Фазовая и лучевая скорости

Распространение монохроматической плоской волны в анизотропной среде

Фазовая и лучевая скорости

Распространение света в анизотропных средах

Тензор диэлектрической проницаемости анизотропной среды

Состояние поляризации световых колебаний является ключевым для описания оптики анизотропных сред, например, кристаллов.

В этом случае показатель преломления, а значит, и скорость световой волны зависят от выбранных в кристалле направлений.

В отличие от изотропных диэлектриков, характеризующихся одним значением e, в кристаллах диэлектрическая проницаемость становится тензором второго ранга:

,

компоненты которого определяют связь проекций векторов D и E:

. (1)

Причиной этого является несовпадение по направлению вектора поляризуемости средыР с вектором Е и, как следствие, неколлинеарность векторов D и Е (рис. 1).

Кристалл, в силу своей пространственной упорядоченности (гексагональной, тригональной, ромбоэдрической и т. п.

симметрии) не может откликаться на внешнее воздействие так же, как изотропная среда: в одних направлениях диполи поляризуются легче, в других – труднее.

Значения компонент тензора зависят от выбора системы координат. Можно показать, что соответствующим поворотом осей тензор может быть приведен к диагональному виду:

.

Оси координат, в которых тензор диэлектрической проницаемости диагонален, называются главными осями кристалла. Диагональные значения ex, ey и ez в этом случае называют главными значениями диэлектрической проницаемости, величины , , – главными показателями преломления, а скорости и т. д.

главными скоростями. Подчеркнем, что Vx, Vy, Vz не являются проекциями какого-либо вектора, а характеризуют анизотропию оптических свойств кристалла. скорость – это скорость волны, поляризованной вдоль соответствующей главной оси.

В дальнейшем будем всегда предполагать, что оси координат совпадают с главными осями, и соотношения (1) принимают вид

(2)

Если все три главных значения одинаковы: ex = ey = ez, то кристалл с оптической точки зрения эквивалентен изотропному телу. Это свойственно кристаллам с кубической симметрией решетки, например NaCl, используемой в качестве оптических элементов ИК диапазона.

Если совпадают два главных значения: ex = ey ¹ ez, кристалл называется одноосным. К одноосным кристаллам относятся широко применяемые в оптике кварц и исландский шпат. Наконец, если все три главных значения различны: ex ¹ ey ¹ ez, кристалл называется двухосным.

К таким кристаллам относится, например, слюда.

Распространение монохроматической плоской волны в анизотропной среде

Рассмотрим геометрические соотношения между основными векторами в электромагнитной волне. Введем единичный вектор нормали к волновому фронту N = k/ k, тогда:

. (3)

Направление переноса энергии в волне определяется вектором Пойнтинга . Определим лучевой вектор как s = S / S. Из свойств векторного произведения следует, что

DH, DN, NH, sE, sH, EH. (4)

Поскольку вектора D и E в анизотропной среде неколлинеарны, приходим к выводу, что в волне су­ществуют две правые ортогональные тройки векторов (E, H, s) и (D, H, N), повернутые на угол a относительно общего вектора H (рис. 2).

Таким образом, направление перемещения волнового фронта (вектор N) в кристаллах в общем случае не совпадает с направлением переноса энергии (вектор s).

Соответственно различают фазовую скоростьV (скорость перемещения фронта) и лучевую скоростьu (скорость переноса энергии).

Соотношение между фазовой и лучевой скоростями можно получить, рассматривая два положения волнового фронта, соответствующие двум близким моментам времени (рис. 3).

Из-за анизотропии среды форма волновой поверхности отлична от сферической (более подробно этот вопрос обсуждается в следующем разделе).

Направление фазовой скорости совпадает с направлением волновой нормали N, а направление лучевой – с лучевым вектором s, проведенным от источника О в точку наблюдения. Из рисунка видно, что фазовая скорость равна проекции лучевой на направление волновой нормали:

. (5)

Различие фазовой и лучевой скоростей является проявлением пространственной дисперсии. Эти скорости отличаются даже для монохроматических волн, а также в отсутствие временной дисперсии n ¹ n(l).

