий.

Взаимосвязь классической и квантовой механики. Согласно существующему в науке принципу соответствия, разные, но верные теории, относящиеся к одному кругу явлений, должны быть взаимосвязаны.

В наличии такой связи мы убедились на примере релятивисткой и классической механики: вторая имеет более узкие рамки применимости и является частным случаем первой при выполнении условия (2.14). Аналогичная связь имеет место и в случае квантовой механики.

Если произведение энергии объекта и времени соответствующего процесса слишком велико по сравнению с постоянной Планка

Е t >>h, (4.13)

волновые свойства объектов не проявляются, и соотношения квантовой механики переходят в формулы классической механики, которая является ее частным случаем.

Наиболее общей теорией, имеющей самые большие границы применимости, является релятивистская квантовая механика. Выше названные три теории — ее частные случаи, которые реализуются при следующих условиях: при выполнении (2.

14) – квантовая механика, при выполнении (4.11) – релятивистская, при выполнении обоих условий одновременно – классическая.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/2_40650_osnovnie-polozheniya-kvantovoy-mehaniki.html

Формулы квантовой механики

Формулы квантовой механики

Определение 1

Квантовая механика представляет собой раздел теоретической физики, основной задачей которого является описание физических явлений, где действие сопоставимо по величине с постоянной Планка. Законы квантовой и классической механики существенно отличаются.

Основные формулы квантовой механики приводятся в уравнении Шредингера, принципе неопределенности Гейзенберга и квантовой гипотезе Планка.

Уравнение Шредингера

Решение уравнения Шредингера представляет основную задачу квантовой механики.

Пусть $\psi (\vec r)$ представляет амплитуду вероятности нахождения в точке М частицы. Благодаря стационарному уравнению Шредингера, мы можем определить, что функция $\psi (\vec r)$ удовлетворяет следующему уравнению:

$-\frac {\bar h2 2m} {abla2} \psi+U( \vec r ) \psi=E \psi$

Где $abla2$ это оператор Лапласа, а $U=U(\vec r)$ представляет потенциальную энергию частицы как функции от $\vec r$.

Получение точного решения стационарного уравнения Шредингера становится возможным только для нескольких систем (сравнительно простых). Среди таких выделяют:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

  • квантовый гармонический осциллятор;
  • атом водорода.

В отношении большинства реальных систем с целью получения решений могут использоваться разные приближенные методы, подобные теории возмущений.

Принцип неопределенности Гейзенберга

Соотношение неопределенности возникает между абсолютно любыми квантовыми наблюдаемыми, которые определяются не коммутирующими операторами. Неопределенность между координатой и импульсом возникает следующим образом:

Пусть $\Delta x$ будет среднеквадратическим отклонением координаты частицы $M$, которая движется вдоль оси $x$, а $\Delta p$ — среднеквадратическим отклонением ее импульса.

Величины $\Delta x$ и $\Delta p$ будет связывать следующее неравенство:

$\Delta x \Delta p \geqslant \frac {\bar h}{2}$, где $h$ постоянная Планка

$\bar{h}=\frac{h}{2\pi}$

Исходя из соотношения неопределенностей, становится невозможным абсолютно точное определение одновременно координаты и импульса частицы. Так, при повышении точности измерения координаты, будет уменьшаться максимальная точность измерения импульса и наоборот. Параметры, для которых справедливо данное утверждение, называют в физике канонически сопряженными.

Это центрирование на измерении, автором которого считается Н. Бор. Соотношение неопределенности теоретически выводится из постулатов Борна и Шредингера. Оно имеет отношение не к самому измерению, а к состоянию объекта, утверждая, что для любого возможного состояния будут выполняться соответствующие соотношения неопределенности (в том числе и для измерений)

Таким образом, в состояниях, где неопределенность координаты будет меньше, больше станет неопределенность импульса.

Существует также неопределенность между временем и энергией. Пусть $\Delta E$ – это среднеквадратическое отклонение при измерениях энергии определенного состояния квант-системы. $\Delta t$ при этом характеризует время жизни такого состояния. Тогда будет выполняться следующее неравенство:

$\Delta E\Delta t \geqslant \frac {\bar h}{2}$

У состояния, продолжаемого короткое время, не может быть хорошо определенная энергия. В то же время, несмотря на определенную схожесть этих двух соотношений неопределенности, их природа будет совершенно различной.

Квантовая гипотеза Планка

Гипотеза Планка представляет идею М. Планка, озвученную в 190 г., об испускании и поглощении энергии. Так, согласно гипотезе физика, при тепловом излучении энергия будет как поглощаться, так и испускаться не непрерывным образом, а в виде отдельных порций (квантов).

Каждая такая квант-порция будет иметь энергию $E$, пропорциональную частоте $v$ излучения:

$E=hv=\bar{h}\omega$

Где $h$ или $\bar{h}$ определяются формулой:

$\bar{h}=\frac{h}{2\pi}$

$h$ или $\bar{h}$ это коэффициент пропорциональности, который впоследствии был назван постоянной Планка.

На основании данной гипотезы Планк предложил теоретический вывод о соотношении температуры тела и испускаемым данным телом излучения.

Постоянная Планка представляет чрезвычайно малую величину в сравнении с действием объектов при макроскопическом движении, а квант-эффекты зачастую проявляются в микро-масштабах.

В случае, если физическое действие системы будет намного больше, чем постоянная Планка, квантовая механика органически переходит в классическую. Квантовая механика, в свою очередь, представляет нерелятивистское приближение малых энергий (сравнительно с энергией покоя массивных частиц системы) в квантовой теории поля.

Позднее данная гипотеза была подтверждена экспериментальным образом. Ее выдвижение считается моментом зарождения квантовой механики.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/kvantovaya_mehanika/formuly_kvantovoy_mehaniki/

3. Уравнение Шредингера. Основы квантовой механики. Физика. Курс лекций

Формулы квантовой механики

1. Уравнение Шредингера — основное динамическое уравнение релятивистской квантовой механики. Оно играет такую же фундаментальную роль, как уравнение Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла в классической теории электромагнетизма.

Уравнение Шредингера описывает изменение во времени состояния квантовых объектов, характеризуемое волновой функцией: . Если известна волновая функция в начальный момент времени, то решая уравнение Шредингера, можно найти в любой последующий момент времени t.

Для частицы массы m, движущейся в потенциальном поле U=U(r), временное уравнение Шредингера имеет вид:

,

где

— оператор Лапласа, x, y, z – координаты.

Решение дифференциального уравнения есть — волновая функция, которая прямого физического смысла не имеет. Смысл имеет квадрат модуля волновой функции , как плотность вероятности обнаружения частицы (системы) в момент времени t в квантовом состоянии в точке пространства с координатами x, y, z в объеме .

Эта вероятностная интерпретация временной функции — один из основных постулатов квантовой механики.

2. Стационарное (не зависящее от времени) уравнение Шредингера имеет вид:

,

где W — полная, а (W-U) — кинетическая энергия частицы (системы). Потенциальная энергия в уравнении Шредингера не зависит от времени. Решением такого уравнения является функция вида:

.

Оператор Лапласа в сферических координатах имеет вид:

3. Зная -функцию, можно рассчитать поведение микрочастиц. Вероятность обнаружения частицы в объёме V определяется:

.

В одномерном случае вероятность найти частицу в интервале от X1 до X2 рассчитывается так:

4. Среднее значение любой характеристики микрочастицы вычисляется по формуле:

в одномерном случае:

— величины, определяющие границы изменения величины x, они могут быть любые, включая и, и 0, и .

5. Если необходимо найти наиболее вероятное положение частицы в пространстве, то необходимо исследовать на экстремум функцию .

6. Функция , где — функция в комплексном виде, а -функция, сопряжённая . Возвращаясь к формуле (42), имеем:

Тогда ,

так как , то

не зависит от времени, что означает стационарное (независимое от t) состояние системы.

7.

Для квантовых систем, движение которых происходит в ограниченной области пространства, решение уравнения Шредингера существует только для некоторых дискретных значений: нумерация которых определяется набором целых квантовых чисел. Значениям ряда соответствуют волновые функции Значения называются спектром собственных значений энергии, а соответствующие волновые функции — -спектром собственных функций. (i=1,2, …n).

8. Частица массой m в бесконечной прямоугольной яме шириной .

Собственные волновые функции

,

где n — квантовое число, n=1,2,3….

Собственные значения энергии:

9. Гармонический осциллятор

— собственная частота;

— потенциальная энергия.

Собственные значения энергии

,

где n=1,2…. — квантовое число, k— коэффициент жёсткости действующей упругой силы, m — масса частицы.

10. Движение квантовой частицы отличается от движения классической частицы. В квантовой механике существует конечная вероятность обнаружить частицу в классически запрещённой области пространства.

Потенциальный барьер — ограниченная в пространстве область высокой потенциальной энергии частицы в силовом поле.

Если энергия частицы больше высоты потенциального барьера , то в квантовой механике существует ненулевая вероятность отражения частицы от такого барьера, хотя в классической физике частица при таких условиях двигается, не замечая барьера.

При квантовая частица проходит (просачивается) сквозь потенциальный барьер. Такое явление называется туннельным эффектом. Вероятность прохождения частицей барьера называется коэффициентом прозрачности D.

Решая уравнение Шредингера для прямоугольного потенциального одномерного барьера высотой и шириной , получим коэффициент прозрачности : (52)

Для потенциального одномерного барьера произвольной формы (рисунок 1):

и определяются при условии , где задается явной функцией координаты . Согласно рисунку равенство определяет координату , – координату . В формуле присутствует под знаком корня, где x – переменная, которая учитывается при интегрировании.

Рисунок 1

Движение в центрально-симметричном поле (примером является движение одного электрона в поле ядра с зарядом ). Если Z=1, то это атом водорода, при Z>1 – атом называется водородоподобным.

При решении этой задачи надо использовать уравнение Шредингера в сферических координатах. Потенциальная энергия в СИ имеет вид:

(смотри раздел 4)

Собственные функции для описания поведения электрона в водородоподобных атомах:

где , –радиальная и угловая волновые функции, n, l, m – квантовые числа (главное, орбитальное, магнитное). При переходе в сферическую систему координат элемент объема

Пределы полного изменения параметров от до ; – от до ; – от до .

Вероятность обнаружения электрона в шаровом слое от до от ядра равна

.

Тогда плотность вероятности расположения в шаровом слое толщиной равна

.

И при определении наиболее вероятного расстояния электрона до ядра на экстремум исследуют именно функцию .

Источник: https://siblec.ru/estestvennye-nauki/osnovy-kvantovoj-mekhaniki/3-uravnenie-shredingera

Основные формулы и методические рекомендации по решению задач на квантовую механику

Формулы квантовой механики

Данная тема посвящена посвятим тому, что вспомним некоторые важные определения, понятия и формулы, относящиеся к квантовой механике, а также дадим общие рекомендации по решению задач на данную тему.

И так, как же возникло учение о квантах? Из курса электродинамики известно, что теоретические исследования Джеймса Клерка Максвелла показали, что свет есть электромагнитные волны определенного диапазона, что позже подтвердил Генрих Герц в своих опытах.

Электромагнитная теория смогла объяснить многие наблюдаемые явления, в том числе, давление, интерференцию и дифракцию света. Но такое явление, как дисперсия, теория Максвелла объяснить не смогла.

Это было сделано голландским ученым Хендриком Лоренцем, создавшим электронную теорию взаимодействия света с веществом.

Но и дополненная теория Максвелла нуждалась в уточнениях. Ведь такие явления, как, например, распределение мощности излучения в спектре абсолютно черного тела или возникновение линейчатых спектров и законы фотоэффекта, она объяснить не могла.

Нова теория была выдвинута в одна тысяча девятисотом году МаксомПланком. Согласно его гипотезе, электроны атомов излучают свет не непрерывно, а отдельными порциями — квантами. При этом энергия кванта пропорциональна частоте колебаний электрона в веществе.

Квантовые представления о свете, введенные в науку Планком, развил далее АльбертЭйнштейн. Он пришел к выводу о том, что свет не только излучается, но и распространяется в пространстве, и поглощается веществом в виде квантов.

Вот таким вот образом и возникло учение о квантах и, собственно, квантовая физика, которая смогла объяснить ряд явлений, наблюдаемых при взаимодействии света с веществом.

В 1887 году Генрих Герц открыл явление внешнего фотоэффекта, которое было изучено русским ученым Александром Григорьевичем Столетовым.

Внешний фотоэффект возникает при взаимодействии вещества с поглощаемым электромагнитным излучением, при этом происходит вырывание электронов с поверхности вещества.

Проводя свои эксперименты, Столетов установил следующий закономерностифотоэффекта:

1) При отсутствии напряжения между электродами фототок отличен от нуля, что можно объяснить наличием у фотоэлектронов при вылете кинетической энергии.

2) При некотором значении напряжения между электродами сила фототока перестает зависеть от напряжения, то есть достигает насыщения.

3) Если поменять местами полярности катода и анода, то в электростатическом поле между электродами фотоэлектроны будут тормозится и, при некотором значении этого отрицательного напряжения, фототок полностью прекратится.

На основании этих экспериментальных данных были сформулированы законы фотоэффекта.

Первый закон фотоэффекта звучит следующим образом: сила фототока насыщения пропорциональна общему числу фотоэлектронов, покидающих поверхность металла за единицу времени.

Второй закон формулируется так: при увеличении частоты падающего света максимальная кинетическая энергия линейно возрастает. При этом кинетическая энергия не зависит от интенсивности падающего света.

Третий закон говорит о том, что красная граница фотоэффекта зависит только от рода вещества катода. Напомним, что красная граница — это минимальная частота (или максимальная длина волны), при которой еще возможен фотоэффект.

А четвертый закон утверждает, что фотоэффект практически безинерционен, так как с момента облучения металла светом, до вылета электрона проходит время порядка миллиардной доли секунды.

В 1905 году для объяснения экспериментальных законов фотоэффекта Эйнштейн использовал квантовые представления о свете, введенные Планком, и применил их к поглощению света веществом.

И так фотон, обладающей энергией hν, падая на поверхность металла, поглощается электроном поверхностного слоя металла. И если энергия фотона равна или превышает работу выхода, то электрон вылетает из металла. При этом часть энергии фотона тратится на совершение работы выхода, а остальная часть переходит в кинетическую энергию фотоэлектрона.

Таким образом, было установлено, что свету присущи и корпускулярные свойства. В настоящее время принято считать, что свет обладает двойственной корпускулярно-волновой природой.

Двойственность свойств света находит свое выражение в формулах, которые вы сейчас видите на экране.

В них корпускулярные характеристики фотона (энергия, масса и импульс) связаны с волновой характеристикой — частотой.

В 1927 году Нильс Бор сформулировал принцип дополнительности.

Звучит он следующим образом: для полного понимания природы света необходимо учитывать, как волновые, так и корпускулярные свойства света: они взаимно дополняют друг друга.

Однако следует помнить, что для объяснения какого-либо эксперимента следует использовать либо волновые, либо корпускулярные представления о природе света, но не те и другие одновременно.

Теперь немного поговорим о физике атома и атомного ядра.

Bзвестно, что атомы представляют собой очень прочные системы, несоизмеримо более устойчивые, чем составленные из атомов молекулы. Поэтому до конца 19 века атомы считались простейшими неделимыми частицами вещества.

Однако последующее развитие науки опровергло эту точку зрения. Было установлено, что атомы представляют собой достаточно сложные образования.

Одним из таких фактов стали опыты Резерфорда по рассеиванию альфа-частиц.

На основании проделанных опытов Резерфорд предложил ядерную (или планетарную) модельатома. Согласно модели, в центре атома находится положительно заряженное ядро, в котором сосредоточена почти вся масса атома. А вокруг неподвижного ядра по замкнутым орбитам вращаются электроны, число которых совпадает с порядковым номером элемента в таблице Менделеева.

Однако некоторое время и эта модель считалась не состоятельной, так как согласно расчетам, в этой модели атом должен быть неустойчивым. Противоречия возникли из-за того, что к электронам в атомах применяли законы классической физики, а в микромире действуют свои законы.

Первым, кто признал невозможность применения классических законов физики к атомам, был датский ученый Нильс Бор, который в 1913 году ввел элементы квантовой теории в модель атома Резерфорда и создал неклассическую теорию атома. В основе этой теории лежит трипостулата.

Первыйпостулат (его еще называют постулатомстационарныхсостояний), говорит о том, что существуют особые, стационарные состояния атома, находясь в которых, атом не излучает энергию, при этом, электроны в атоме движутся с ускорением.

Второй постулат Бора еще называют правилом частот. Согласно ему, атом, при переходе из одного стационарного состояния в другое, излучает или поглощает квант энергии.

В третьемпостулате (правилоквантованияорбит) говорится о том, что в стационарном состоянии атома электрон, движущийся по круговой орбите, должен иметь квантованные (дискретные) значения момента импульса.

Исходя из этих постулатов и используя планетарную модель строения атома, Бор разработал количественную теорию атома водорода.

Данная модель была крупным шагом в развитии атомной физики и явилась важным этапом в создании квантовой механики.

С ее помощью удалось объяснить основные закономерности в спектрах атомов водорода и водородоподобных систем и вычислить частотыспектральныхлиний.

Оставалось, однако, неясным, от чего зависит интенсивность излучений тех или иных частот. Остался без ответа и вопрос, почему совершаются те или иные переходы. И, самое главное, с помощью модели атома Бора невозможно было описать атом гелия — один из простейших атомов, непосредственно следующий за водородом.

Поэтому в 1925 — 1927 годах на смену модели атома Бора пришла квантовая механика, которая явилась строгой непротиворечивой теорией и имела свой собственный математический аппарат.

Сведём в таблицу основные формулы на световые кванты, действие света.

Формула

Описание формулы

Энергия фотона, где h = 6,63 ∙ 10−34 Дж ∙ с — постоянная Планка, v — частота, c = 3 ∙ 108 м/с — скорость света в вакууме, λ — длина волны.

Импульс фотона.

Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта, где Авых — работа выхода электрона, m — масса электрона, υmax — максимальная скорость фотоэлектрона.

Максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона, где е — заряд электрона, Uз — задерживающее напряжение.

Красная граница фотоэффекта.

Световое давление, где I — интенсивность света, ρ — коэффициент отражения света.

Теперь сведём в таблицу основные формулы физики атома.

Формула

Описание формулы

Энергия электрона, находящегося на стационарной орбите в атоме водорода, где е — заряд электрона, ε0 — электрическая постоянная, r — радиус боровской орбиты электрона.

Энергия, излученная или поглощенная атомом водорода, где W1 и W2 — энергии атома в соответствующих стационарных состояниях.

Обобщенная формула Бальмера, где R — постоянная Ридберга, n — номер орбиты, на которую переходит электрон, k — номер орбиты, с которой переходит электрон.

Условие квантования стационарных орбит, где m — масса электрона, υn —скорость электрона на n-ой орбите, rn — радиус n-ой орбиты.

Радиус n-ой стационарной орбиты электрона в атоме водорода.

Сведём в таблицу основные формулы для элементов квантовой механики.

Формулы

Описание формулы

Формула де Бройля, где λБ — длина волны де Бройля, h — постоянная Планка, m — масса частицы, υ — скорость частицы.

Соотношение неопределенностей Гейзенберга, где Δх — неопределенность координаты, Δрх — неопределенность проекции импульса, ћ = h/2π.

Соотношение неопределенностей, где ΔW — неопределенность значения энергии системы, Δt — неопределенность промежутка времени пребывания системы в данном состоянии

Методические рекомендации по решению задач по квантовой физике.

1) Необходимо всегда помнить о взаимосвязи между волновыми и квантовыми характеристиками частиц.

2) Помните, что взаимодействие фотонов с веществом подчиняется законам сохранения импульса и энергии (законы фотоэффекта следуют из закона сохранения энергии, а формула для расчета светового давления является следствием из закона сохранения импульса).

3) Следует помнить и основные положения ядерной модели атома с точки зрения классической электродинамики для расчета характеристик движения электрона в атоме.

4) Необходимо учитывать то, что, согласно положениям квантовой физики, радиус орбиты электрона, энергия атома, энергия излученного или поглощенного кванта могут иметь только определенные дискретные значения.

Источник: https://videouroki.net/video/26-osnovnyie-formuly-i-mietodichieskiie-riekomiendatsii-po-rieshieniiu-zadach-na-kvantovuiu-miekhaniku.html

Booksm
Добавить комментарий