Формула Планка

ПЛА́НКА ЗАКО́Н ИЗЛУЧЕ́НИЯ

Формула Планка

Авторы: А. В. Масалов

ПЛА́НКА ЗАКО́Н ИЗЛУЧЕ́НИЯ, опи­сы­ва­ет спек­траль­ное рас­пре­де­ле­ние энер­гии элек­тро­маг­нит­но­го из­лу­че­ния, на­хо­дя­ще­го­ся в те­п­ло­вом рав­но­ве­сии с ве­ще­ст­вом при за­дан­ной тем­пе­ра­ту­ре.

Идеа­ли­зи­ро­ван­ной мо­де­лью рав­но­вес­но­го из­лу­че­ния слу­жит элек­тро­маг­нит­ное по­ле внут­ри по­лос­ти, рас­по­ло­жен­ной в на­гре­том ве­ще­ст­ве, при ус­ло­вии, что стен­ки ве­ще­ст­ва не­про­зрач­ны для из­лу­че­ния.

Спектр та­ко­го рав­но­вес­но­го из­лу­че­ния на­зы­ва­ют спек­тром из­лу­че­ния аб­со­лют­но чёр­но­го те­ла. Объ­ём­ная плот­ность энер­гии из­лу­че­ния $u_ω$, при­хо­дя­щей­ся на еди­нич­ный ин­тер­вал час­тот $ω$, вы­ра­жа­ет­ся т. н.

фор­му­лой План­ка:$$u_ω=\frac{ω2}{π2 c2}\cdot\frac{\hbar ω}{e{\hbar ω/kT}-1},$$ где $T$ – аб­со­лют­ная темп-ра, $k$ – по­сто­ян­ная Больц­ма­на, $c$ – ско­рость све­та, $\hbar$  – по­сто­ян­ная План­ка. Т. о., по спек­тру из­лу­че­ния аб­со­лют­но чёр­но­го те­ла мож­но оп­ре­де­лить его тер­мо­ди­на­мич. темп-ру.

Эта фор­му­ла бы­ла вы­ве­де­на М. План­ком в 1900 в ре­зуль­та­те рас­смот­ре­ния ба­лан­са об­ме­на энер­ги­ей ме­ж­ду дву­мя ви­да­ми ос­цил­ля­то­ров: час­ти­ца­ми ве­ще­ст­ва, по­гло­щаю­щи­ми и ис­пус­каю­щи­ми из­лу­че­ние на час­то­те $ω$, и ос­цил­ля­то­ра­ми, пред­став­ляю­щи­ми элек­тро­маг­нит­ное по­ле той же час­то­ты.

Планк пред­по­ло­жил, что та­кие ос­цил­ля­то­ры мо­гут на­хо­дить­ся толь­ко в со­стоя­ни­ях с дис­крет­ной энер­ги­ей и об­ме­ни­ва­ют­ся ме­ж­ду со­бой кван­та­ми энер­гии ве­ли­чи­ной $Δ\mathscr {E}=\hbar ω$. Зна­че­ние ко­эф.

про­пор­цио­наль­но­сти $\hbar$ ме­ж­ду час­то­той ос­цил­ля­то­ра и ве­ли­чи­ной кван­та энер­гии Планк ус­та­но­вил ис­хо­дя из экс­пе­рим. дан­ных: $\hbar$=1,054·10–34 Дж·с. Пред­по­ло­же­ние о дис­крет­ном на­бо­ре воз­мож­ных зна­че­ний энер­гии ос­цил­ля­то­ров по­ля ($0, \hbar ω, 2\hbar ω, 3\hbar ω, …$) ста­ло впо­след­ст­вии ос­но­ва­ни­ем для вве­де­ния по­ня­тия кван­та элек­тро­маг­нит­но­го из­лу­че­ния (фо­то­на).

Спек­траль­ная плот­ность энер­гии мо­жет быть рас­счи­та­на так­же для др. ха­рак­те­ри­стик из­лу­че­ния – час­то­ты $ν=ω/2π$ или дли­ны вол­ны $λ=c/ν= 2πc/ω$.

То­гда фор­му­ла План­ка при­об­ре­та­ет вид (здесь $h=2π\hbar$): $$u_v=\frac{8πhv3}{c3}\cdot\frac{1}{e{hv/kT}-1}$$ или $$u_λ=\frac{8πhc}{λ5}\cdot\frac{1}{e{hc/λkT}-1}.

$$ За­ви­си­мость спек­траль­ной плот­но­сти энер­гии от дли­ны вол­ны из­лу­че­ния пред­став­ле­на на ри­сун­ке.

Для вы­во­да фор­му­лы План­ка не­об­хо­дим под­счёт чис­ла ос­цил­ля­то­ров из­лу­че­ния, при­хо­дя­щих­ся на еди­нич­ный ин­тер­вал час­тот; эта ве­ли­чи­на для еди­нич­но­го объ­ё­ма со­став­ля­ет $ω/π2c3$. Ес­ли при­нять, что ср.

энер­гия ос­цил­ля­то­ра по­ля рав­на $kT$, как это сле­ду­ет из Больц­ма­на рас­пре­де­ле­ния для не­пре­рыв­но­го на­бо­ра воз­мож­ных зна­че­ний энер­гии, то для плот­но­сти энер­гии из­лу­че­ния $u_ω$ по­лу­чит­ся фор­му­ла Рэ­лея – Джин­са (см. Рэ­лея – Джин­са за­кон из­лу­че­ния):$$u_ω=\frac{ω2}{π2 c3}\cdot kT.

$$ Фор­му­ла Рэ­лея – Джин­са при­ме­ни­ма толь­ко для ма­лых час­тот ($\hbar ω≪kT$), т. к. она пред­ска­зы­ва­ет не­ог­ра­ни­чен­ный рост плот­но­сти энер­гии, а зна­чит, и пол­ной энер­гии из­лу­че­ния, с рос­том час­то­ты (т. н. ульт­ра­фио­ле­то­вая ка­та­ст­ро­фа), что на­хо­дит­ся в про­ти­во­ре­чии с экс­пе­рим. дан­ны­ми.

Имен­но для сня­тия это­го про­ти­во­ре­чия М. Планк вы­дви­нул пред­по­ло­же­ние о дис­крет­ном на­бо­ре энер­гий ос­цил­ля­то­ра элек­тро­маг­нит­но­го по­ля; по­лу­чен­ная им фор­му­ла хо­ро­шо со­гла­су­ет­ся с экс­пе­рим. дан­ны­ми.

Фор­му­ла План­ка кон­кре­ти­зи­ру­ет весь­ма об­щее со­от­но­ше­ние для плот­но­сти энер­гии рав­но­вес­но­го из­лу­че­ния, ус­та­нов­лен­ное В. Ви­ном (см.

Ви­на за­кон сме­ще­ния), и со­гла­су­ет­ся с ус­та­нов­лен­ным ра­нее Сте­фа­на – Больц­ма­на за­коном из­лу­че­ния, ут­вер­ждаю­щим, что пол­ная (по всем час­то­там) плот­ность энер­гии про­пор­цио­наль­на чет­вёр­той сте­пе­ни темп-ры.

Хо­тя фор­му­ла План­ка вы­ве­де­на для опи­са­ния рав­но­вес­но­го из­лу­че­ния в по­лос­ти на­гре­то­го ве­ще­ст­ва, она ока­зы­ва­ет­ся при­год­ной и для опи­са­ния спек­траль­но­го рас­пре­де­ле­ния лу­чи­стой энер­гии, ис­пус­кае­мой ре­аль­ны­ми те­ла­ми в ок­ру­жаю­щее про­стран­ст­во. Ре­ги­ст­ра­ция спек­тров из­лу­че­ния звёзд и их со­пос­тав­ле­ние с фор­му­лой План­ка яв­ля­ет­ся осн. ме­то­дом ус­та­нов­ле­ния темп-ры их по­верх­но­сти. Этим спо­со­бом мож­но из­ме­рять так­же темп-ру на­гре­тых тел в зем­ных ус­ло­ви­ях, что осо­бен­но важ­но для рас­ка­лён­ных ме­тал­лов и ке­ра­мик, где не­при­ме­ни­мы тра­диц. дат­чи­ки темп-ры. П. з. и. ис­поль­зу­ют для опи­са­ния по­то­ков лу­чи­стой энер­гии в эта­ло­нах яр­ко­сти из­лу­че­ния, не­об­хо­ди­мых для аб­со­лют­ной ка­либ­ров­ки при­ём­ни­ков све­та.

Источник: https://bigenc.ru/physics/text/3143472

1.4. Закон излучения Планка

Формула Планка

М. Планк указал выход из создавшегося положения, выдвинув гипотезу, что электромагнитная энергия испускается и поглощается не непрерывно, а отдельными порциями (квантами)

Коэффициент пропорциональности в соотношении между энергией  и частотой света  в СИ измеряется в Дж∙с и называется теперь постоянной Планка. Впоследствии было установлено ее численное значение:

В соответствии с гипотезой Планка, энергия  рассмотренной выше стоячей волны в резонаторе может принимать лишь дискретный набор значений

кратных частоте волны.

Рис. 1.12. Планк Макс Карл Эрнст Людвиг (1858–1947)

Используя это соотношение, Планк получил аналитическое выражение для испускательной способности черного тела. Для излучения в состоянии термодинамического равновесия по-прежнему справедливо распределение Больцмана. Соответственно, вероятность Рn того, что энергия стоячей волны с частотой  равна

определяется формулой

(1.21)

Сумма всех вероятностей равна единице, откуда мы находим нормировочный коэффициент С:

(1.22)

Средняя энергия колебания с частотой w равна

(1.23)

Метод расчета таких сумм основан на выражении для суммы членов геометрической прогрессии и формулы, получаемой из нее дифференцированием:

(1.24)

Подставляя сюда

находим выражение для средней энергии стоячей волны

(1.25)

Умножая число стоячих волн в единице объема и с частотой в интервале  на их среднюю энергию (1.25), получаем формулу Планка для спектральной плотности энергии теплового излучения

(1.26)

Испускательная способность абсолютно черного тела с учетом формулы (1.6) описывается законом Планка

(1.27)

При высоких температурах (малых частотах)

экспоненту в знаменателе формул (1.25) и (1.27) можно разложить в ряд:

откуда получаем классическое выражение для средней энергии осциллятора

и формулу Рэлея — Джинса (1.19). Для спектральной плотности энергии и испускательной способности абсолютно черного тела в зависимости от длины волны   имеем

(1.28)

Оказалось, что закон Планка точно согласуется с экспериментальными данными во всем интервале длин волн, в то время как формула Рэлея — Джинса, как уже говорилось, соответствует данным опыта только при больших длинах волн (рис. 1.13).

Рис. 1.13. Сравнение испускательной способности черного тела  ,
согласно закону Планка и эксперименту (1) и формуле Рэлея — Джинса (2)

Более того, из закона Планка непосредственно получается закон Стефана — Больцмана:

(1.29)

Введем безразмерную переменную интегрирования

В результате этого получаем

(1.30)

Используя значение интеграла

находим аналитическое выражение для постоянной Стефана — Больцмана:

(1.31)

величина которой согласуется с приведенными экспериментальными данными.

Из закона Планка следует также закон смещения Вина. Если продифференцировать функцию Планка (1.28) по , и приравнять нулю производную, то можно найти положение максимума функции . Действительно, приравнивая нулю функцию , получаем

(1.32)

Введя безразмерную переменную

приходим к уравнению

(1.33)

Корень этого уравнения

позволяет получить закон смещения Вина:

(1.34)

Рис. 1.14. Распределение Планка для испускательной способности абсолютно чёрного тела при разных температурах. С ростом температуры максимум спектров сдвигается вдоль пунктирной линии в строну коротких длин волн в соответствии с законом Вина

Таким образом, формула Планка не только хорошо согласуется с экспериментальными данными, но и содержит в себе все эмпирические законы теплового излучения, а также позволяет вычислить константы в этих законах.

Мы искали максимум функции  по длинам волн. Но излучение черного тела можно характеризовать также и распределением (1.27)  по частотам. Найдем для сравнения максимум этого распределения. Для этого надо найти экстремум функции (1.27):

(1.35)

Вводя безразмерную переменную

получаем уравнение для точки максимума распределения :

(1.36)

которое имеет корень

Отсюда следует, что максимум интенсивности  приходится на частоту

(1.37)

Этой частоте соответствует длина волны

(1.38)

которая, конечно, не определяет максимум функции (1.28) и поэтому не совпадает с выражением (1.34) для  из закона смещения Вина:

(1.39)

Пример 1. Принимая, что Солнце излучает как абсолютно черное тело, вычислим его энергетическую светимость и температуру поверхности. Солнечный диск виден с Земли под углом  рад. Поток солнечной энергии на земной орбите (так называемая солнечная постоянная) равен С = 1.4 кВт/м2.

Пусть радиус Солнца равен rC , а расстояние до Земли есть lЗ . Их отношение связано с угловым диаметром Солнца:

(1.40)

Если энергетическая светимость Солнца есть R, то полная энергия, излучаемая Солнцем в единицу времени, равна произведению R на площадь поверхности Солнца:

(1.41)

Эта энергия достигает орбиты Земли, где она распределяется по большей площади . Отсюда находим солнечную постоянную

(1.42)

В итоге получаем

(1.43)

По формуле Стефана — Больцмана находим температуру верхних слоев Солнца

(1.44)

Пример 2. В пророчестве Исайи (Ис. 30, 26) сказано:

«И свет луны будет, как свет солнца, а свет солнца будет светлее всемеро, как свет семи дней, в тот день, когда Господь обвяжет рану народа Своего и исцелит нанесенные ему язвы».

Оценим температуру окружающей среды в этот день.

Поток солнечного излучения, падающий на Землю, компенсируется энергией, излучаемой Землей.

Из условия задачи следует, что в указанный день поток энергии (с учетом света Луны) в восемь раз превысит нынешний поток солнечного излучения.

В состоянии теплового равновесия во столько же раз должен увеличиться поток тепловой энергии с Земли. Из закона Стефана — Больцмана следует, что температура на Земле должна возрасти в

Если нынешняя средняя температура составляет 17° С = 290 К, то при увеличении потока энергии в 8 раз она составит Т = 1,68 ·290 = 487 К = 214 °С. Жарко будет!

Пример 3. Исходя из данных примера 1, найдем длину волны, на которую приходится максимум энергии солнечного излучения.

Выше была найдена температура верхних слоев Солнца. По закону смещения Вина получаем

1.4. Существуют ли лучи холода?

Источник: https://online.mephi.ru/courses/physics/atomic_physics/data/course/1/1.4.html

Формула Планка

Формула Планка

В 1900 г. М. Планк предложил интерполяционную формулу для спектральной плотности энергии равновесного излучения. Формула была получена Планком полуэмпирическим путем, позднее он доказал ее теоретически.

День, в который Планк сделал доклад на заседании немецкого физического Общества, о теоретическом доказательстве своей формулы, считается днем рождения квантовой физики. Новшество идеи Планка состояло в том, что излучение и поглощение света происходит порциями, квантами света (квантами энергии).

При выводе своей формулы Планк пользовался понятием гармонического осциллятора, понимая под ним не только частицу, которая совершает гармонические колебания, но и, например, стоячую волну, определенной частоты в полости тела, которое принимают как модель абсолютно черного тела.

И при этом Планк считал, что энергия осциллятора с собственной частотой $u $ может принимать дискретные значения, которые отличаются от элементарной порции энергии (кванта) на целое число. Энергия кванта равна:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

где $h=6,625\cdot {10}{-34}Дж\cdot с$ — постоянная Планка (квант действия). Средняя энергия радиационного осциллятора получилась у Планка равной:

Формула, которую получил Планк для спектральной испускательной способности черного тела, имеет вид:

\[{\varepsilon }_{u ,T}=\frac{2\pi {u }2}{c2}\frac{hu }{{exp \left(\frac{hu }{kT}\right)\ }-1}\ \left(3\right).\]

Другой вид формулы Планка получаю, если записывают ее через длину волны ($\lambda $):

\[{\varepsilon }_{\lambda ,T}=\frac{2\pi c2}{{\lambda }5}\frac{h}{{exp \left(\frac{hc}{k\lambda T}\right)\ }-1}\ \left(4\right).\]

Формула Планка, записанная через циклическую частоту ($\omega $) примет вид:

\[{\varepsilon }_{\omega ,T}=\frac{\hbar {\omega }3}{4{{\pi }2c}2}\frac{1}{{exp \left(\frac{\hbar \omega }{kT}\right)\ }-1}\left(5\right),\]

где $\hbar =\frac{h}{2\pi }=1,055\cdot {10}{-34}Дж\cdot с$.

Формула Планка полностью описывает излучение абсолютно черного тела и расчеты, которые проводятся с ее использованием, совпадают с экспериментальными данными для любых частот. В этой формуле, как частный случай, содержится формула Рэлея — Джинса (при $hu \ll kT$). В области больших частот (при $hu \gg kT$) формула Планка переходит в выражение:

\[{\varepsilon }_{u ,T}=\frac{2\pi h{u }3}{c2}{exp \left(-\frac{hu }{kT}\right)\ }\left(6\right).\]

Закон смещения Вина и закон Стефана-Больцмана

Из формулы Планка следуют закон смещения Вина и закон Стефана — Больцмана. Количественное значение постоянной Планка можно найти, зная из эксперимента величины постоянных: k (постоянная Больцмана), $\sigma$ (постоянная Стефана — Больцмана) и скорости света в вакууме (с):

\[h=\sqrt[3]{\frac{2{\pi }5k4}{15 \sigma c2}}\ \left(7\right).\]

Постоянную Планка можно выразить через постоянную Вина.

Пример 1

Задание: Используя формулу Планка, получите закон Стефана — Больцмана для интегральной излучательной способности абсолютно черного тела.

Решение:

Энергетическую светимость абсолютно черного тела определим, как:

\[{\varepsilon }_T=\int\limits{\infty }_0{{\varepsilon }_{u ,T}du \ \left(1.1\right).}\]

Используем формулу Планка для излучательной способности абсолютно черного тела:

\[{\varepsilon }_{u ,T}=\frac{2\pi {u }3}{c2}\frac{h}{{exp \left(\frac{hu }{kT}\right)\ }-1}\ \left(1.2\right).\]

Подставим (1.2) в (1.1), получим интеграл:

\[{\varepsilon }_T=\int\limits{\infty }_0{\frac{2\pi {u }3}{c2}\frac{h}{{exp \left(\frac{hu }{kT}\right)\ }-1}du =\frac{2\pi h}{c2}\ \int\limits{\infty }_0{\frac{{u }3du }{{exp \left(\frac{hu }{kT}\right)\ }-1}}\left(1.3\right).}\]

Проведем замену переменных, подставим $x=\frac{hu }{kT}\to u =\frac{xkT}{h},\ \to du =\frac{kTdx}{h}$, тогда интеграл в (1.3) преобразуется к виду:

\[{\varepsilon }_T=\frac{2\pi h}{c2}\int\limits{\infty }_0{\frac{{\left(\frac{xkT}{h}\right)}3\frac{kTdx}{h}}{{exp \left(x\right)\ }-1}}=\frac{2\pi {\left(kT\right)}4}{c2h3}\int\limits{\infty }_0{\frac{x3exp \sigma (-x)dx}{1-{exp \left(-x\right)\ }}}\left(1.4\right).\]

Разложим знаменатель интеграла из (1.4) в ряд:

\[1-e{-x}=1+e{-x}+e{-2x}+\dots .\]

Найдем интеграл:

\[\int\limits{\infty }_0{\frac{x3e{-x}dx}{1-e{-x}}}=\int\limits{\infty }_0{x3e{-x}(1+e{-x}+e{-2x}+\dots .)dx}=6\left(1+\frac{1}{24}+\frac{1}{34}+\dots \right)=\frac{{\pi }4}{15}\]

Так, получаем интеграл в выражении (1.4) равен:

\[\int\limits{\infty }_0{\frac{x3dx}{{exp \left(x\right)\ }-1}}=\frac{{\pi }4}{15}\approx 6,5\left(1.5\right).\]

В таком случае из (1.4) получим:

\[{\varepsilon }_T=\frac{2\pi {\left(kT\right)}4}{c2h3}\frac{{\pi }4}{15}= \sigma T4\ \left(1.6\right),\]

где $\sigma=\frac{2\pi k4}{c2h3}\frac{{\pi }4}{15}$

Рассчитаем величину $\sigma$, которую мы получили, зная все составляющие ее формулу постоянные:

\[\pi =3,14;;\] \[k={1,38•10}{-23}\frac{Дж}{К};\] \[c=3•{10}8\frac{м}{с};;\] \[h=6,67\cdot {10}{-34}Дж\cdot с.\] \[\sigma=\frac{2\cdot {\left(3,14\right)}5\cdot {\left({1,38\cdot 10}{-23}\right)}4}{15\cdot {\left(3\cdot {10}8\right)}2\cdot {\left(6,67\cdot {10}{-34}\right)}3}=5,7\cdot {10}{-8}\ \frac{Вт}{м2К4}.\]

Таким образом, мы получили закон Стефана Больцмана:

\[{\varepsilon }_T=\sigma T4.\]

Пример 2

Задание: Используя формулу Планка, получите формулу Рэлея Джинса.

Решение:

Формула Планка переходит в формулу Рэлея — Джинса в области низких частот. Это значит, что $\hbar \omega \ll kT.$

Запишем формулу Планка через циклическую частоту:

\[{\varepsilon }_{\omega ,T}=\frac{\hbar {\omega }3}{{{4\pi }2c}2}\frac{1}{{exp \left(\frac{\hbar \omega }{kT}\right)\ }-1}\left(2.1\right).\]

Рассмотрим дробь: $\frac{1}{{exp \left(\frac{\hbar \omega }{kT}\right)\ }-1}$, проведем замену, обозначим $\frac{\hbar \omega }{kT}=x$, тогда:

\[\frac{1}{{exp \left(\frac{\hbar \omega }{kT}\right)\ }-1}=\frac{1}{{exp \left(x\right)\ }-1}\ (2.2)\]

По условию мы имеем, что $\hbar \omega \ll kT$, следовательно, $x$ стремится к нулю. Около нуля мы можем экспоненциальную функцию разложить в ряд: ${exp \left(x\right)\ }=1+x+\frac{x2}{2}+\dots +\approx 1+x$. В таком случае ${exp \left(x\right)\ }-1=1+x-1=x$. В таком случае уравнение (2.1) запишем в виде (от x перейдем назад к $\frac{\hbar \omega }{kT}$):

\[{\varepsilon }_{\omega ,T}=\frac{\hbar {\omega }3}{{{4\pi }2c}2}\frac{1}{\frac{\hbar \omega }{kT}}=\frac{{\omega }2kT}{{{4\pi }2c}2}\ (2.3)\]

Таким образом, мы получили, что:

\[{\varepsilon }_{\omega ,T}=\frac{щ2kT}{{{4$\eth$}2c}2}-\]

это формула Рэлея — Джинса, что и требовалось получить.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/termodinamika/formula_planka/

Booksm
Добавить комментарий