Фазовая и групповая скорости и их соотношение, формула Рэлея

Волновая Оптика

Фазовая и групповая скорости и их соотношение, формула Рэлея

Программа иллюстрирует понятия фазовой и групповой скоростей при распространении света в средах с дисперсией.

Моделируется одновременное распространение трех волн с различными амплитудами и частотами, а также распространение волнового пакета в средах с различными законами дисперсии.

Программа позволяет показать в динамическом режиме различие между фазовой и групповой скоростями, проследить за деформацией волнового пакета при некоторых законах дисперсии и проиллюстрировать случаи нормальной и аномальной дисперсии.

1.6. Распространение волн в диспергирующих средах. Волновой пакет1.6.1. Фазовая и групповая скорости

Фазовой скоростью v монохроматичной волны принято называть скорость распространения волнового фронта. В среде с показателем преломления n фазовая скорость υ равна

(6.1)

Здесь – круговая частота, k – волновое число, c – скорость света в вакууме.

Как показывает опыт, все без исключения среды обладают дисперсионными свойствами – волны разных частот распространяются в средах с различными фазовыми скоростями. Это явление называют дисперсией.

Закон дисперсии можно задать либо в виде зависимости показателя преломления от частоты , либо в виде функции , либо, наконец, в виде зависимости волнового числа от частоты .

В качестве аргумента в законе дисперсии может быть вместо использована длина волны в среде.

При распространении монохроматической волны в среде с дисперсией никаких особых явлений не наблюдается; волна распространяется со своей фазовой скоростью, которая определяется значением показателя преломления на частоте волны.

Но если в диспергирующей среде одновременно распространяется группа волн разных частот, то по мере распространения волн возникают фазовые сдвиги между отдельными спектральными компонентами. При этом происходит деформация формы суммарного процесса.

Если на входе в диспергирующую среду возмущение имело вид импульса (волнового пакета) определенной формы, то после прохождения некоторого слоя форма импульса может существенно измениться. В общем случае наблюдается расплывание волнового пакета. Рис 6.1. иллюстрирует это утверждение.

По теореме Фурье волновой пакет 1 можно представить в виде суперпозиции монохроматических волн разных частот. На выходе все спектральные компоненты будут вновь складываться, образуя новый волновой пакет 2. Деформация волнового пакета происходит вследствие изменения фазовых соотношений.

Рисунок 6.1.Расплывание волнового пакета в диспергирующей среде.

Вопрос о скорости распространения волнового пакета в среде с дисперсией достаточно сложен и неоднозначен. Можно, например, следить за перемещением переднего фронта (точка A на рис. 6.1). Обычно в теории рассматривается так называемая групповая скорость, то есть скорость перемещения центра волновой группы или точки с максимальным значением амплитуды (точка B).

Рассмотрим простой случай – распространение амплитудно-модулированной волны. При z = 0, то есть на входе в диспергирующую среду, колебание можно записать в виде

(6.2)

Этот процесс может быть представлен в виде суперпозиции трех синусоидальных колебаний с частотами , , :

(6.3)

Каждая из этих спектральных компонент будет распространяться в среде со своей фазовой скоростью:

(6.4)

Таким образом при z > 0 можно записать:

(6.5)

Рассмотрим случай достаточно малых значений z, удовлетворяющих условию

(6.6)

В этом случае высокочастотные колебания частоты , описываемые 1-ым и 2-ым слагаемыми в (6.5), практически не отличаются по фазе и могут быть объединены. Тогда

(6.7)

Функцию E(z, t) можно рассматривать как амплитудно-модулированную волну с медленно изменяющейся во времени и пространстве амплитудой

. «Моментальная фотография» этой функции изображена на рис. 6.2.

Рисунок 6.2.Амплитудно-модулированная волна.

Как видно из (6.7) модулируемая волна распространяется с фазовой скоростью . Скорость распространения огибающей, то есть модулирующей волны, есть

(6.8)

Это и есть групповая скорость.

Условие (6.6) означает, что волна распространяется не изменяя своей формы, то есть остается (в данном случае) волной, модулированной по синусоидальному закону. При нарушении условия (6.6) при больших значениях z форма волны искажается и групповая скорость теряет смысл.

Рисунок 6.3. Кривая дисперсии и геометрический смысл фазовой и групповой скоростей ; .

Для пояснения различия между фазовой и групповой скоростями дисперсионную кривую обычно задают в виде функции , хотя, разумеется, во многих других случаях роль независимой переменной предпочтительно отдавать частоте , поскольку частота не изменяется при переходе волны из одной среды в другую. На рис 6.3 изображена некоторая зависимость с целью проиллюстрировать геометрический смысл фазовой и групповой скоростей.

