Формула Эйри

24 Многолучевая интерференция

Формула Эйри

До сих пор мырассматривали интерференцию междудвумя волнами. Теперь рассмотриммноголучевую интерференцию на примереинтерферометра Фабри–Перо (ИФП)(рис.6.10).

Исследуем сначала интерференциюмногих световых волн при прохожденииплоской монохроматической волны черезплоскопараллельную диэлектрическуюпластинку толщиной hи показателем преломления n.

Обозначим –амплитудные коэффициенты пропусканияи отражения при входе волны внутрьпластины,–амплитудные коэффициенты пропусканияи отражения на выходе волны из пластинынаружу. При этом справедливы соотношения:

(6.34)

где Áи – энергетические коэффициенты пропусканияи отражения соответственно. Будемсчитать углы падения jи преломления qдостаточно малыми, что можно считатькоэффициенты отражения и пропусканиянезависящими от этих углов. Разностьхода Dмежду соседними интерферирующимиволнами на выходе пластины равна

, (6.35)

а разность фазравна

. (6.36)

Запаздываниепоследующей волны относительно предыдущейза счет прохождения волны в пластинкеучтем множителем е-id. Суммарнаяамплитуда E2 прошедшей волны определяется суперпозициейвсех прошедших пластинку волн:

. (6.37)

Интенсивностьсвета определяется следующим образом:

или

(6.38)

Эта формула носитназвание формулыЭйри.

Отметим, чтоаналогично можно найти суммарнуюинтенсивность света приотраженииот плоскопараллельной пластинки:

.(6.39)

Интерференционныекартины в проходящем и отраженном светеоказываются дополнительными.

Вид функции Эйри(6.38) для трех различных коэффициентовотражения (1 – Â=0,04; 2 – Â=0,4; 3 – Â=0,8)представлен на рис.6.11. Максимумы функциидостигаются при,гдеm= 0,1,2, …, а минимумы – при.Т.о. функция видности интерференционнойкартины равна:

,(6.40)

т.е. при ®1 ÞV®1. При минимуме прошедшей проинтерферировавшейволны наблюдается максимальное отражениесвета от интерферометра тоже за счетинтерференционного сложения волн назеркалах.

Если на ИФП падаютпучки света под всевозможными углами,то интерференционные полосы имеют видколец. Максимальный порядок интерференциисоответствует центру интерференционнойкартины.

Интерференционная картинаимеет одинаковый вид там, где падающиепучки имеют одинаковый угол падения наИФП (полосыравного наклона).

Интерференционная картина наблюдаетсяили на бесконечности, или (что обычнореализуется в эксперименте) в фокальнойплоскости линзы.

В реальныхизмерительных ИФП интерференциявозникает между двумя отполированнымис высокой точностью ( ~ 0,01l)плоскими строго параллельными (сплоскостностью до 0,005) зеркалами сбольшими коэффициентами отражения(алюминиевые зеркала – ~75%, посеребренные– ~90%, диэлектрические интерференционные– до 99,9%). Интерферометр с показателемпреломления между зеркалами n= 1 называетсяэталономФабри–Перо).

f(D),с помощью (6.53) получаем спектральныйсостав излучения. Такой метод определенияспектров называется Фурье-спектроскопией.Рассмотрим еще некоторые примененияинтерференционных явлений в современнойтехнике.

25. ПринципГюйгенса —Френеля является развитием принципа,который ввёл Христиан Гюйгенс в 1678 году:каждая точка поверхности, достигнутаясветовой волной, является вторичнымисточником световых волн. Огибающаявторичных волн становится фронтом волныв следующий момент времени.

ПринципГюйгенса объясняет распространениеволн, согласующееся с законамигеометрической оптики, но не можетобъяснить явлений дифракции.

ОгюстенЖан Френель в 1815 году дополнил принципГюйгенса, введя представления окогерентности и интерференции элементарныхволн, что позволило рассматривать наоснове принципа Гюйгенса — Френеля идифракционные явления.

Принцип Гюйгенса— Френеля формулируется следующимобразом: каждый элемент волнового фронтаможно рассматривать, как центр вторичноговозмущения, порождающего вторичныесферические волны, а результирующеесветовое поле в каждой точке пространствабудет определяться интерференцией этихволн.

Зоны Френеля.Пустьсферическая волна падает на непрозрачныйэкран с отверстием. Требуется найтираспределение интенсивности света заэкраном. Для решения этой задачи делаютсядва предположения:

  1. непроницаемые части экрана не являются источниками вторичных волн;

  2. в отверстии точки волнового фронта являются такими же источниками вторичных волн, какими они были бы при отсутствии непроницаемых частей экрана.

Пусть A– источниксферической волны, S– волновой фронт в некоторый моментвремени, R –радиус кривизны этого фронта (рис.7.2).Найдем интенсивность в точке Pс помощью принципа Гюйгенса – Френеля.

Разобьем поверхность Sна кольцеобразные зоны такого размера,чтобы расстояния от краев зоны (в разрезеэто соответствует точкам M1,M2,M3, …) до Pотличались на l/2(эти зоны называются зонамиФренеля):(7.3)

Из геометрии рис.7.3можно получить для радиуса m–йзоны Френеля rm :

(7.4)

Исключая величинуdm и пренебрегаяслагаемыми ~l2ввиду их малости, получаем:

(7.5)

Площади всех зонФренеля примерно одинаковы (в случаепренебрежения кривизной поверхности,что не вносит существенной ошибки, еслирадиусы зон Френеля много меньше радиусакривизны волнового фронта (обычно этосправедливо для очень большого числазон Френеля)):

(7.6)

Графическоевычисление амплитуды (метод векторныхдиаграмм). Разделимкаждую из зон на большое число Nучастков.Между началом и концом зоны фаза меняетсяна p,а между малыми участками – на d= p/N.

Пусть E0– амплитудаволны, приходящей в точку наблюдения Pот каждого участка; а фаза волны,приходящей из точки Dв точку P– равна нулю.

Комплексная амплитуда волны в точке Pот центральной зоны Френеля с учетоминтерференции равна:

(7.7)

Аналитическоесложение амплитуд можно проделатьграфически, изображая комплекснуюамплитуду в виде вектора (рис.7.3). Приувеличении числа разбиений до бесконечностиломаная кривая превращается в плавную.Длина вектораDM1 пропорциональнаамплитуде волны в точке P,когда открыта вся центральная зонаФренеля.

Аналогично продолжая построение,можно получить кривую, по которой легкоопределить амплитуду волны (и ееинтенсивность), зная соотношениедиаметров открываемого отверстия и зонФренеля. При строгом равенстве амплитудв (7.

7) складываемых колебаний отэлементарных участков результирующаяамплитуда от двух открытых соседнихзон была бы равна нулю, т.е. вторичныеволны в результате интерференции гасили бы друг друга, но коэффициент наклонаK(a)в (7.1) убывает по мере увеличения aи приводит к уменьшению амплитудвторичных волн.

Поэтому полученнаякривая не замыкается, а имеет вид спирали.Зависимость амплитуды поля в точке Pот радиуса отверстия показана на рис.7.4.

Пятно Пуассона.Если на путисветовой волны стоит непрозрачныйкруглый экран, то за экраном в его тенина оси возникает светлое пятно, называемоепятномПуассона.Необходимость возникновения светлогопятна очевидна из рассуждений по методузон Френеля. Экран закрывает некотороечисло зон Френеля начиная с центральной.

Однако следующие зоны после последнейиз закрытых создают в точке Pосвещенность, значение которой можнорассчитать с помощью спирали. Т.о.,получается, что волна как бы огибаетнепрозрачный экран. Интенсивность пятнаПуассона весьма слаба при большихразмерах непрозрачного экрана.

Крометого, необходимо, чтобы свет обладалдостаточно большой степенью когерентности.

Отметим, что можнонаблюдать и противоположный эффект –темное пятно в центре картинки придифракции на открытом отверстии. Такоепятно называется пятномАраго.

26Дифракцияна прямоугольном отверстии(рис.7.7). Отверстиеимеет стороны a и b.На отверстии фаза и амплитуда плоскойволны постоянна. Комплексная амплитудаволны на отверстии обозначим A0.Тогда, применяя формулу (7.35), получаемдля амплитуды поля при дифракции:, (7.36)

где .

Интенсивность вдифракционной картине с точностью допостоянного множителя имеет вид (см.рис.7.8):

. (7.37)

Дифракцияна щели.

Рассмотрим падениеплоской монохроматической световой волны на бесконечную щель шириной b (рис.7.9).Участок dx,находящийся на расстоянии xот левого края щели (начала координат),в направлении Z’излучает плоскую волну с запаздываниемфазы относительно точки О на kx×sinj.

Угол jотсчитывается от оси Z– нормали к щели (первоначальногонаправления падающей волны), k– волновое число падающей волны. Призаписи амплитуды волны учтем, что всящель в направлении j= 0 посылает излучение с амплитудой E0.

Предполагая равномерное распределениеамплитуды по щели, получим, что участокdxщели пошлет в направлении Z’волну dE1с амплитудойE0dx/b:

(7.39)

Отсюда имеем дляамплитуды волны от всей щели:

(7.40)

После несложногоинтегрирования и перехода от поля кинтенсивности, получаем интенсивностьдифракционной картины:

(7.41)

где I0= E02; I1= E12; . (7.42)

Проанализируемвыражение (7.41).

  1. При j = 0 u =0. Используя соотношение , получаем, что в центре дифракционной картины интенсивность максимальна и равнаI0 .

  1. При углах j, для которых sinu = 0, а u ¹ 0 интенсивность света обращается в нуль. Тогда условие минимума дифракционной картины на одиночной щели принимает вид:

(7.43)

3. Основная частьпотока энергии сосредоточена в пределахизменения угла дифракции jмежду первыми (n= ±1)симметричными максимумами. Графикзависимости (7.41) приведен на рис.7.10.

4. Чем меньше (уже)щель, тем шире центральный максимум.Нетрудно заметить, что при b»lцентральный максимум расплывается навсю полуплоскость (j»p/2).Дальнейшее уменьшение щели приводитлишь к монотонному уменьшению интенсивностипрошедшего света.

Изучениекартины дифракции дает информацию оширине щели, если известна длина волныиспользуемого света. Наоборот, знаяширину щели, можно найти длину волны.

Таким образом, дифракционная картинаот данного объекта имеет характерныйвид, позволяющий получать информациюо размерах этого объекта.

Отмеченноеобстоятельство носит достаточно общийхарактер и лежит в основе метрологическогоприменения дифракционных явлений.

27.Дифракцияна круглом отверстии.

Пусть R– радиус отверстия. Расчет удобнеевести в полярных координатах (r,q)и (r’,q’)в плоскостях отверстия и дифракционнойкартины:

(7.44)

Тогда (7.35) для этогослучая запишется в виде:

(7.45)

где –функция Бесселяm-гопорядка. Воспользуемся свойством функцийБесселя:

. (7.46)

Тогда получаем(рис.7.11):

.(7.47)

Интенсивностьдифракционной картины определяетсяквадратом этой функции, т.е. в центрекартины имеется светлое круглое пятно,окруженное темными и светлыми кольцами.Максимумы интенсивности быстро убывают.

Радиусы колец определяются из корнейфункции БесселяJ1(r)=0.Т.к. существует приближенное соотношение,токачественнораспределение интенсивности выглядитпримерно так же, как и на рис.7.10.

Угловойразмер центрального светлого пятна(диска Эйри),наблюдаемого из центра круглогоотверстия, равен:

. (7.48)

Источник: https://studfile.net/preview/6212648/page:13/

3.7. Многолучевая интерференция

Формула Эйри

При падении пучка света на прозрачную пластинку на ее поверхности происходят многократные отражения, в результате чего с каждой стороны пластинки выходит ряд пучков с убывающей амплитудой.

Рассматривая интерференционные эффекты, возникающие с такими, мы пренебрегали вкладом в результирующую интенсивность пучков, испытавших больше двух отражений. Такое допущение оправдано при малой отражательной способности поверхностей.

Теперь мы учтем все отраженные пучки и покажем, что при большой отражательной способности поверхностей распределение интенсивности в интерференционной картине изменяется.

Рассмотрим плоскопараллельную прозрачную пластинку с показателем преломления N2, находящуюся в среде с показателем преломления N1, и предположим, что на эту пластинку под углом J1 падает плоская волна монохроматического света. Пусть луч CB1 (рис. 3.20) представляет направление распространения падающей волны.

Р и с. 3.20

На первой поверхности эта волна разделяется на две плоские волны: одну, отраженную в направлении B1C1 и другую, прошедшую в пластинку в направлении B1D1.

Прошедшая волна падает на вторую поверхность под углом J 2 и здесь снова разделяется на две плоские волны: одну, прошедшую в направлении D1E1, и другую, отраженную обратно в пластинку в направлении D1B2.

Такой процесс деления волны, остающейся в пластинке, продолжается как показано на рисунке.

Пусть E0 — амплитуда электрического вектора падающей волны. E0 может быть комплексной. Она содержит постоянную часть фазы соответствующей волновой функции. Переменная часть ее, как известно, имеет вид ().

Для каждого члена совокупности отраженных или прошедших волн переменная часть фазы волновой функции отличается от такой же части фазы предыдущего члена на величину, соответствующую двукратному прохождению луча в пластинке.

Эта разность фаз равна

,

Где L0 — длина волны в вакууме, D — оптическая разность хода для любой пары соседних лучей. Например, для лучей B1C1 и B2C2, как видно из рис. 3.20,

,

Где F — основание перпендикуляра, опущенного из B2 на B1C1. Если H — толщина пластинки, а J 1 и J 2 — углы падения и преломления на верхней поверхности, то Согласно ,

А соответствующая разность фаз, равна.

https://www.youtube.com/watch?v=BnXO4-ow9WE

Следует также учитывать изменение фазы на P, которое, согласно формулам Френеля, происходит при каждом отражении от верхней или нижней поверхности. Полная разность фаз равна поэтому

.

Если взять любую пару прошедших через пластинку лучей (например, D1E1 и D2E2), то для них полная разность фаз определяется формулой.

Луч D2E2 дважды испытывает отражение (т. т. D1 и B2) в одинаковых условиях.

Изменение фазы за счет отражения будет равно или 0 (если N2 > N1) , или 2P (если N1 > N2) и оно не учитывается.

Пусть для волны, идущей из окружающей среды в пластинку, R  –коэффициент отражения (отношение амплитуд отраженной и падающей волны), а T – коэффициент пропускания (отношение амплитуд прошедшей и падающей волны); пусть далее R¢ и T¢ – соответствующие коэффициенты для волны, идущей из пластинки в окружающую среду.

Вообще говоря, эти коэффициенты зависят от угла падения и состояния поляризация света, для границы двух прозрачных сред это показано с помощью формул Френеля.

Если мы ограничимся малыми углами J1, то T и R практически не зависят от угла падения и от поляризации падающего света и для них можно принять значения, соответствующие нормальному падению, а именно:

.

На границе прозрачных сред T и R вещественны, а отрицательное значение R при N2 > N1 учитывает изменение фазы волны на P при отражении от оптически более плотной среды. Из формул легко видеть, что отражательная способность границы, или энергетический коэффициент отражения R, не зависит от того, идет свет из окружающей среды в пластинку или наоборот

, и что.

Поэтому комплексная амплитуда всей прошедшей волны представится геометрической прогрессией:

.

Мы считаем, что пластинка достаточно длинная, так что число прошедших и отраженных лучей велико. Для нахождения интенсивности прошедшей волны умножим E2 в на комплексно-сопряженную величину и воспользуемся формулами и :

Где .

Таким же способом легко получить выражение для амплитуды отраженной волны:

.

Здесь учтено, что R¢=-R. Для интенсивности отраженной волны находим

.

Соотношения и известны как формулы Эйри. Из них видно, что IПр + IОтр = IПад, как и должно быть при отсутствии поглощения.

Предположим теперь, что плоские волны равной интенсивности падают на пластинку под разными, мало различающимися углами и прошедший свет собирается линзой L. В некоторой точке P ее фокальной плоскости интенсивность прошедшего света относится к интенсивности в отсутствие пластинки, как IПр /IПад.

Следовательно, формула дает распределение интенсивности в многолучевой интерференционной картине, наблюдаемой в фокальной плоскости линзы, там, где при отсутствии пластинки была бы равномерная освещенность. Максимумы IПр /IПад = 1 получаются при D/2 = MP (M – целое число).

Подставляя сюда D из, получаем то же условие, что и при двухлучевой интерференции, а именно,

Соответственно для минимума .

При малом коэффициенте отражения

Источник: https://www.webpoliteh.ru/3-7-mnogoluchevaya-interferenciya/

3.9. Дифракционный предел разрешения оптических инструментов

Формула Эйри


Для практики наиболее интересен случай дифракции света, когда препятствие оставляет открытой лишь малую часть 1-й зоны Френеля. Этот случай реализуется при условии

т. е. дифракционную картину от препятствий небольшого размера следует в этом случае наблюдать на очень больших расстояниях.

Например, если R = 1 мм, λ = 550 нм (зеленый свет), то расстояние L до плоскости наблюдения должно быть значительно больше 2 метров (т. е. минимум 10 метров или больше). Лучи проведенные в далекую точку наблюдения от различных элементов волнового фронта, практически можно считать параллельными.

Этот случай дифракции так и называется – дифракция в параллельных лучах или дифракция Фраунгофера – по имени немецкого физика И. Фраунгофера, современника Френеля. Если на пути лучей за препятствием поставить собирающую линзу, то параллельный пучок лучей, дифрагировавший на препятствии под углом θ, соберется в некоторой точке фокальной плоскости (рис. 3.9.1).

Следовательно, любая точка в фокальной плоскости линзы эквивалентна бесконечно удаленной точке в отсутствие линзы.

Рисунок 3.9.1.Дифракция в параллельных лучах. Зеленая кривая – распределение интенсивности в фокальной плоскости (масштаб по оси x сильно увеличен)

В фокальной плоскости линзы наблюдается дифракционная картина Фраунгофера. Но, согласно геометрической оптике, в фокусе линзы должно располагаться точечное изображение удаленного точечного предмета. На самом деле изображение точечного предмета оказывается размытым из-за дифракции. В этом проявляется волновая природа света.

Никакая оптическая система не может дать точечного изображения.

В случае дифракции Фраунгофера на круглом отверстии диаметра D дифракционное изображение состоит из центрального светлого пятна (диск Эйри), на которое приходится приблизительно 85 % энергии света, и окружающих его светлых и темных колец (рис. 3.

9.2). Это дифракционное пятно и принимается за изображение точечного источника. Радиус центрального пятна в фокальной плоскости линзы равен

Если лучи света от удаленного источника падают на линзу непосредственно, то роль экрана, на котором дифрагирует свет, выполняет оправа линзы. В этом случае под D нужно понимать диаметр линзы.

Рисунок 3.9.2.Дифракционное изображение точечного источника (дифракция на круглом отверстии). В центральное пятно попадает приблизительно 85 % энергии света

Размер дифракционных изображений очень мал. Например, радиус центрального светлого пятна в фокальной плоскости линзы диаметром D = 5 см с фокусным расстоянием F = 50 см в монохроматическом свете с длиной волны λ = 500 нм приблизительно равен 0,006 мм. Во многих оптических устройствах (фотоаппараты, проекторы и т. д.

) дифракционное размытие изображений маскируется значительно более сильными искажениями из-за несовершенства оптики. Но в высокоточных астрономических приборах реализуется дифракционный предел качества изображений.

Вследствие дифракционного размытия изображения двух близких точек объекта могут оказаться неотличимы от изображения одной точки. Рассмотрим в качестве примера объектив астрономического телескопа, нацеленного на две близкие звезды, находящиеся на угловом расстоянии ψ друг от друга.

Предполагается, что все дефекты и аберрации устранены, и в фокальной плоскости объектива наблюдаются дифракционные изображения звезд (рис. 3.9.3).

Рисунок 3.9.3.Дифракционные изображения двух близких звезд в фокальной плоскости объектива телескопа

На рис. 3.9.

3 расстояние Δl между центрами дифракционных изображений звезд превышает радиус r центрального светлого пятна – в этом случае изображения звезд воспринимаются наблюдателем раздельно и, следовательно, объектив телескопа позволяет разрешить две близкие звезды.

При уменьшении углового расстояния ψ между звездами дифракционные изображения могут сильно перекрыться и перестанут отличаться от изображения одиночной звезды. В этом случае объектив телескопа не разрешает близкие звезды. Английский физик Дж. Релей в конце XIX в.

предложил условно считать разрешение полным, когда расстояния Δl между центрами изображений равно (или превышает) радиус r диска Эйри (рис. 3.9.4). Условие Δl = r называют критерием разрешения Релея. Из этого критерия следует:

Телескоп с диаметром объектива D = 1 м способен разрешать две звезды, находящиеся на угловом расстоянии ψmin = 6,7·10–7 рад (для λ = 550 нм).

Рисунок 3.9.4.Предел разрешения по Релею. Красная кривая – распределение суммарной интенсивности света

Космический телескоп Хаббла, выведенный на орбиту в 1990 году, имеет зеркало диаметром D = 2,40 м. Предельное угловое разрешение этого телескопа на длине волны λ = 550 нм равно: ψmin = 2,8·10–7 рад.

На работу космического телескопа не оказывают влияния атмосферные возмущения. Для характеристики объектива телескопа можно ввести величину R, обратную предельному углу ψmin.

Эту величину называют разрешающей силой телескопа:

Для увеличения разрешающей способности телескопа следует увеличивать диаметр объектива (либо переходить к более коротким волнам).

Все сказанное выше о разрешающей способности телескопа применимо и к невооруженному глазу. Глаз при рассматривании удаленных предметов действует так же, как и объектив телескопа. Роль D играет диаметр зрачка глаза dзр.

Полагая dзр = 3 мм, λ = 550 нм, найдем для предельного углового разрешения глаза

Этот результат хорошо согласуется с физиологической оценкой разрешающей способности глаза, выполненной исходя из размеров светочувствительных элементов сетчатки (палочек и колбочек).

Теперь можно сделать один общий вывод: световой пучок с диаметром D и длиной волны λ вследствие волновой природы света испытывает дифракционное уширение. Угловая полуширина φ пучка оказывается порядка λ / D, так что полная ширина d пучка на расстоянии L приблизительно равна

Рис. 3.9.5 качественно показывает, как по мере удаления от препятствия трансформируется пучок света.

Рисунок 3.9.5.Пучок света, расширяющийся вследствие дифракции. Область I – понятие луча света, законы геометрической оптики. Область II – зоны Френеля, пятно Пуассона. Область III – дифракция в параллельных лучах

Оценки, выполненные на рис. 3.9.5, показывают, что угловое расхождение пучка уменьшается при увеличении его первоначального поперечного размера D. Этот вывод справедлив для волн любой физической природы.

Чтобы, например, послать «узкий» пучок лазерного излучения на Луну, нужно сначала его расширить.

Это достигается с помощью телескопа: лазерный пучок направляется в окуляр и затем, пройдя через телескоп, выходит из объектива, имея диаметр D (рис. 3.9.6).

Рисунок 3.9.6.Расширение лазерного пучка с помощью телескопической системы

Такой расширенный пучок, дойдя до Луны, «засветит» на ее поверхности пятно радиусом где L – расстояние до Луны.

Приняв D = 2,5 м (телескоп-рефлектор Крымской обсерватории), λ = 550 нм, L = 4·106 м, получим R ≈ 90 м.

Если бы на Луну был направлен первоначальный пучок лазерного света, имеющий диаметр порядка 1 см, то он «засветил» бы на Луне пятно, радиус которого оказался бы в 250 раз больше.

Разрешающая способность микроскопа. С помощью микроскопа наблюдают близко расположенные объекты, поэтому его разрешающая способность характеризуется не угловым, а линейным расстоянием между двумя близкими точками, которые еще могут восприниматься раздельно.

Наблюдаемый объект располагается вблизи переднего фокуса объектива. Часто пространство перед объективом заполняется специальной прозрачной жидкостью – иммерсией (рис. 3.9.7). В плоскости, геометрически сопряженной объекту, располагается его увеличенное изображение, которое рассматривается глазом через окуляр.

Изображение каждой точки оказывается размытым вследствие дифракции света.

Рисунок 3.9.7.Иммерсионная жидкость перед объективом микроскопа

Впервые предел разрешения объектива микроскопа был определен в 1874 г. немецким физиком Г. Гельмгольцем. Формула Гельмгольца имеет вид:

Здесь λ – длина волны, n – показатель преломления иммерсионной жидкости, α – так называемый апертурный угол (рис. 3.9.7). Величина n sin α называется числовой апертурой.

У хороших микроскопов апертурный угол α близок к своему пределу: α ≈ π / 2. Как видно из формулы Гельмгольца, применение иммерсии несколько улучшает предел разрешения. Полагая для оценок sin α ≈ 1, n ≈ 1,5, получим:

lmin ≈ 0,4 λ.

Таким образом, с помощью микроскопа принципиально невозможно рассмотреть какие-либо детали, размер которых значительно меньше длины волны света. Волновые свойства света определяют предел качества изображения объекта, полученного с помощью любой оптической системы.

Модель. Дифракционный предел разрешения




Лучшие школы, лагеря, ВУЗы за рубежом
рунетки
Знакомьтесь и общайтесь с привлекательными девушками в онлайн видеочате
chatroulette18.ru
Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: online подготовка к ЕГЭ на College.ru, библиотека ЭОРов и обучающие программы на Multiring.ru.

Источник: https://physics.ru/courses/op25part2/content/chapter3/section/paragraph9/theory.html

Многолучевая интерференция. Коэффициент отражения. Формулы Эйри

Формула Эйри

Ø Многолучевая интерференция

Многолучевая интерференция – участие в интерференции более 2 когерентных лучей.

В случае многолучевой интерференции по сравнению с двухлучевой происходит резкое увеличение яркости светлых интерференционных полос с одновременным уменьшением их ширины.

Многолучевую интерференцию можно осуществить в многослойной системе чередующихся пленок с разными показателями преломления, нанесенных на отражающую поверхность.

Коэффициент отражения— отвлеченное число, показывающее отношение светового потока, отраженного телом, к световому потоку, падающему на него: ρ=F/F 0 .

Так как в природе не существует таких тел, которые полностью отражали бы весь падающий на них световой поток, и все тела в той или иной мере поглощают свет, коэффициент отражения всегда меньше единицы.

Коэффициенты отражения:

· Правильного (зеркального) отражения

· коэффициент диффузного отражения

· общий коэффициент отражения.

Коэффициент отражения R от полированной стеклянной поверхности зависит от показателя преломления стекла и от угла падения луча.

Рис. Зависимость коэффициента отражения от угла падения луча на поверхность раздела воздух — стекло

для углов до 45-50°, т. е. в пределах того, что имеет место в обычных объективах, коэффициент отражения остается практически постоянным и, следовательно, зависит только от показателя преломления стекла.

Значение R может быть вычислено по формуле:

где n — показатель преломления стекла.

Коэффициент отражения растет с увеличением показателя преломления. Этим объясняются большие потери света, имеющие место в сложных объективах, изготовленных из тяжелых сортов оптического стекла, если их поверхности не просветлены.

Формулы Эйри.

· Формула для прошедшей волны

Предположим, что на пластинку падает под углом плоская монохроматическая волна с амплитудой E0. При нахождении комплексной амплитуды суммарной волны, прошедшей через пластинку, нужно учесть, что фаза каждой последующей волны больше фазы предыдущей на

где — волновое число. Поэтому комплексная амплитуда последующей волны отличается дополнительным множителем от амплитуды предыдущей. В результате комплексная амплитуда всей прошедшей волны представится геометрической прогрессией:

Мы считаем здесь размеры пластинки и линзы достаточно большими, чтобы можно было не учитывать дифракцию на их краях и виньетирование наклонных пучков (т.е ограничение их поперечного сечения краями пластинки и линзы).

Для нахождения интенсивности прошедшей волны умножим E2 в формуле на комплексно-сопряженную величину и воспользуемся формулами для энергетического коэффициента отражения:

Таким же способом легко получить выражения для амплитуды и интенсивности отраженной волны.

· Формула для отраженной волны

Тем же способом, каким мы получили выражение для амплитуды прошедшей волны, легко получить выражение для амплитуды отраженной волны:

Здесь учтено, что . Для интенсивности отраженной волны находим

· Дифракцией света называется явление отклонения света от прямолинейного направления распространения при прохождении вблизи препятствий.

· Согласно принципу Гюйгенса — Френеля, световая волна, возбуждаемая каким-либо источником S, может быть представлена как результат суперпозиции когерентных вторичных волн, «излучаемых» фиктивными источниками.

Такими источниками могут служить бесконечно малые элементы любой замкнутой поверхности, охватывающей источник S.

Обычно в качестве этой поверхности выбирают одну из волновых поверхностей, поэтому все фиктивные источники действуют синфазно.

· Метод зон Френеля (строим волновую поверхность, на ней отмечаем границы зон — они удалены от точки экрана на полуцелое число длин волн. Если таких зон четное число, в точке экрана освещенность 0, если нечетное — освещенность положительная).

· Зонная пластинка — плоскопараллельная стеклянная пластинка с выгравированными концентрическими окружностями, радиус которых совпадает с радиусами зон Френеля.

Зонная пластинка «выключает» чётные либо нечётные зоны Френеля, чем исключает взаимную интерференцию (погашение) от соседних зон, что приводит к увеличению освещённости точки наблюдения.

Таким образом зонная пластинка действует как собирающая линза.

· Дифракция на круглом отверстии. Сферическая волна, распространяющаяся из точечного источника S, встречает на своем пути экран с круглым отверстием. Дифракционную картину наблюдаем на экране Э в точке В, лежащей на линии, соединяющей S с центром отверстия.

https://www.youtube.com/watch?v=pX7ahW-JzB4

Экран параллелен плоскости отверстия и находится от него на расстоянии b. Разобьем открытую часть волновой поверхности Ф на зоны Френеля. Вид дифракционной картины зависит от числа зон Френеля, открываемых отверстием. Амплитуда результирующего колебания, возбуждаемого в точке В всеми зонами,

где, знак плюс соответствует нечетным m, минус — четным m.

Когда отверстие открывает нечетное число зон Френеля, то амплитуда (интенсивность) в точке В будет больше, чем при свободном распространении волны; если четное, то амплитуда (интенсивность) будет равна нулю.

Если отверстие открывает одну зону Френеля, то в точке В амплитуда А =А1, т.е.вдвое больше, чем в отсутствие непрозрачного экрана с отверстием. Интенсивность света больше соответственно в четыре раза.

Если отверстие открывает две зоны Френеля, то их действия в точке В практически уничтожат друг друга из-за интерференции.

Таким образом, дифракционная картина от круглого отверстия вблизи точки В будет иметь вид чередующихся темных и светлых колец с центрами в точке В (если т четное, то в центре будет темное кольцо, если т нечетное — то светлое кольцо), причем интенсивность в максимумах убывает с расстоянием от центра картины.

Расчет амплитуды результирующего колебания на вне осевых участках экрана более сложен, так как соответствующие им зоны Френеля частично перекрываются непрозрачным экраном. Если отверстие освещается не монохроматическим, а белым светом, то кольца окрашены.

Число зон Френеля, открываемых отверстием, зависит от его диаметра. Если он большой, то Am ≪ A1и результирующая амплитуда A = A1/2,т. е. такая же, как и при полностью открытом волновом фронте. Никакой дифракционной картины не наблюдается, свет распространяется, как и в отсутствие круглого отверстия, прямолинейно.

· Теорема Бабине (в теории дифракции) – теорема, согласно которой Фраунгоферовы дифракционной картины от каждого из дополнительных экранов, получаемые в фокальной плоскости линзы, одинаковы для любой точки, за исключением самого фокуса.

14 Вопрос Дифракционная решетка как спектральный прибор Дифракционная решетка — представляет собой совокупность большого числа находящихся в одной плоскости узких, параллельных, близко расположенных друг к другу прозрачных для света участков (щелей), разделенных непрозрачными промежутками. С помощью дифракционной решетки можно производить очень точные измерения длины волны. Если период решетки известен, то определение длины волн сводится к измерению угла θm, соответствующего направлению на выбранный максимум m-го порядка.С увеличением числа щелей растет интенсивность главных максимумов, ибо возрастает количество пропускаемого решеткой света. Но самое существенное изменение, вызванное большим количеством щелей, состоит в превращении расплывчатых главных максимумов в резкие, узкие максимумы. Резкость максимумов дает возможность отличить близкие длинны волн, которые изображаются раздельными, яркими полосками и не будут перекрывать друг друга, как это имеет место при расплывчатых максимумах, получающихся при одной или малом количестве щелей. Измерение длины световой волны при помощи дифракционных решеток принадлежит к числу наиболее точных. Постоянная решетки Дифракционные решетки бывают отражающие и пропускающие свет. Принцип их действия одинаков. Решетку изготовляют с помощью делительной машины, наносящей периодические параллельные штрихи на стеклянной или металлической пластине. Хорошая дифракционная решетка содержит до 100 000 штрихов. Обозначим: a — ширина прозрачных для света щелей (или отражающих полос); b — ширина непрозрачных промежутков (или рассеивающих свет участков). Величина d = a + b называется периодом (или постоянной) дифракционной решетки. Разрешающая способность Разрешающей способностью спектрального прибора принято называть отношение где – минимальный интервал между двумя близкими спектральными линиями, при котором они могут быть разрешены, то есть отделены одна от другой. В качестве критерия разрешения используется обычно критерий разрешения Рэлея. Спектральные линии с близкими значениями и считаются разрешенными, если главный максимум дифракционной картины для одной спектральной линии совпадает по своему положению с первым дифракционным минимумом для другой спектральной линии. Рис. поясняет критерий Рэлея. Так как спектральные линии, изображенные на рис. некогерентны, результирующая интенсивность равна сумме интенсивностей (сплошная кривая на рис). Наличие провала в центре кривой распределения интенсивности указывает на условный характер критерия Рэлея.     Порядок спектра Решетка способна разлагать свет в спектр. Для этого могут быть использованы дифракционные максимумы различных порядков (кроме m = 0). Практически, однако, используются главные максимумы, расположенные в пределах основного лепестка диаграммы излучения одиночной щели, имеющего полуширину . Т.е макс порядок спектра Обычно спектрографы с дифракционной решеткой работают при m = 1 или 2, очень редко при m = 3. Правило Релея Условие Δl = r называют критерием разрешения Релея расстояние Δl между центрами дифракционных изображений r центрального светлого пятна Угловая дисперсия По определению, угловой дисперсией D называется величина: δ — знак дифференциала. d — обозначает постоянную решетки. В определении угловой дисперсии δλ — разность длин волн двух соседних линий, δφ — соответствующая разность углов, под которыми наблюдаются главные максимумы. Линейная дисперсия где l — расстояние вдоль экрана наблюдения, δl — расстояние между линиями на экране. 15 Вопрос Дифракция на пространственной решетке Пространственной, или трехмерной, дифракционной решеткой называется такая оптически неоднородная среда, в которой неоднородности периодически повторяются при изменении всех трех пространственных координат. Условия прохождения света через обычную дифракционную решетку периодически изменяются только в одном направлении, перпендикулярном к оси щели. Поэтому такую решетку называют одномерной. Простейшую двумерную решетку можно получить, сложив две одномерные решетки так, чтобы их щели были взаимно перпендикулярны. Главные максимумы двумерной решетки должны одновременно удовлетворять условию максимума для каждой из решеток: и где φ — угол между направлением на главный максимум (направление луча) и нормалью к решетке; m – порядок дифракционного максимума. Дифракционная картина представляет собой систему светлых пятен, расположенных в определенном порядке на плоскости экрана. Размеры этих пятен уменьшаются при увеличении числа щелей, а яркость возрастает. Такая же картина получается, если на одно стекло нанести ряд взаимно перпендикулярных полос. Условия максимума для трехмерной решетки Интерференционные максимумы должны удовлетворять условию Вульфа–Брэггов: , (m = 1, 2, 3, … .). Из формулы видно, что дифракция будет наблюдаться лишь при . Т. е. при условии будут отсутствовать дифракционные максимумы. Поэтому условие называют условием оптической однородности кристалла. Из формулы следует, что наблюдение дифракционных максимумов возможно только при определенных соотношениях между λ и θ. Этот результат лежит в основе спектрального анализа рентгеновского излучения, так как длину волны определяют по известным d, m и измеренному на опыте углу. 16) Дифракция рентгеновских лучей, рассеяние рентгеновских лучей кристаллами (или молекулами жидкостей и газов), при котором из начального пучка лучей возникают вторичные отклонённые пучки той же длины волны, появившиеся в результате взаимодействия первичных рентгеновских лучей с электронами вещества. формула вульфа-брега. 2dsin(a) = nl l — длинна волны. a – угол «скольжения», угол между направлением пучка, и «поверхностью кристаллической решетки» n – 1,2,3,…. Рентгенография — исследование внутренней структуры объектов, которые проецируются при помощи рентгеновских лучей на специальную плёнку или бумагу. 17) Голография — набор технологий для точной записи, воспроизведения и переформирования волновых полей. схема получения объемных голографических изображений. Суть этого метода состоит в следующем: c помощью фотопластинки Ф (рис. 3.8) регистрируется интерференционная картина, возникающая при наложении волны 1, рассеянной объектом А (так называемой предметной волны), и когерентной ей волны 2, имеющей фиксированные значения амплитуды и фазы. Волна 2 называется опорной волной (опорным пучком). Она испускается тем же источником света, который освещает объект А, и после отражения от зеркала В падает непосредственно на фотопластинку Ф. Интерференционную картину, зафиксированную на фотопластинке после ее проявления, называют голограммой объекта. Для восстановления изображения голограмма С помещается в то же самое положение, где она находилась до регистрации. Ее просвечивают, как диапозитив, той же опорной волной 2, которая использовалась для получения голограммы. Однако вторая часть опорного пучка перекрывается диафрагмой. Падающая световая волна дифрагирует на голограмме. В результате дифракции наблюдаются два объемных изображения объекта: мнимое и действительное. Мнимое изображение A' находится в том же месте по отношению к голограмме, где помещается объект А при съемке голограммы. Действительное изображение A'' располагается по другую сторону голограммы. Оно имеет рельеф, обратный рельефу предмета, что создает определенные неудобства. Обычно пользуются мнимым голографическим изображением, которое по зрительному восприятию тождественно самому предмету.

Источник: http://page-book.ru/i320312

Детлаф А.А. Яворский Б.М. Курс физики. Том III Волновые процессы. Оптика. Атомная и ядерная физика (стр. 188-191)



Источник: https://infopedia.su/13xd18a.html

Формула Эйри

Формула Эйри

Рассмотрим интерференцию в плоскопараллельной пластине, будем учитывать лучи, которые претерпевают многократные отражения (рис.1).

Пусть коэффициент отражения (доля энергии падающего света, которая возвращается в отраженном луче) света от границы пластинки с воздухом будет $\rho .

$ Если поглощения энергии нет, то доля энергии, которая проходит через границу раздела равна $(1-\ \rho )$. В том случае, если по обе стороны пластинки воздух (одинаковая среда), то коэффициенты отражения одинаковы.

Рисунок 1.

Будем считать, что на пластинку падает монохроматический свет, его интенсивность равна $I_0$. В таком случае интенсивности пучков $1',2',3',\dots $ равны, соответственно:

При этом соответствующие вещественные амплитуды:

где $a_0$ — амплитуда падающей волны. Разность хода между двумя соседними интерферирующими пучками:

где $\varphi $ — угол падения луча на поверхность.

Разность фаз ($\delta $) при этом составит:

Амплитуду волны, которая прошла через пластинку можно представить как убывающую геометрическую прогрессию:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

В том случае, если пластинка длинная, то прогрессию считаем бесконечной, следовательно:

Используя выражение (6) запишем формулу интенсивности прошедшей волны:

Найдем интенсивность отраженной волны ($I_r$). Интенсивности отраженных лучей (1,2,3,…) можно выразить как:

При этом соответственные вещественные амплитуды равны:

где минусы в формулах для амплитуд учитывают потерю половины волны при отражении от поверхности пластины. В данном случае луч $2$ отражается от границы воздух — пластина (стекло), все остальные отражения происходят на границе стекло — воздух. Суммарная амплитуда отраженной волны представлена геометрической прогрессией:

В таком случае выражение для интенсивности результирующей отраженной волны имеет вид:

Формулы (7) и (11) называются формулами Эйри.

Следствия из формул Эйри

Если мы считаем, что поглощения света средой не происходит, то выполняется равенство:

Картины распределения интенсивностей в прошедшем и отраженном свете являются взаимно дополняющими, что означает, что максимумам одной картины соответствуют минимумы другой. Для того чтобы получить интерференционную картину следует использовать длинный источник света.

При этом полосы интерференции будут полосами равного наклона. Их можно собрать линзой на экран, который помещается в фокальную плоскость.

Интерференционные полосы будут иметь вид концентрических колец, с центром в точке схождения лучей, перпендикулярных поверхности пластины.

Максимумы в проходящем свете получают при $\delta =2\pi m\ \left(где\ m — целое\ число\ \right).\ $В отраженном свете это условие минимума.

Многолучевая интерференция реализуется в толстых пластинах, следовательно, для того чтобы получить интерференционную картину надо использовать свет высокой монохроматичности. Методами интерференционной спектроскопии исследуют структуру тонких спектральных линий. Интерференционные спектроскопы имеют высокую разрешающую способность при простом устройстве, дешевизне и удобстве в применении.

Пример 1

Покажите, что из формул Эйри следует, что при отсутствии поглощения $I_0=I_r+I_l$.

Решение:

Запишем формулы Эйри интенсивности прошедшего света ($I_l$):

\[I_l=\frac{{\left(1-\rho \right)}2}{{\left(1-\rho \right)}2+4\rho {sin}2\left(\frac{\delta }{2}\right)}I_0\left(1.1\right)\ и\]

отраженного света:

\[I_r=\frac{4\rho {sin}2\left(\frac{\delta }{2}\right)}{{\left(1-\rho \right)}2+4\rho {sin}2\left(\frac{\delta }{2}\right)}I_0\left(1.2\right).\]

Проведем прямое суммирование данных выражений:

\[I_l+I_r=\frac{{\left(1-\rho \right)}2}{{\left(1-\rho \right)}2+4\rho {sin}2\left(\frac{\delta }{2}\right)}I_0+\frac{4\rho {sin}2\left(\frac{\delta }{2}\right)}{{\left(1-\rho \right)}2+4\rho {sin}2\left(\frac{\delta }{2}\right)}I_0=\frac{{\left(1-\rho \right)}2+4\rho {sin}2\left(\frac{\delta }{2}\right)}{{\left(1-\rho \right)}2+4\rho {sin}2\left(\frac{\delta }{2}\right)}I_0=I_0.\]

Что и требовалось доказать.

Пример 2

Чем отличается распределение интенсивности при многолучевой интерференции, если показатель отражения очень мал ($\rho \ll 1$), и если он стремится к единице.

Решение:

Определим, каково распределение интенсивности при многолучевой интерференции света если коэффициент отражения очень мал. Запишем формулу Эйри для интенсивности прошедшего света ($I_l$):

\[I_l=\frac{{\left(1-\rho \right)}2}{{\left(1-\rho \right)}2+4\rho {sin}2\left(\frac{\delta }{2}\right)}I_0\left(2.1\right)\ \]

при $\rho \ll 1$ распределение интенсивности в прошедшей через пластинку волне, если пренебречь ${\rho }2$, и сделать разложение по$\ \rho $ можно представить как:

\[I_l=1-4с{sin}2\left(\frac{\delta}{2}\right)=1-2с\left(1-cos \delta \right)\left(2.2\right).\]

Приведем формулу Эйри для интенсивности отраженного света:

\[I_r=\frac{4\rho {sin}2\left(\frac{\delta }{2}\right)}{{\left(1-\rho \right)}2+4\rho {sin}2\left(\frac{\delta }{2}\right)}I_0\left(2.3\right).\]

учитывая $\rho \ll 1,$ проведем операции аналогичные тем, что делали ранее, получим:

\[I_r=4\rho {sin}2\left(\frac{\delta }{2}\right)=2\rho \left(1-cos\delta \right)\left(2.4\right).\]

Распределение интенсивности определяют условия аналогичные условиям простой двухлучевой интерференции. Как будто не учитываются многократные отражения.

Распределение интенсивности сильно изменяется, если коэффициент отражения растет, особенно, если он близок к единице. В этом случае почти весь свет сосредоточен в узких интерференционных полосах на темном фоне. В отраженном свете, получаются такие же резкие темные полосы интерференционной картины. Числитель в формуле (2.1) — постоянен. В максимуме (при $\delta =2\pi m$) $I_{max}=I_0.$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/optika/formula_eyri/

Booksm
Добавить комментарий