Исключая из уравнений (3) напряженность магнитного поля и учитывая соотношения (2) можно получить выражение для скорости волны, распространяющейся в кристалле с главными скоростями Vx >Vy >Vz в направлении вектора N с проекциями (Nx, Ny, Nz), называемое уравнением волновых нормалей Френеля:

. (6)

Уравнение волновых нормалей может быть преобразовано к квадратному уравнению относительно фазовой скорости V, и, следовательно, имеет два корня.

Таким образом, в каждом направлении в кристалле могут распространяться две волны с различными фазовыми скоростями V' и V'' и ортогональными поляризациями D' D''.

Каждому вектору D соответствует свой вектор E, повернутый на угол a, а каждому вектору E – ортогональный ему лучевой вектор s (рис. 4).

Попадая в кристалл, произвольная световая волна распадается на две орто­гонально поляризованные волны с разными скоростями и разными направлениями переноса энергии – возникает двойное луче­преломление. Следует отметить, что в ряде случаев лучевые вектора этих волн могут совпадать (a = 0), например, при распро­странении волны вдоль любой из главных осей кристалла.

При определенном выборе направле­ния распространения, а именно

,

два решения уравнения Френеля совпадают, т. е. V' = V''. Такие направления (O'O' и O»O» на рис. 5) называются оптическими ося­ми кристалла, а сам кристалл называется двухосным. Если Vx = Vy ¹ Vz, то обе опти­ческие оси сливаются с осью Z. Такой кристалл называется одноосным.

Источник: https://megaobuchalka.ru/11/35283.html

Фазовая и лучевая скорости

Фазовая и лучевая скорости

Распространению света в анизотропной среде свойственна двойственность. Она вызвана тем, что в анизотропных средах любой волновой нормали соответствует луч. Он является характеристикой направления распространения волны света.

Луч — линия, касательная в каждой точке которой, совпадает с направлением вектора плотности потока для энергии волны света в данной точке среды. Для плоской монохроматической волны в однородной изотропной среде лучи перпендикулярны к волновым поверхностям.

Следовательно, лучи характеризуют направление переноса энергии с помощью волны, а также направление распространения фронта волны.

Рассмотрим плоскую волну света:

Подставив выражения (1) в уравнения Максвелла, получим формулы:

Волновой вектор $\overrightarrow{k}$ указывает направление распространения фронта волны, то есть, нормален к поверхности одинаковой фазы. Фазовая скорость ($\overrightarrow{v}$) совпадает по направлению с $\overrightarrow{k}$. Направление распространения волны задают вектором $\overrightarrow{n}$, определяемым как:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

В общем случае, направление движения волны и направление потока энергии не совпадает. Энергия электромагнитной волны движется с групповой скоростью. Обозначим единичный вектор в направлении луча как:

Тогда можно сказать, что групповая скорость $\overrightarrow{u}$ волны совпадает с направлением $\overrightarrow{\tau }$. Энергия электромагнитной волны движется с групповой скоростью.

Итак, первой особенностью распространения электромагнитной волны в анизотропной среде является то, что, направление групповой и фазовой скорости не совпадают, так как векторы $\overrightarrow{E}$ и $\overrightarrow{D}$ не коллинеарны, направление луча и распространение волны не совпадают.

Фазовая скорость зависит от направления распространения волны и колебаний вектора $\overrightarrow{D}:$

где $n_x=\sqrt{{\varepsilon }_x},n_y=\sqrt{{\varepsilon }_y},n_z=\sqrt{{\varepsilon }_z}-$главные величины показателей преломления анизотропной среды.

Надо отметить, что в формуле (5) представлены составляющие фазовой скорости, которые не являются проекцией фазовой скорости волны на оси $X,Y,Z$, а характеризует фазовую скорость волны векторы $\overrightarrow{E}$ и $\overrightarrow{D}$ в которой коллинеарны рассматриваемой оси. Фазовая скорость полностью определена направлением вектора $\overrightarrow{D}$.

Уравнение Френеля для лучевых скоростей

Для того чтобы найти групповую скорость ($\overrightarrow{u}$), отметим, что фронт волны распространяется в направлении $\overrightarrow{n}$, а энергия в направлении $\overrightarrow{\tau }$ (рис.1). Фронт потока энергии расположен перпендикулярно к вектору $\overrightarrow{\tau }$.

Рисунок 1.

Из рис.1 можно сделать вывод о том, что групповая и фазовая скорости соотносятся как:

где $\alpha $ — угол между векторами $\overrightarrow{D}$ и $\overrightarrow{E}$ (векторами ${\overrightarrow{u}}$и $\overrightarrow{v}$). Умножим уравнения (2a,b) слева векторно на $\overrightarrow{\tau }$ имеем:

Выразим из (7а) $\overrightarrow{H}$, подставим его в $\left(7b\right)$, получаем:

Учтем выражения (3), (6) и, то что $v=\frac{\omega }{k}$ уравнение (8) запишем в виде:

Если вектор $\overrightarrow{E}$ направлен по одной из главных осей тензора диэлектрической проницаемости (например, оси $X$). В таком случае $\overrightarrow{D}//\overrightarrow{E}$, главные групповые скорости будут совпадать с главными фазовыми скоростями. В таком случае можно считать, что выполняется равенство:

Уравнение Френеля для лучевых скоростей имеет вид:

В том случае, если принять за единичный вектор в направлении $\overrightarrow{E}$, вектор $\overrightarrow{l}$, равный:

уравнение для лучевой скорости можно записать как:

Скорость в направлении луча является групповой.

Две волны, которые распространяются в одном направлении с двумя разными групповыми скоростями, имеют перпендикулярные направления поляризации ($\overrightarrow{E'}\overrightarrow{E''}=0$).

Итак, соотношение между фазовой и лучевой скоростями можно определить, если рассмотреть два положения фронта волны, которые соответствуют близким моментам времени. Вследствие анизотропии среды форма волновой поверхности отлична от сферической. Различие фазовой и лучевой скоростей — проявление анизотропии. Данные скорости различают для монохроматических волн, и в отсутствии дисперсии.

Пример 1

Задание: Даны диагональные элементы тензора диэлектрической проницаемости среды: ${\varepsilon }_x,\ {\varepsilon }_y,\ {\varepsilon }_z.$ Вектор $\overrightarrow{\tau }$ находится в плоскости $XOZ$, и угол между ним и осью $OX$ равен $\alpha .$ Каковы лучевые скорости волн, которые распространяются в избранном направлении?

Решение:

Координаты вектора $\overrightarrow{\tau }$ найдем как:

\[\overrightarrow{\tau }=\left(cos\alpha ,0,sin\alpha \right).\]

Для решения задачи используем уравнение волновых нормалей Френеля для лучевых скоростей:

\[\sum\limits3_{i=1}{\frac{{{\tau }_i}2v2_i}{v2_i-u2}=0\left(1.1\right).}\]

Из условия ${\tau }_y=0$ можно записать:

\[u'=v_y=\frac{c}{\sqrt{{\varepsilon }_y}}\left(1.2\right).\]

Для того чтобы найти $u''$ используем (1.1) в виде:

\[\frac{{{\tau }_x}2v2_x}{v2_x-u2}+\frac{{{\tau }_z}2v2_z}{v2_z-u2}=0\left(1.4\right).\]

Приведем дроби в левой части к одному знаменателю, числитель приравняем к нулю, получим:

\[u{''}=\sqrt{\frac{v2_xv2_z}{{\tau_x}2v2_x+{\tau_z}2v2_z}}.\]

Ответ: $u'=\frac{c}{\sqrt{{\varepsilon }_y}}$, $u{''}=\sqrt{\frac{v2_xv2_z}{{{\tau }_x}2v2_x+{{\tau }_z}2v2_z}.}$

Пример 2

Задание: Используя данные и решение примера 1, запишите выражения для фазовых скоростей.

Решение:

Из решения Примера 1 следует, что волна поляризована по оси Y. При этом векторы $\overrightarrow{E'}\ и\ \overrightarrow{D'}$ сонаправлены. Фазовая скорость ($v'$) равна:

\[v'=u'=\frac{c}{\sqrt{{\varepsilon }_y}}\left(2.1\right).\]

Для второй волны фазовая скорость $v''$ равна:

\[v{''}=u{''}cos\alpha (2.2).\]

Следовательно:

\[v{''}=\sqrt{\frac{v2_xv2_z}{{{\tau }_x}2v2_x+{{\tau }_z}2v2_z}}cos\alpha .\]

Ответ: $v'=u'=\frac{c}{\sqrt{{\varepsilon }_y}},v{''}=\sqrt{\frac{v2_xv2_z}{{\tau_x}2v2_x+{\tau_z}2v2_z}}cos\alpha.$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/optika/fazovaya_i_luchevaya_skorosti/

Анизотропные среды. Тензор диэлектрической проницаемости. Распространение плоской электромагнитной волны в анизотропной среде. Эллипсоид лучевых скоростей

Фазовая и лучевая скорости

Оптической анизотропией называется зависимость опт.св-в среды от напр-ияраспро-ия света в ней. Физич. природа анизотропии вещества связана с особенностями строения его молекул или особенностями кристаллич. решетки, в узлах к-ой нах-ся атомы или ионы. Изучение распр-ия света в анизотроп.

средах мы будем строить с помощью феноменологической электромагн. теории. В рамках этой теории анизотропия учит-ся тем, что в материальном уравнении диэлектрическая восприимчивостьc(w) представляет собой тензор, а не скаляр, как для изотроп.среды.

В анизотропной среде проекции поляризованности связаны с проекциями напряженности электрического поля соотношениями:

В дальнейшем для простоты будем нумеровать декартовы оси координати соответствующие им проекции числами или индексами 1, 2, 3. Матрица величин cij называется тензором диэлектрической восприимчивости.

Тогда системуможно записать в компактном виде: Соотношение между компонентами вектора электрического смещения D и поляризованностьюP для анизотропной среды принимает вид: где dij – символ Кронекера.

Тензор eij : (называется тензором диэлектрической проницаемости.

Т.к. проекции поля E независимы, то тензор диэлектрической проницаемости является симметричным:

Воспользуемся математическими свойствами полученных выражений. Т.к. плотность электрической энергии положительна, то стоящая в правой части (9.5) квадратичная форма является положительно определенной.

Перейдя к новым переменным: выражение можно записать в виде: Как известно из математики, с помощью преобразования системы координат такая форма может быть приведена к виду: Полученные таким образом оси X, Y, Zновой системы координат называют главными осями тензора диэлектрической проницаемости (в дальнейшем мы их так и будем обозначать большими буквами). В главной системе координат тензор диэлектрической проницаемости является диагональным:

В главных осях соотношение (9.3) примет вид:

Т.к. в общем случае элементы тензора диэлектрической проницаемости неодинаковы, то в анизотропной среде векторы D и E не коллинеарны.

Распространение плоской электромагнитной волны в анизотропной среде. Подставляя векторы E,D,H, B в плоской ЭМВ в виде в уравнения Максвелла, получим следующие соотношения между векторами полей и волновым вектором k :

Волновой вектор k показывает направление распр-ие вол-го фронта, т.е. фазовая скорость v направлена вдоль вол-го вектора. Введем единич.

вектор напр-ияраспр-ия волны n: Поток энергии, по определению, распространяется по направлению вектора Пойнтинга S = E´H. Направление потока энергии в волне называется лучом. Т.к.

энергия ЭМВ распространяется с групповой скоростью, то групповая скорость u направлена вдоль луча. Введем единичный вектор в направлении распространения луча: τ=S/S

Т.к. а анизотропной среде векторы Eи Dне коллинеарны, то направления распространения волны и луча не совпадают. Соответственно не совпадают по направлению групповая и фазовая скорость. Ориентация между векторами в ЭМВ изображена на рис. 9.1.

Вектора D, E, n, t лежат в одной плоскости, перпендикулярной H, nD; tE .

Угол между D и Eравен углу между n и t.

Вектор E , оставаясь перпендикулярным H, не перп-н напр-июраспр-ия фазы волны. В этом смысле волна в кристалле не яв-ся строго поперечной, т.к.

имеется отличная от нуля проекция вектора E на напр-иеn и соот-о проекция D на напр-иеt.

Лишь при ориентации вдоль одной из главных осей кристалла вектор Dколлинеарен вектору E.

Пл-ть равных фаз перемещается вдоль вектора n со скоростью v. Скорость перемещения этой плоскости вдоль вектора луча tназывается лучевой скоростью.

Особенности распр-ия лучей в анизотропной среде обусловлены как дисперсией волн, так и отличием направлений волновых нормалей и лучей.

Дисперсия в равной мере присуща как изотропным, так и анизотропным средам. Но чтобы выделить особенности анизотропии, в дальнейшем будем пренебрегать дисперсией.

В такой недиспергирующей анизотропной среде понятия лучевой скорости и групповой скорости совпадают.

Получим выражение для зависимости фазовой скорости от направления распр-ия волны и пл-ти поляризации. где v = w/k – фазовая скорость. В главной системе координат с учетом в скалярном виде преобразуется в систему трех уравнений:

Здесь ni – направляющие косинусы направления волны относительно соответствующей главной оси.

Пусть Eнаправлен, например, вдоль гл. оси X. Тогда система сводится к одному уравнению

При ненулевом поле E получаем:

Аналогичные рассмотрения случаев, когда E (и соответственно D) направлено или вдоль Y или вдоль Z, позволяют найти остальные значения vi :

Полученные скорости vi называются главными скоростями распространения волны.

Необходимо отметить, что:

· vi – это не проекции вектора фазовой скорости на соответствующую главную ось, а фазовые скорости волны, у которой векторы E и Dколлинеарны соответствующей главной оси;

· Главные лучевые (групповые) скорости совпадают с главными фазовыми скоростями.

Ход лучей в анизотропной среде. Исходя из определения, лучевая (групповая) скорость u и фазовая скорость v в анизотропной среде связаны соотношением: Аналогично можно уравнение Френеля для лучевых скоростей:

Так же как и для случая фазовых скоростей, две волны (луча), распространяющихся в данном направлении с двумя лучевыми скоростями, имеют взаимно перпендикулярные направления поляризации.

Обычно для решения одних задач по анизотропным средам удобнее работать с фазовыми скоростями, для других с лучевыми скоростями. Произведя замену , получим уравнение: где vx, vy, vz – главные лучевые скорости. Эллипсоид, точки поверхности которого удовлетворяют уравнению называется эллипсоидом лучевых скоростей (координаты имеют размерность скоростей).

Проанализируем ход лучей с помощью эллипсоида лучевых скоростей. Направление луча задается единичным вектором t. Через центр эллипсоида проведем плоскость, перпендикулярную t. В сечении эллипсоида этой плоскостью образуется эллипс с главными полуосями v1, v2 .

Вектор E световой волны, распространяющейся по лучу, может колебаться только параллельно главным осям этого эллипса. Соответствующие лучевые скорости равны длинам его главных полуосей.

В направлении, перпендикулярном плоскости кругового сечения, всем лучам соответствует одна и та же скорость, поляризация может быть любой.



Источник: https://infopedia.su/9x9a5a.html

Параллелепипед Френеля. Лучевая и фазовая скорости световой волны в кристалле. Лучевая и фазовая скорости в простейшем частном случае

Фазовая и лучевая скорости

Экзамен. Параллелепипед Френеля.

За одно полное внутреннее отражение не удается получить разность фаз  для двух линейных поляризаций. За два полных внутренних отражения можно набрать сдвиг фаз  между двумя линейными поляризациями, что позволяет получить циркулярно поляризованный свет из света линейной поляризации.

                 Свет нормально падает на переднюю грань параллелепипеда Френеля.

Угол α при вершине параллелепипеда подобран так, чтобы выполнить условие

2⋅δϕ=π,      где δϕ= arctg Im(r|| ) − arctg Im(r⊥) .    При    этом    на                                                 входе                                  в

                    2                                Re( )r||              Re(r⊥)

параллелепипед свет имеет линейную поляризацию, приведенную на нижеследующем рисунке.

          А на выходе свет имеет круговую поляризацию.

Кристаллооптика.

            Экзамен. Направление векторов D E B H k S,                      , ,                                             , ,     для плоской световой

волны в кристалле.

Рассмотрим сначала решение волновых уравнений для векторов E и B в виде комплексных плоских монохроматических волн: E = E e0 i k r( , −ωt) и

B = B e0 i k r( , −ωt). Вещественные поля представляют собой вещественную часть этих комплексных выражений. Далее будем рассматривать вещественные плоские волны.

Для нас будет важно, что оба поля зависят от координат и времени только через их комбинацию в виде (k r, −ωt). Обозначим эту комбинацию буквой ϕ= (k r, ) −ωt .  ϕ — это фаза волны без учета начальной фазы, которая может оказаться различной для различных проекций векторов E(ϕ) и B(ϕ).

        Рассмотрим производную по времени, например, от вектора E(ϕ):

           .

                     ∂t             dϕ ∂t           dϕ           ∂t                      dϕ

          Что в операторном виде можно записать, как:

                ∂⋅          d

             = −ω .

                ∂t          dϕ

            Рассмотрим производную от вектора E(ϕ) по x координате:

∂E∂( )xϕ ϕ= dEd( ) ⋅ ∂ϕ= dEdϕ( )ϕ ⋅ ∂(k r,   −ωt) = dEdϕ( )ϕ ⋅ ∂(k xx + k yy + k zz −ωt) = kx dEϕ( )ϕ

                               ϕ ∂x                         x                                      x                 d

          Тогда для вещественной плоской монохроматической волны:

                ∂⋅         d

        ∂x = kx dϕ.

          Тогда

                                ∂         ∂         ∂             d               d              d          d

  ∇ = ex x + ey y + ez z = e kx x dϕ+ e ky y dϕ+ e kz z dϕ ϕ= k d                                                            .

(∇,D) = 0 

∇,E = −1c ⋅ ∂∂Bt

          Подставим эти соотношения в 4-е уравнения Максвелла           

(∇,B) = 0 

∇,H = 1c ⋅ ∂∂Dt

ρ= 0

для прозрачной  , но анизотропной среды, для которой диэлектрическая  j = 0

проницаемость ε — тензор второго ранга, и получим:

k ddϕ,D = 0                    ddϕ(k,D) = 0

                                                                        

       k dϕ,E =ω dϕB             d k,E = ddϕωc B

                          d              c d                                  dϕ

                                                         =>                                               =>

         k d ,B = 0                         ddϕ(k,B) = 0

                   dϕ                                           

                   d           ω

k dϕ,H = − c ddϕD  ddϕk,H = − ddϕωc D

(k,D) = const

k,E =ωc B+ const

                                              ,

(k,B) = const

k,H = −ωc D + const

где const — константы, независящие от ϕ. То есть константа не зависит ни от времени, ни от координат, так как вся зависимость электрического и магнитного полей от времени и координат есть только через зависимость от ϕ= (k r, ) −ωt .

Нас интересуют электромагнитные поля на оптических частотах, а не постоянные поля, поэтому константы в правых частях равенств можно считать равными нулю:

(k,D) = 0 

k,E =ωc B

                                  .

(k,B) = 0 

k,H = −ωc D

          Факультативная вставка.

Обсудим подробнее, почему константы равны нулю.            Рассмотрим, например первое уравнение системы:

          (k,D) = const       =>       kx xD + ky yD + kz zD = const.

Здесь kx,ky,kz — константы, а D — вещественная плоская монохроматическая волна. Тогда проекции D D Dx, y, z пропорциональны косинусам одной частоты ω, возможно с разными начальными фазами. Равенство kx xD + ky yD + kz zD = const можно рассматривать, как Фурье

разложение константы, стоящей в правой части равенства. Если рассмотреть Фурье разложение константы, то в нем не могут присутствовать частоты отличные от нулевой частоты, что следует из единственности Фурье разложения.

          Следовательно,    константа           в        правой        части           равенства kx xD + ky yD + kz zD = const равна нулю.

Тогда из равенства (k,D) = const следует равенство (k,D) = 0.

Аналогично остальные равенства системы уравнений можно расписать в декартовых координатах и пользуясь единственностью Фурье разложения получить:

(k,D) = 0 

k,E =ωc B



                                  .

(k,B) = 0

k,H = −ωc D

          Конец факультативной вставки.

    Добавим сюда уравнение S и заменим вежде вектор H на вектор B, так как B H=µ , а в оптике µ=1. В результате получим пять соотношений:

(k,D) = 0

                                                                        k ⊥ D

    (k,E) =ωc B                         B EB ⊥⊥ k

             k,B = 0                       =>                           .

                                                                         B D⊥

        k,B = −ωc D                                 S ⊥ E

                       c                                              S ⊥ B

               S = [EB, ]

                      4π

          Факультативно     заметим,     что     из      ортогональности           векторов     с вещественными координатами следует ортогональность тех же векторов с комплексными координатами.

Это ортогональность не в том смысле, что скалярное произведение равно нулю, а в том смысле, что вещественным поворотом осей координат можно обнулить все координаты кроме одной для одного вектора и одновременно обнулить все координаты кроме другой для второго вектора.

Из полученных соотношений ортогональности видно, что вектор B перпендикулярен 4-м остальным векторам k,DE, ,S . Эти 4-е вектора лежат в одной плоскости, перпендикулярной вектору B.

          Сгруппируем соотношения ортогональности по три:

k ⊥ D

          k ⊥ B

B D⊥

=>

векторы k,DB,     взаимно ортогональны,

S ⊥ E

          S ⊥ B

E B⊥

=>

векторы S, ,EB взаимно ортогональны.

Рассмотрим рисунок, на котором вектор B перпендикулярен плоскости рисунка, тогда остальные 4-е вектора окажутся в плоскости рисунка:

E ⊥ S  Из  следует, что угол между векторами E и D равен углу между D ⊥ k

векторами S и k . Обозначим этот угол за α:

 α≡ (D E, ) = (S k, )                                                                           (7.1)

———

Напомним, почему в кристалле векторы E и D различаются по направлению.

В кристалле D E=εˆ , где εˆ — тензор диэлектрической проницаемости. εˆ — симметричный тензор второго ранга. В тензорной алгебре есть теорема о том, что симметричный тензор второго ранга поворотом системы координат можно привести к диагональному виду:

                         εx       0     0 

                                            

            D =  0 εy          0 ⋅E.

                         0    0 εz 

Если тензор диэлектрической проницаемости диагонален, то оси координат x y z, , — совпадают с главными диэлектрическими осями кристалла по определению главных диэлектрических осей.

Умножение вектора E слева на диагональный тензор εˆ означает разное растяжение по осям x y z, , , растяжение в εεεx, y, z раз соответственно. Растяжение по осям различно, поэтому D вектор произведения

Источник: https://vunivere.ru/work77194

Booksm
Добавить комментарий