Между фазовой и групповой скоростями может быть установлена связь

(6.9)

Соотношение (6.9) называется формулой Рэлея. Возможны два случая:

1) , – случай нормальной дисперсии

2) , – случаи аномальной дисперсии

Следует сделать несколько важных замечаний.

1. При экспериментальном определении скорости света в среде всегда измеряется групповая скорость u.

2. В соответствии с теорией относительности групповая скорость не может превышать скорости света в вакууме .

3. Теория относительности не налагает ограничений на величину фазовой скорости (возможны случаи и ).

Источник: http://www.en.edu.ru/shared/files/old/waveoptics/content/chapter1/section6/paragraph1/7473_theory.html

Связь групповой и фазовой скорости

Фазовая и групповая скорости и их соотношение, формула Рэлея

Лекция 5: Механические волны

План:

1. Длина волны и волновое число.

2. Вывод уравнения плоской бегущей волны.

3. Уравнение плоской бегущей волны в комплексном виде.

4. Разность фаз колебаний.

5. Виды волн.

6. Фазовая и скорость.

7. Групповая скорость.

8. Связь фазовой и групповой скорости.

9. Нахождение групповой скорости методом Эренфеста.

10. Уравнение сферической волны.

11. Вывод уравнения стоячей волны.

12. Координаты узлов и пучностей.

13. Энергия волн.

________________________________________________________________

Длина волны и волновое число

Длиной волны – называют расстояние между ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе.

Формулы длины волны легко получить из аналогии по формуле пути:

(1)

(2)

Если период равен , (3)

то (4)

Если из (2) выразить период и приравнять его к (3), получим:

получим (5)

Или (6)

Физический смысл отношения заключается в том, что оно показывает сколько длин волн умещается в единицах длины. Отношение обозначается и называется волновым числом, т.е.

(7)

Например:

Вывод уравнения плоской бегущей волны

Бегущие волны – волны, которые переносят в пространстве энергию.

Плоские волны – волны, волновые поверхности которых – есть совокупность параллельных плоскостей, перпендикулярных направлению распространения волны.

Лучи в этом случае – параллельные прямые, совпадающие с направлением скорости распространения волны.

Пусть плоская бегущая волна распространяется вдоль оси X, т.е. вдоль одного направления из точки А в точку В как показано на рисунке:

Пусть источник колебаний в начальный момент времени находится в точке О.

Запишем уравнение колебания:

(8)

Рассмотрим распространение волны от точки М до точки В. Из рисунка видно, что время , затраченное на этот путь равно , где — это время, за которое волна распространилась от источника колебаний до точки М.

Перейдем от уравнения колебаний к уравнению плоской бегущей волны:

(9)

(10)

Т.к. за время волна распространилась на расстояние , тогда

(11)

(12)

(13)

Будем считать начальную фазу .

Тогда согласно уравнению (6), получаем: (14)

Если в уравнении (14) , а , то получим четвертый вид уравнения плоской бегущей волны (при ):

  — первый вид уравненияплоской бегущей волны
  — второй вид уравненияплоской бегущей волны
  — третий вид уравненияплоской бегущей волны
  — четвертый вид уравненияплоской бегущей волны

— смещение точек среды с координатой x в момент времени t.

Уравнение плоской бегущей волны в комплексном виде.

Уравнение плоской бегущей волны можно представить в комплексном виде, используя формулу Эйлера:

(15)

Если , то

(16)

Т.к. физический смысл имеет только реальная часть, получаем:

, (17)

Получаем уравнение плоской бегущей волны комплексном виде:

(18)

  — уравнения плоскойбегущей волны в комплексном виде  

Разность фаз колебаний

Фаза рассчитывается из определения углового перемещения:

(19)

(20)

(21)

Виды волн

Основное свойство всех волн – перенос частицами среды энергии без переноса вещества.

Различают продольные и поперечные волны.

Волны, в которых частицы среды колеблются вдоль их распространения, называются продольными.

Волны, в которых частицы среды колеблются в плоскостях, перпендикулярных к направлению распространения волны, называются поперечными.

Продольные волны распространяются в жидкостях и газах

В твердой среде возникают как продольные, так и поперечные

Фазовая скорость

Пусть в волновом процессе фаза = const, т.е.

(22)

(23)

После дифференцирования, получим:

(24)

или (25)

Вывод: скорость распространения волны есть скорость перемещения фазы волны, поэтому ее называют фазовой скоростью и обозначают: :

Т.к. , отсюда (26)

Дисперсией называется зависимость фазовой скорости в среде от частоты распространение волн (дисперсия всегда связана с поглощением энергии средой)

Групповая скорость

Рассмотрим простейшую группу волн, которая получается при наложении двух плоских волн с одинаковыми амплитудами и близкими частотами и близкими волновыми числами :

(27)

Это волна отличается от гармонической тем, что ее амплитуда есть медленно изменяющаяся функция координаты от времени, т.е. является негармонической.

(28)

  — амплитуда группы волн  

Групповая скорость– скорость распространения группы волн,

Групповая скорость– скорость максимума огибающей группы волн или скорость движения центра волнового пакета.

Из условия (29)

получим: (30)

(31)

    — групповая скорость  

Связь групповой и фазовой скорости.

Групповая скорость определяется выражением:

(32)

Определим отдельно выражения для и :

1) — ?

Из выражения выразим угловую скорость: (33)

Продифференцируем это выражение по k: (34)

2) — ?

Выражения продифференцируем по :

или (35)

Подставим выражения (34) и (35) в выражение для групповой скорости (32), получим:

(36)

(37)

(38)

  — связь фазовой и групповой скорости  

Из (38) следует, что может быть как больше, так и меньше фазовой в зависимости от знака .

Если в среде не наблюдается дисперсия волн, то , тогда фазовая и групповая скорости совпадают .

Понятие групповой скорости очень значимо, т.к. именно она фигурирует при измерении дальности радиолокации, в управлении космическими объектами.

Но , а для ограничений нет.

9. Нахождение групповой скорости методом Эренфеста

Зависимость групповой скорости от длины волны позволяет определить значение групповой скорости.

Для этого нужно провести касательную к точке с координатами и . Можно найти отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат, равный значению групповой скорости.

Источник: https://poisk-ru.ru/s63811t1.html

Фазовая и групповая скорости и их соотношение, формула Рэлея

Фазовая и групповая скорости и их соотношение, формула Рэлея

Монохроматическая волна вида:

является бесконечной во времени и пространстве последовательностью «горбов и впадин», которые распространяются по оси $X$. Причем фазовая скорость перемещения максимумов и минимумов равна:

Скорость $v$ — означает скорость перемещения фазы. Используя такую волну нельзя передать сигнал, так как все «горбы» эквивалентны. Для того чтобы передавать сигнал следует сделать на волне «метку» (например сделать некоторый обрыв на конечное время $\triangle t$). Но при этом волна уже не будет соответствовать уравнению (1).

Сигнал можно передать, используя импульс света. По теореме Фурье его можно разложить в ряд с частотами в интервале $\triangle \omega .$ Совокупность волн, которые различаются друг с другом, частотой в пределах малого интервала $\triangle \omega $ называют волновым пакетом (группой волн). Аналитически волновой пакет можно представить как:

где индекс $\omega $ у величин $A,\ k,\ \alpha $ показывает, что они относятся к разным частотам. В пределах пакета плоские волны усиливают друг друга, вне пакета происходит взаимное гашение волн. Для того чтобы сумму волн, которую описывает выражение (3), можно было считать пакетом, должно выполняться условие: $\triangle \omega \ll {\omega }_0.$

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Групповая скорость

При отсутствии дисперсии все плоские волны в пакете распространяются с фазовой скоростью $v$. При таких условиях скорость распространения группы волн совпадает с фазовой скоростью, форма пакета постоянна.

В веществе при наличии дисперсии пакет со временем ширина пакета увеличивается. При малой дисперсии, скорость перемещения центра пакета (точка, в которой максимальна величина $E$) называют групповой скоростью $(u).

$ Групповая скорость характеризует импульс, и соответствует скорости распространения энергии поля этого импульса или скорость перемещения амплитуды.

При наличии дисперсии групповая и фазовая скорость различны:

Рисунок 1.

Если пакет представлен двумя составляющими, то групповую скорость можно найти как:

Групповая скорость пакета волн, который задан уравнением (3) может быть определена как:

если в разложении функции $k_{\omega }=k_0+{\left(\frac{dk}{d\omega }\right)}_0\left(\omega -{\omega }_0\right)+\dots \left(7\right)$ пренебречь членами высоких порядков.

В выражении ${\left(\frac{dk}{d\omega }\right)}_0$- производная в точке ${\omega }_0$. В формуле (6) индекс $0$ опущен, так как не требуется. В таком приближении форма пакета волны постоянна во времени.

Если в разложении (7) учесть следующие члены, то пакет волны будет расплываться.

Выражение для групповой скорости (6) можно записать в виде:

Связь групповой и фазовой скоростей (формула Рэлея)

Выражение для групповой скорости можно записать в виде:

Формула (9) называется формулой Рэлея. В том случае, если $\frac{dv}{d\lambda } >0$ имеют дело с нормальной дисперсией, и $uv$. Выражение (9) можно представить как:

Выражение (10) показывает зависимость групповой скорости от характеристик вещества.

При введении понятия групповой скорости используют случай, когда дисперсия не велика. В противном случае пакет волн быстро деформируется и само понятие групповой скорости не имеет смысла.

К примеру, около полосы поглощения среды, в области существенного изменения фазовой скорости в зависимости от частоты формула (9) может дать величину $u$ больше, чем скорость света в вакууме, или отрицательное значение.

То есть в такой области формула Рэлея не применима.

Пример 1

Задание: Представьте групповую скорость в виде функции от показателя преломления и длины волны. Чему равна групповая скорость волн в воде, если ${\lambda }_1$=656,3 нм. Считайте, что при $t=20{\rm\circ\!C}$ показатель преломления для этой длины воны $n_1=1,3311$, для ${\lambda }_2=643,8$ нм $n_{12}=1,3314.$

Решение:

За основу решения задачи примем определение групповой скорости:

\[u=\frac{d\omega }{dk}\left(1.1\right).\]

Зная, что круговая частота связана с длинной волны соотношением:

\[\omega =\frac{2\pi с}{n\lambda }\left(1.2\right).\]

Волновой вектор можно записать как:

\[k=\frac{2\pi }{\lambda }\left(1.3\right).\]

Подставим выражения (1.2) и (1.3) в (1.1), получим:

\[u=\frac{d\left(\frac{2\pi с}{n\lambda }\right)}{d\left(\frac{2\pi }{\lambda }\right)}=c\frac{(nd\lambda +\lambda dn)/n2{\lambda }2}{d\lambda /{\lambda }2}=\frac{c}{n}\left(1+\frac{\lambda }{n}\frac{dn}{d\lambda }\right)\left(1.4\right).\]

Подставим данные из условий задачи, проведем вычисления:

\[u=\frac{3\cdot {10}8}{1,3311}\left(1+\frac{656,3}{1,3311}\frac{0,0003}{12,5}\right)=2,28\cdot {10}8\left(\frac{м}{с}\right).\]

Ответ: $u\left(n,\lambda \right)=\frac{c}{n}\left(1+\frac{\lambda }{n}\frac{dn}{d\lambda }\right)=2,28\cdot {10}8\frac{м}{с}.$

Задание: Найдите выражение групповой скорости ($u$), если фазовая скорость ($v$) представлена выражением: $v=a{\lambda }q,$ где $a=const,\ q

Решение:

В качестве основы для решения задачи используем формулу Рэлея, определяющую групповую скорость вида:

Используя уравнение изменения фазовой скорости, заданное в условиях задачи найдем $\frac{dv}{d\lambda }$, имеем:

Подставим (2.2) в формулу Рэлея, получим:

Ответ: $u=v(1-q)$.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/optika/fazovaya_i_gruppovaya_skorosti_i_ih_sootnoshenie_formula_releya/

Фазовая и групповая скорость и связь между ними

Фазовая и групповая скорости и их соотношение, формула Рэлея

Фазовой скоростью υ (или v) монохроматичной волны принято называть скорость распространения волнового фронта. В среде с показателем преломления n фазовая скорость υ равна 

(6.1) Здесь – круговая частота, k – волновое число, c – скорость света в вакууме. Как показывает опыт, все без исключения среды обладают дисперсионными свойствами – волны разных частот распространяются в средах с различными фазовыми скоростями. Это явление называют дисперсией. Закон дисперсии можно задать либо в виде зависимости показателя преломления от частоты , либо в виде функции  , 

либо, наконец, в виде зависимости волнового числа от частоты

  . В качестве аргумента в законе дисперсии может быть вместо использована длина волны в среде.

При распространении монохроматической волны в среде с дисперсией никаких особых явлений не наблюдается; волна распространяется со своей фазовой скоростью, которая определяется значением показателя преломления на частоте волны.

Но если в диспергирующей среде одновременно распространяется группа волн разных частот, то по мере распространения волн возникают фазовые сдвиги между отдельными спектральными компонентами. При этом происходит деформация формы суммарного процесса.

Если на входе в диспергирующую среду возмущение имело вид импульса (волнового пакета) определенной формы, то после прохождения некоторого слоя форма импульса может существенно измениться. В общем случае наблюдается расплывание волнового пакета. Рис 6.1. иллюстрирует это утверждение.

По теореме Фурье волновой пакет 1 можно представить в виде суперпозиции монохроматических волн разных частот. На выходе все спектральные компоненты будут вновь складываться, образуя новый волновой пакет 2. Деформация волнового пакета                                                                                                          происходит вследствие изменения                                                                                                          фазовых соотношений.

Рисунок 6.1.

Расплывание волнового пакета в диспергирующей среде.

Вопрос о скорости распространения волнового пакета в среде с дисперсией достаточно сложен и неоднозначен. