Формулы Френеля

14) Формулы Френеля

Формулы Френеля

На рисунке изображены и обозначены соответствующими значками составляющие векторов напряженности электрического поля падающей волны, отраженной волны, преломленной волны .

Относительные значения этих величин следуют из граничных условий, налагаемых на электрическое и магнитное поле световой волны. Формулы, связывающие компоненты векторов , были впервые получены О. Френелем и носят названиеформул Френеля:

Эти формулы и позволяют рассчитать степень поляризации (20.3.1) отраженной и падающей волны для произвольного угла падения.

15) Закон Брюстера

Пусть угол падения iтаков, что отраженный луч перпендикулярен преломленному, т.е.r = π/2 — iБр. Это условие называют условием Брюстера (см. рисунок ниже), а угол — углом Брюстера —iБр.

Используя закон преломления

(17.1.3.),

получим формулу, определяющую угол Брюстера:

.

При выполнении условия Брюстера i + r = π/2, тогда из формулы Френеля для получим:

Таким образом, при выполнении условия Брюстера, отраженный свет будет полностью поляризован в плоскости, перпендикулярной плоскости падения.

Это утверждение носит название закона Брюстера.

Закон Брюстера имеет простое объяснение. Отраженная световая волна появляется за счет излучения электронов среды, совершающих вынужденные колебания под действием вектора преломленной волны.

Это излучение имеет направленный характер (16.4.2.3): его интенсивность равна нулю в направлении колебаний зарядов.

Направим под углом Брюстера на границу раздела плоско поляризованную волну с вектором, лежащим в плоскости падения.

На рисунке изображена диаграмма направленности излучения, возбужденного вектором . Нулевой минимум этой диаграммы при выполнении условия Брюстера совпадает по направлению с отраженным лучом.

Если вектор падающей волны направить перпендикулярно плоскости падения (рисунок ниже), то направление колебаний электронов будет перпендикулярно плоскости падения. Тогда диаграмма направленности будет развернута своим максимумом в направлении отраженного луча (рисунок ниже). Напомним, что пространственная форма диаграммы похожа на бублик без дырки (16.4.2.3).

Поглощение света,уменьшение интенсивностиоптического излучения(света), проходящего через материальную среду, за счёт процессов его взаимодействия со средой.

Световая энергия при П. с. переходит в различные формы внутренней энергии среды; она может быть полностью или частично переизлучена средой на частотах, отличных от частоты поглощённого излучения.

  Основной закон, описывающий П. с., — закон Бугера , который связывает интенсивностиIсвета, прошедшего слой среды толщинойl, и исходного светового потокаI0.

Не зависящий отI, I0и lкоэффициентkназываетсяпоглощения показателем(ПП, в спектроскопии — поглощения коэффициентом); как правило, он различен для разных длин света. Этот закон установил на опыте в 1729 П.Бугер.В 1760 И.

Ламбертвывел его теоретически из очень простых предположений, сводящихся к тому, что при прохождении слоя вещества интенсивность светового потока уменьшается на долю, которая зависит только от ПП и толщины слоя, т. е.dl/l= —kdl(дифференциальная, равносильная первой, запись закона Бугера).

Физический смысл закона состоит в том, что ПП не зависит отIиl(это было проверено С. И.Вавиловымэкспериментально с изменениемI ~в 1020раз).

16) рассеяние света

Дело в том, что луч света представляет собой электромагнитную волну (точнее, набор волн), электрическое поле которой периодически меняется – осциллирует – и вынуждает колебаться с такой же частотой электронное облако, окружающее атом. Но при этом колеблющиеся электроны сами становятся источниками вторичных электромагнитных волн.

Классическая картина рассеяния света

Похожее явление можно наблюдать на поверхности воды, когда волна, набегающая издалека на поплавок, заставляет его колебаться вверх-вниз, и поплавок сам начинает «излучать» расходящиеся круги.

Амплитуда волн, испускаемых движущимся электроном, пропорциональна его ускорению – чем резче меняется скорость заряда, тем труднее удержаться возле него связанному с ним «собственному» электромагнитному полю. Ведь всякое поле обладает энергией, а следовательно, инертной массой и поэтому может не успевать за быстро колеблющимся в падающей световой волне электроном, отрываясь от него.

Это и есть излучение вторичных волн, или рассеянный свет. Интенсивность его тем выше, чем быстрее колеблется электронное облако, то есть рассеяние возрастает с частотой падающего света, или, что то же самое, уменьшается с увеличением длины волны (длина волны обратно пропорциональна частоте).

Потому-то синие лучи и рассеиваются сильнее красных – их длины волн равны соответственно 0,45 мкм и 0,7 мкм.

Лучи, волны, «трясущиеся» электроны – все это атрибуты классической теории. К сожалению, несмотря на привычность таких образов, классический язык не всегда оказывался удобным для точного описания рассеяния света, и поэтому физики предпочитают говорить об этом явлении на языке квантовой теории.

С квантовой точки зрения рэлеевское рассеяние происходит в два этапа: сначала атомный электрон поглощает налетающий квант света – фотон и на короткое время переходит на временный, промежуточный уровень энергии (в квантовой механике его называют виртуальным, от латинского слова virtualis – способный, достойный), а затем возвращается обратно, излучая фотон с той же энергией-частотой, но с другим – случайным, вероятностным – направлением распространения.

Квантовая картина рассеяния света

Электроны, не связанные в атомах, а свободные – например, в плазме – тоже раскачиваются светом и рассеивают его в стороны.

В частности, именно благодаря этому эффекту мы можем наблюдать свечение солнечной короны и, следовательно, получать информацию о стратосфере Солнца.

А в земных лабораториях рэлеевское рассеяние служит надежным инструментом для исследования размеров и скоростей молекул, в частности при лазерном зондировании атмосферы.

Итак, рассеяние света связано с вынужденными колебаниями атомных электронов в поле падающей световой волны.

Источник: https://studfile.net/preview/1033111/page:4/

Френеля формулы

Формулы Френеля

Френеля формулы определяют отношения амплитуды, фазы и состояния поляризации отражённой и преломленной световых волн, возникающих при прохождении света через неподвижную границу раздела двух прозрачных диэлектриков, к соответствующим характеристикам падающей волны. Установлены О. Ж.

Френелем в 1823 на основе представлений об упругих поперечных колебаниях эфира. Однако те же самые соотношения — Ф. ф.

следуют в результате строгого вывода из электромагнитной теории света при решении Максвелла уравнений и отождествлении световых колебаний с колебаниями вектора напряжённости электрического поля в световой волне, с которыми связано большинство эффектов волновой оптики.

  Пусть плоская световая волна падает на границу раздела двух сред с преломления показателямиn1 и n2. Углы j, j' и j»есть соответственно углы падения, отражения и преломления, причём всегда n1sinj = n2sinj»  (закон преломления) и ½j½ = ½j'½ (закон отражения).

Электрический вектор падающей волны разложим на составляющую с амплитудой Ар , параллельную плоскости падения, и составляющую с амплитудой As , перпендикулярную плоскости падения. Аналогично разложим амплитуды отражённой волны на составляющие Rp и Rs , а преломленной волны — на Dp и Ds. Ф. ф.

для этих амплитуд имеют вид:

     (1)

  Из (1) следует, что при любом значении углов j и j»знаки Ap и Dp, а также знаки As и Ds совпадают. Это означает, что совпадают и фазы, т. е.

во всех случаях преломленная волна сохраняет фазу падающей. Для компонент отражённой волны (Rp и Rs) фазовые соотношения зависят от j, n1 и n2.

Так, если j = 0, то при n2 >n1 фаза отражённой волны сдвигается на p.

  В экспериментах обычно измеряют не амплитуду световой волны, а её интенсивность, т. е. переносимый ею поток энергии, пропорциональный квадрату амплитуды (см. Пойнтинга вектор).

Отношения средних за период потоков энергии в отражённой и преломленной волнах к среднему потоку энергии в падающей волне называется коэффициентом отражения r и коэффициентом прохождения d. Из (1) получим Ф. ф.

, определяющие коэффициент отражения и прохождения для S— и р-составляющих падающей волны:

     (2)

  При отсутствии поглощения светаrs + ds = 1 и rp + dp = 1, в соответствии с законом сохранения энергии. Если на границу раздела падает естественный свет (см.

Поляризация света), т. е.

все направления колебаний электрического вектора равновероятны, то половина энергии волны приходится на р-колебания, а вторая половина — на S-колебания; полный коэффициент отражения в этом случае:

.

  Если j' + j»= 90° и tg (j' + j») ® ¥, rp = 0, т. е. свет, поляризованный так, что его электрический вектор лежит в плоскости падения, в этих условиях совсем не отражается от поверхности раздела.

Отражённый же свет (при падении естественного света под таким углом) будет полностью поляризован. Угол падения, при котором это происходит, называется углом полной поляризации или углом Брюстера (см. Брюстера закон).

Для угла Брюстера справедливо соотношение tg jБ = n2/n1.

  При нормальном падении света на границу раздела двух сред (j = 0) Ф. ф. для амплитуд отражённой и преломленной волн могут быть приведены к виду

     (3)

  При этом исчезает различие между составляющими s и p, т.к. понятие плоскости падения теряет смысл. В этом случае, в частности, получаем

;

.     (4)

  Из (4) следует, что отражение света на границе раздела тем больше, чем больше абсолютная величина разности n2n1; коэффициенты r и d не зависят от того, с какой стороны границы раздела приходит падающая световая волна.

  Условие применимости Ф. ф. — независимость показателя преломления среды от амплитуды вектора электрической напряжённости световой волны.

Это условие, тривиальное в классической (линейной) оптике, не выполняется для световых потоков большой мощности, например излучаемых лазерами. В этих случаях Ф. ф.

не дают удовлетворительного описания наблюдаемых явлений и необходимо использовать методы и понятия нелинейной оптики. См. также Отражение света. Оптика тонких слоев, Преломление света.

  Лит.: Калитеевский Н. И., Волновая оптика, М., 1971; Борн М., Вольф Э., Основы оптики, пер. с англ., 2 изд., М., 1973; Ландсберг Г. С., Оптика, 5 изд., М., 1976 (Общий курс физики).

  Л. Н. Капорский.

Расщепление падающего на границу двух диэлектрических сред луча света А на преломленный луч D и отраженный R. Для простоты показана ориентация только p-составляющих этих лучей, поляризованных параллельно плоскости падения.

Оглавление

Источник: https://www.booksite.ru/fulltext/1/001/008/117/571.htm

Отражение и преломление света (Граничные условия. Формулы Френеля. Полное внутреннее отражение. Отражение света от поверхности металлов)

Формулы Френеля

Классической задачей, для решения которой оказываетсяважной ориентация вектора Е, является прохождение световой волны черезграницу раздела двух сред.

В силу геометрии задачи возникает разница вотражении и преломлении двух независимых компонент, поляризованных параллельнои перпендикулярно плоскости падения, и, следовательно, исходно неполяризованныйсвет после отражения или преломления становится частично поляризованным.

Граничные условия для векторов напряженности и индукции,известные из электростатики, уравнивают на границе раздела тангенциальныекомпоненты векторов Е и H и нормальные компоненты векторов Dи B, по сути, выражая отсутствие токов и зарядов вдоль границы иослабление внешнего электрического поля в eраз при попадании в диэлектрик:

.                                                                     (5.1)

При этом поле в первой среде складывается из полей падающей и отраженной волн,а во второй среде – равно полю преломленной волны (см. рис. 2.1).

Поле в любой из волн может быть записано в видесоотношений типа . Т. к. граничныеусловия (5.1) должны выполняться в любой точке границы раздела и в любой моментвремени, из них можно получить законы отражения и преломления:

1.  Частоты всехтрех волн одинаковы: w0 = w1 = w2.

2.  Волновые векторавсех волн лежат в одной плоскости:.

3.  Угол паденияравен углу отражения: a = a'.

4.  Закон Снеллиуса:. Можно показать, что произведение n×sin aостается постоянным при любом законе изменения показателя преломления вдоль осиZ, не только ступенчатом на границах раздела, но и непрерывном.

На эти законы поляризация волн не влияет.

C другой стороны непрерывность соответствующих компонентвекторов Е и H приводит к так называемым формулам Френеля, позволяющимрассчитать относительные амплитуды и интенсивности отраженной и прошедшей волндля обеих поляризаций. Выражения оказываются существенно различными дляпараллельной (вектор E лежит в плоскости падения) и перпендикулярнойполяризации, естественно, совпадая для случая нормального падения (a = b = 0).

Геометрия полей для параллельной поляризации показана на рис. 5.2а, дляперпендикулярной – на рис. 5.2б. Как было отмечено в разделе 4.

1, вэлектромагнитной волне вектора E, H и k образуют правуюортогональную тройку.

Поэтому если тангенциальные компоненты векторов EE1 падающей и отраженной волн направлены одинаково, тосоответствующие проекции магнитных векторов имеют разные знаки. С учетом этого,граничные условия приобретают вид:

                                     (5.2)

для параллельной поляризации и

                                   (5.3)

для перпендикулярной поляризации. Кроме того, в каждой из волннапряженности электрического и магнитного полей связаны соотношениями . С учетом этого, из граничныхусловий (5.2) и (5.3) можно получить выражения для амплитудныхкоэффициентов отражения и пропускания:

                                                                     (5.4)

Помимо амплитудных, представляют интерес энергетическиекоэффициенты отражения R и пропускания T, равные отношениюпотоков энергии соответствующих волн. Т. к.

интенсивностьсветовой волны пропорциональна квадрату напряженности электрического поля, длялюбой поляризации выполняется равенство .

Крометого, справедливо соотношение R + T = 1, выражающеезакон сохранения энергии при отсутствии поглощения на границе раздела. Такимобразом,

                   (5.5)

Совокупность формул (5.4), (5.5) и называется формуламиФренеля. Особый интерес представляет предельный случай нормального падениясвета на границу раздела (a = b = 0). При этом исчезает различиемежду параллельной и перпендикулярной поляризациями и

                               (5.6)

Из (5.6) находим, что при нормальном падении света из воздуха (n1 = 1)на стекло (n2 = 1.5) отражается 4% энергиисветового пучка, а проходит 96%.

1.2. Анализ формул Френеля

Рассмотрим сначала энергетические характеристики. Из (5.5)видно, что при a + b = p/2коэффициент отражения параллельной компоненты обращается в нуль: || = 0.Угол падения, при котором возникает этот эффект, называется угломБрюстера. Из закона Снеллиуса легко найти, что

,                                                    (5.7)

где n12 – относительный показатель преломления. Вто же время для перпендикулярной компоненты R  ¹ 0.Поэтому при падении неполяризованного света под углом Брюстера отраженная волнаоказывается линейно поляризованной в плоскости, перпендикулярной плоскостипадения, а прошедшая – частично поляризованной с преобладанием параллельнойкомпоненты (рис. 5.3а) и степенью поляризации

.

Для перехода воздух-стекло угол Брюстера близок к 56о.

На практике получение линейно поляризованного света засчет отражения под углом Брюстера используется редко из-за низкого коэффициентаотражения. Однако возможно построение поляризатора, работающего на пропускание,с использованием стопы Столетова (рис. 5.3б).

СтопаСтолетова состоит из нескольких плоскопараллельных стеклянных пластинок. Припрохождении через нее света под углом Брюстера, перпендикулярная компонентапрактически полностью рассеивается на границах раздела, а прошедший лучоказывается поляризован в плоскости падения.

Такие поляризаторы используются вмощных лазерных системах, когда поляризаторы других типов могут быть разрушенылазерным излучением.

Другим применением эффекта Брюстера является снижениепотерь на отражение в лазерах за счет установки оптических элементов под угломБрюстера к оптической оси резонатора.

Вторым важнейшим следствием формул Френеля являетсясуществование полного внутреннего отражения (ПВО) от оптическименее плотной среды при углах падения больших, чем предельный угол,определяемый из соотношения

.                                                 (5.8)

Подробно эффект полного внутреннего отражения будет рассмотрен в следующемразделе, сейчас отметим только, что из формул (5.7) и (5.8) следует, что уголБрюстера всегда меньше предельного угла.

На графиках рис. 5.4а приведены зависимости коэффициентовотражения при падении света из воздуха на границы со средами с n2' = 1.5(сплошные линии) и n2'' = 2.5 (штриховые линии). Нарис. 5.4б направление прохождения границы раздела обратное.

Обратимся теперь к анализу амплитудных коэффициентов(5.4). Нетрудно видеть, что при любых соотношениях между показателямипреломления и при любых углах коэффициенты пропускания t положительны.Это означает, что преломленная волна всегда софазна падающей.

Коэффициенты отражения r, напротив, могут бытьотрицательны. Поскольку всякую отрицательную величину можно записать как , отрицательность соответствующегокоэффициента можно интерпретировать как сдвиг фазы на p при отражении. Об этом эффекте часто говорят также как о потереполволны при отражении.

Из (5.4) следует, что при отражении от оптически болееплотной среды (n1  b) r 

Источник: https://vunivere.ru/work8243

Френеля формулы — Автоматизированная Интернет-система формирования баз данных репродуктивных и формализованных описаний естественнонаучных и научно-технических эффектов

Формулы Френеля

Межотраслевая Интернет-система поиска и синтеза физических принципов действия преобразователей энергии

Общий каталог эффектов

  • Естественнонаучные эффекты (ЕНЭ)

Френеля формулы

Соотношения между амплитудами, фазами и состояниями поляризации падающей, отраженной и преломленной электромагнитных волн на границе раздела двух диэлектриков

Описание

Френеля формулы определяют отношения амплитуды, фазы и состояния поляризации отражённой и преломленной световых волн, возникающих при прохождении света через неподвижную границу раздела двух прозрачных диэлектриков, к соответствующим характеристикам падающей волны. Установлены О. Ж.

Френелем в 1823 на основе представлений об упругих поперечных колебаниях эфира.

Однако те же самые соотношения – формулы Френеля  следуют в результате строгого вывода из электромагнитной теории света при решении уравненийМаксвелла и отождествлении световых колебаний с колебаниями вектора напряжённости электрического поля в световой волне, с которыми связано большинство эффектов волновой оптики.

Расщепление падающего на границу двух диэлектрических сред луча света А на преломленный луч D и отраженный R. Для простоты показана ориентация только p-составляющих этих лучей, поляризованных параллельно плоскости падения.

Рис. 1.

Пусть плоская световая волна падает на границу раздела двух сред с показателями преломления  n1 и n2. Углы φ, φ' и φ» есть соответственно углы падения, отражения и преломления, причём всегда n1sinφ = n2sinφ» (закон преломления) и φφφ = φφ'φ (закон отражения).

Электрический вектор падающей волны разложим на составляющую с амплитудой Ар , параллельную плоскости падения, и составляющую с амплитудой As , перпендикулярную плоскости падения. Аналогично разложим амплитуды отражённой волны на составляющие Rp и Rs , а преломленной волны – на Dp и Ds.

Френеля формулы для этих амплитуд имеют вид:

(1)

Из (1) следует, что при любом значении углов φ и φ» знаки Ap и Dp, а также знаки As и Ds совпадают. Это означает, что совпадают и фазы, т. е. во всех случаях преломленная волна сохраняет фазу падающей.

Для компонент отражённой волны (Rp и Rs) фазовые соотношения зависят от φ, n1 и n2. Так, если φ = 0, то при n2> n1 фаза отражённой волны сдвигается на φ.
В экспериментах обычно измеряют не амплитуду световой волны, а её интенсивность, т. е.

переносимый ею поток энергии, пропорциональный квадрату амплитуды (вектор Пойнтинга). Отношения средних за период потоков энергии в отражённой и преломленной волнах к среднему потоку энергии в падающей волне называется коэффициентом отраженияr и коэффициентом прохожденияd.

Из (1) получим формулыФренеля, определяющие коэффициент отражения и прохождения для S и р-составляющих падающей волны:

(2)

При отсутствии поглощения света rs + ds = 1 и rp + dp = 1, в соответствии с законом сохранения энергии. Если на границу раздела падает естественный свет, т. е.

все направления колебаний электрического вектора равновероятны, то половина энергии волны приходится на р-колебания, а вторая половина – на S-колебания; полный коэффициент отражения в этом случае:

Если φ' + φ» = 90° и tg (φ' + φ») φφ, rp = 0, т. е. свет, поляризованный так, что его электрический вектор лежит в плоскости падения, в этих условиях совсем не отражается от поверхности раздела. Отражённый же свет (при падении естественного света под таким углом) будет полностью поляризован.

Угол падения, при котором это происходит, называется углом полной поляризации или углом Брюстера. Для угла Брюстера справедливо соотношение tg φБ = n2/n1.

При нормальном падении света на границу раздела двух сред (φ = 0) формулыФренеля для амплитуд отражённой и преломленной волн могут быть приведены к виду:

(3)

При этом исчезает различие между составляющими s и p, т.к. понятие плоскости падения теряет смысл. В этом случае, в частности, получаем:

(4)

Из (4) следует, что отражение света на границе раздела тем больше, чем больше абсолютная величина разности n2 – n1; коэффициенты r и d не зависят от того, с какой стороны границы раздела приходит падающая световая волна.

Условие применимости формул Френеля  – независимость показателя преломления среды от амплитуды вектора электрической напряжённости световой волны. Это условие, тривиальное в классической (линейной) оптике, не выполняется для световых потоков большой мощности, например излучаемых лазерами.

В этих случаях формулы Френеля не дают удовлетворительного описания наблюдаемых явлений и необходимо использовать методы и понятия нелинейной оптики.

Ключевые слова

Разделы наук

Используется в научно-технических эффектах

Зеркально-линзовые системы (Зеркально-линзовые системы)

Используется в областях техники и экономики

Используются в научно-технических эффектах совместно с данным эффектом естественнонаучные эффекты

Применение эффекта

Рассмотрим волну, падающую на границу раздела двух сред (рис.1а):

Рис.1.

Часть волны будет отражаться от границы раздела сред, а часть будет проходить через границу (см. рис.). Суммарная энергия отраженной 2 и прошедшей 3 волн в точности равна энергии падающей волны 1, но соотношение интенсивностей этих волн будет зависеть от разницы показателей преломления сред.

Реализации эффекта

На рисунке 1 изображены и обозначены соответствующими значками (┴ и ║) составляющие векторов напряженности электрического поля падающей волны ,
, преломленной волны .

Рис. 2

Относительные значения этих величин следуют из граничных условий, налагаемых на электрическое и магнитное поле световой волны. Формулы, связывающие компоненты векторов Е — формул Френеля:

Эти формулы и позволяют рассчитать степень поляризации отраженной и падающей волны для произвольного угла падения.

Литература

1. Физическая энциклопедия т.5., Гл. ред. А.М. Прохоров. — М.: Наука, 1987.

2. Блохинцев Д. И., Основы квантовой механики, 5 изд. — М.: Наука, 1976, с.23-25.

3. Сивухин Д.В., Общий курс физики. Оптика. — М.: Наука, 1980.

Источник: http://www.heuristic.su/effects/catalog/est/byId/description/216/index.htm

Реферат: Вывод и анализ формул Френеля на основе электромагнитной теории Максвелла

Формулы Френеля

МГТУ им Н.Э.Баумана

гр. ФН2-41

Котов В.Э.

Вывод и анализ формул Френеля на основе электромагнитной теории Максвелла.

(по материалам лекций Толмачева В.В.)

Постановка задачи

Пусть имеются две диэлектрические среды 1 и 2 , с электрической и магнитной проницаемостью и соответственно. Из среды 1 в 2 падает плоская монохроматическая волна (границу раздела будем считать плоской).

При переходе через границу раздела волна разделится на две части : отраженную волну (в среде 1) и преломленную волну (в среде 2) , необходимо выяснить соотношения между углами и , а также между интенсивностями падающей и отраженной волн (рис 1).

рис.1

Данная волна должна представлять собой точное решение уравнений Максвелла : и (1) (учитывая , что среда диэлектрическая , т.е. )

для плоской монохроматической волны точное решение этих уравнений будет (если оси Х направить в сторону распространения волны):

и (==0) (2)

где A и B , и , — постоянные (не зависят от времени и координаты) ,

и — характеристики среды , в которой распространяется волна ,

, t — рассматриваемый момент времени

x — рассматриваемая координата на оси Х

V — скорость распространения волны в данной среде

(естественно , в силу линейности уравнений Максвелла любая сумма таких волн будет также их точным решением )

Также она должна удовлетворять условиям на границе раздела : и не терпят разрыва на поверхности раздела , и также не терпят разрыва , поскольку на границе раздела не течет ток и нет поверхностной плотности заряда:

(3)

(индексом 1 обозначаем все , относящееся к первой среде , индексом 2 — ко второй)

Таким образом , необходимо построить точное решение уравнений (1) , удовлетворяющих условиям (3).

Для этого рассмотрим два случая : случай ТМ -волны (р-волны ) — вектор перпендикулярен плоскости падения (трансверсальная магнитная) , и случай ТЕ-волны (s-волны)- вектор перпендикулярен плоскости падения (трансверсальная электрическая). Любая плоская волна (с любой поляризацией) может быть представлена как линейная комбинация двух таких волн.

https://www.youtube.com/watch?v=mDilsGUgKt8

Случай ТМ -волны (p — волны )

рис.2

Из рисунка видео , что , запишем условия равенства на границе раздела :

( учитывая , что волна в среде 1 есть сумма падающей и отраженной волн)

подставляем значения:

подставляем из (2) :

Аналогично , поскольку получаем для вектора на границе раздела:

( c учетом (2) )

для выполнения равенств для и потребуем равенства аргументов косинусов :

потребуем также равенства начальных фаз:

из рисунка видно , что : , (4)

(,и — соответственно : угол падения , угол отражения и угол преломления ) , тогда имеем :

из равенства аргументов получаем :

(т.к. , )

т.е. получены , как и следовало ожидать , законы отражения и преломления света

разделим теперь выражения дляи на , получим (c учетом (4) ) следующую систему :

(5)

здесь неизвестными являются и , а — заданно.

Умножим первое уравнение на а второе на и вычтем из первого второе , тогда члены с сократятся и получим:

поскольку для неферромагнетиков магнитная проницаемость незначительно отличается от единицы , то для сравнительно широкого класса сред можно считать , тогда:

.

( разделим числитель и знаменатель на , и учтя , что )

применив закон преломления , получим (6):

из второго уравнения системы (5) получаем для :

(поскольку полагаем ,) , тогда:

(7)

проверим теперь выполнение еще двух условий на границе раздела ,которые мы не учли — и . Второе равенство выполняется заведомо , поскольку , проверим первое равенство :

из рисунка видно , что , а подставим значения , и ( из 2) , сократив сразу на , и учитывая (4) :

(выражая через второе уравнение системы (5) )

Таким образом действительно получено точное решение уравнений (2) , удовлетворяющее всем начальным условия. Итак , имеем следующие формулы Френеля для случая s-волны для отражения и преломления (из (6) и (7) ):

и

Случай ТЕ -волны ( s — волны)

рис.3

Из рисунка видно , что

Условия (3) для и :

подставляя значения и из (2) получим :

как и в случае ТМ-волны предполагаем равенство аргументов косинусов и совершенно аналогично получаем в этом случае закон отражения и преломления света , сокращая на и с учетом (4) получим систему :

(8)

умножим первое уравнение на а второе на и вычтем из первого второе :

поскольку мы полагаем (см. выше) то

(9)

из второго уравнения системы (8) получаем:

(10)

проверим теперь неучтенные условия на границе раздела : и .

Второе условие выполняется , поскольку , проверим выполнение равенства : из рисунка видно , что , а подставим значения , и ( из 2) , сократив сразу на , и учитывая (4) получим :

подставляем из второго уравнения системы (8) :

таким образом мы действительно нашли точное решение уравнений (2) , удовлетворяющее всем начальным условиям . В случае p-волны имеем следующие формулы Френеля для отражения и преломления (из (9) и (10))

и

Анализ формул Френеля

Исследуем отношения энергий (точнее плотности потока энергий ) падающей и отраженной ТМ и ТЕ волн и падающей и прошедшей волн в зависимости от угла падения . Для этого рассмотрим отношение нормальной составляющей вектора Пойтинга падающей и отраженной ( и в случае ТМ и ТЕ волн соответственно) и падающей и прошедшей (

и ) волн. Тогда с из полученных формул Френеля для отражения и преломления , с учетом (2) будем иметь:

А. Отражение

Исследуем сначала поведение и на границах отрезка :

при (просто положить равным нулю нельзя , потому что будет неопределенность ):

для случая падения из воздуха в стекло () :

т.е. это величина порядка нескольких процентов (можно заметить , что если поменять среды местами — т.е. рассматривать падение из воды в воздух , то это значение не изменится)

В случае падения из оптически менее плотной среды в оптически более плотную при:

Действительно, преломленной волны при скользящем падении не образуется и интенсивность падающей волны не меняется.

В случае падения из оптически более плотной среды в оптически менее плотную , необходимо учесть явление полного внутреннего отражения , когда прошедшей волны нет — вся волна отражается от поверхности раздела. Это происходит при значениях больших , чем , вычисляемого следующим образом:

[1] [к1]

Для падения из стекла в воздух

Здесь не рассматривается полное внутреннее отражение , поэтому в случае падения из оптически более плотной среды в оптически менее плотную изменяется до , в этом случае:

Далее исследуем поведение этих функций между крайними точками , для этого исследуем на монотонность функции: и

Нам понадобится производная , найдем ее как производную функции , заданной неявно :

Знак этой производной ( поскольку , ) зависит только от знака выражения , это выражение > 0 , когда (то есть падение из оптически мене плотной среды в оптически более плотную ) и 0 при и 0 , но эта функция проходит через нуль. Поскольку числитель , при рассматриваемых пределах изменения в 0 обращаться не может[2] [к2] это происходит тогда , когда знаменатель обращается в бесконечность т.е.:

Это есть угол Брюстера () , при котором обращается в 0 , то есть отраженная волна отсутствует . Для случая падения из воздуха в стекло , для обратного случая (из стекла в воздух) При переходе через этот угол меняет знак на минус , следовательно как квадрат этой функции сначала убывает (до нуля) , а затем возрастает (до 1).

При для небольших1 больше 0 при и меньше 0 при , при n

Источник: https://www.bestreferat.ru/referat-290536.html

Формулы Френеля

Формулы Френеля

Перпендикулярная поляризация.В этом случае вектор перпендикулярен плоскости падения и параллелен границе раздела, а плоскость поляризации ЭМВ перпендикулярна плоскости распространения.

После преобразований, подробно рассмотренных в [1], получаем формулы О. Френеля для перпендикулярно поляризованных ЭМВ:

; . (9.5)

Для немагнитных сред ( ) (9.5) упрощается [1]:

; . (9.6)

Параллельная поляризация. В этом случае вектор лежит в плоскости распространения, а вектор перпендикулярен ей и параллелен границе раздела, т. е. плоскость поляризации ЭМВ параллельна плоскости ее падения.

После преобразований, подробно рассмотренных в [1–4], получаем формулы Френеля для параллельной поляризации:

; . (9.7)

Для немагнитных сред ( ) формулы (9.7) упрощаются [1]:

; . (9.8)

Падающую ЭМВ раскладывают на две составляющие, перпендикулярную и параллельную плоскости падения, и находят составляющие отраженной и преломленной волн. Соотношения между этими составляющими ЭМП определяют характер поляризации ЭМВ. В общем случае поляризация падающей, отраженной и преломленной ЭМВ может оказаться различной.

Из выражений (9.5) и (9.7) можно получить формулы для ЭМВ, падающей на границу раздела сред нормально, положив :

; . (9.9)

Из выражения (9.9) следует, что при нормальном падении ЭМВ на границу раздела отраженная волна будет отсутствовать (Г0 = 0) только в том случае, если волновые сопротивления сред равны (условие согласования сред).

На рис. 9.2 приведены графики зависимостей коэффициента отражения ЭМВ обеих поляризаций от угла падения при различных соотношениях между диэлектрическими проницаемостями сред [1, 3].

На рис. 9.3 приведены аналогичные графики Т(j). Следует отметить, что коэффициент преломления Т, называемый в литературе также коэффициентом прохождения во вторую среду из первой, не является энергетическимкоэффициентом прохождения. Например, при Zв2 > Zв1 Т будет всегда больше единицы.

Векторы Пойнтинга в разных средах связаны с разными площадями поперечных сечений лучей. Если вектор Пойнтинга наклонно падающей ЭМВ привязать к определенной площади (например, круг), то на границе раздела эта площадь изменится (круг растянется в эллипс). Во второй среде форма сохранится, но сама площадь также несколько изменится.

Явление полного отражения.В случае, когда ЭМВ проходит из оптически более плотной среды в менее плотную ( ), воз­ни­кает явление полного отражения (рис. 9.4).

Угол преломления y будет вещественным числом при условии:

. (9.10)

В этом случае вещественны также Г и Т в формулах Френеля.

Неравенство (9.10) нарушается, если угол падения j превышает некоторое значение jкр, называемое критическим углом:

. (9.11)

Если угол падения больше критического, то угол y не может быть вещественным, поскольку . В этом случае отраженная волна уносит всю энергию, принесенную падающей.

Явление полного внутреннего отражения используется в линиях передачи нулевой связности (световоды и т. п. – см. темы 15, 18).

Явление полного прохождения.Для ЭМВ с параллельной поляризацией существует угол падения, именуемый углом Д.

Брюстера , при котором отраженная волна отсутствует, а значит, ЭМВ полностью переходит во вторую среду.

Для немагнитных диэлектриков ( ) с малыми потерями, согласно выражениям (9.8), при , поскольку .

По закону Снеллиуса (9.3) находим .

Откуда следует

. (9.12)

Для ЭМВ с перпендикулярной поляризацией аналогичного эффекта не существует, а значит, всегда больше нуля.

Угол Брюстера называют также углом полной поляризации [1].

Если ЭМВ с произвольной поляризацией направлена на диэлектрическую пластину под углом , отраженный луч имеет только перпендикулярную поляризацию, так как параллельно поляризованная компонента полностью проходит через пластину.

На рис. 9.5 приведены ½Г(j)½ при различных значениях tgd второй среды при отсутствии потерь в первой.

Как видно из графиков, явление полного прохождения наблюдается только при отсутствии потерь проводимости. Если tgd > 0, то при параллельной поляризации график ½Г(j)½ будет иметь минимум, но нулевого значения не достигнет.

Если подбирать e2 так, чтобы модуль комплексной e2 оставался неизменным ( ), то минимум ½Г(j)½ будет достигаться при угле падения, равном углу Брюстера.

В случае перпендикулярной поляризации принципиальных изменений в поведении графиков на рис. 9.5 не происходит. Модуль Г(j) с ростом угла падения монотонно возрастает от Г0 до единицы, а фаза Г(j) практически не отличается от 180° [1].

Диэлектрические пластины и шайбы, служащие для герметизации и крепления проводников в различных линиях связи и устройствах СВЧ, часто ставят под углом Брюстера.

В этом случае на определенной частоте они полностью прозрачны для проходящих волн.

Аналогичным образом поступают, если необходимо обеспечить минимальный уровень отраженной волны при падении ЭМВ из воздуха на вещество с , отличающимся от Z0 воздуха.

Стоячая волна. КСВ. КБВ. При нормальном падении ЭМВ на границу раздела сред в первой среде складываются падающая и отраженная волны, имеющие противоположные направления распространения.

Суперпозиция ЭМВ в первой среде с учетом формул (9.6) определяется так [1]:

,

. (9.13)

С учетом (9.4) выражения (9.13) преобразуем так:

,

. (9.14)

Выражение в квадратных скобках можно назвать множителем стоячей волны, так как эта величина показывает периодически изменяющуюся вдоль координаты х «волнистую структуру» ЭМП (рис. 9.6).

При отсутствии потерь в среде :

. (9.15)

При монотонном изменении х второе слагаемое (9.15) вращается вокруг «1» с удвоенной (по сравнению с падающей волной) частотой. Максимальное значение составляет , а минимальное . Расстояние между соседними экстремумами стоячей волны составляет p/k1 = l1/2 .

Если среды согласованы, то , и в этом случае отраженная ЭМВ отсутствует. Если вторая среда – идеальный проводник, то , и в этом случае будет отсутствовать прошедшая ЭМВ, а в первой среде будет только стоячая волна с удвоенной (относительно падающей ЭМВ) амплитудой.

Из формул (9.13) и (9.14) получаем

, . (9.16)

На рис. 9.7 показана структура ЭМП стоячей волны. Из рис. 9.7 и выражения (9.16) сле­дует, что магнитная и электрическая составляющие имеют фазовый сдвиг на четверть длины волны (± 90°). Среднее значение вектора Пойнтинга в любой точке стоячей волны равно нулю, и передачи энергии нет.

Если перейти от комплексных амплитуд к мгновенным значениям, получим:

;

. (9.17)

За период 2π/w1 получаются распределения максимальных и минимальных значений, показанные на рис. 9.8, которые соответствуют удвоенной частоте пространственного распределения.

При экспериментальном исследовании пространственной структуры стоячей волны с помощью измерительной линии на выходе детекторной секции получится зависимость вида (рис. 9.9).

На практике удобно оценивать неравномерность пространственного распределения ЭМП с помощью коэффициента стоячей волны (КСВ=1…¥ при ) и коэффициента бегущей волны (КБВ = 1…0):

; . (9.18)

На рис. 9.8 показана примерная пространственная характеристика стоячей волны на выходе детекторной секции измерительной линии. С учетом характеристики детектора получаем (КСВН (VSWR) – КСВ (SWR) по напряжению)

. (9.19)

Список рекомендуемой литературы:[1, гл. 14, с. 71–82; 2, с. 98–105; 3, гл. 13, с. 63–71; 4, с. 58–66; 5, с.

32–38; 6, с. 148–172; 7, с. 96–112; 9, с. 162–174; 10, с. 162–176; 11, с. 143–163; 12, с. 207–219; 13, с.

191–210].

Контрольные вопросы и задания

1. Сформулируйте законы Снеллиуса.

2. Являются ли законы отражения и преломления плоских волн на границе раздела сред фундаментальными законами природы?

3. Дайте определение коэффициентам отражения и прохождения. Какова область значений этих величин?

4. Каково поведение ЭМВ параллельной поляризации на границе раздела ?

5. Охарактеризуйте поведение ЭМВ перпендикулярной поляризации на границе раздела сред.

6. Укажите условие согласования сред.

7. Назовите условия полного прохождения.

8. Назовите условия полного отражения.

9. Есть ли связь между явлением полного прохождения и эффектом полной поляризации?

10. При критическом угле падения исчезает прошедшая волна. Что наблюдается, если угол падения больше критического?

11. Как изменяются условия прохождения ЭМВ через границу раздела в средах с потерями?

12. Возможно ли полное отражение ЭМВ от границы раздела диэлектриков с потерями?

13. Дайте определение стоячей волне. Объясните особенности ее ЭМП.

14. Почему стоячая ЭМВ не переносит энергию, хотя векторы ЭМП и существуют?

15. Дайте определение и укажите область значений КСВ и КБВ.

16. Можно ли получить стоячую волну из бегущих волн?

17. На границу раздела сред без потерь под углом Брюстера падает ЭМВ параллельной поляризации. Найдите соотношения между модулями векторов Пойнтинга в обеих средах и объясните полученный результат с точки зрения закона сохранения энергии.

Предыдущая10111213141516171819202122232425Следующая

Дата добавления: 2015-06-12; просмотров: 1511; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

ПОСМОТРЕТЬ ЁЩЕ:

Источник: https://helpiks.org/3-79320.html

Booksm
Добавить комментарий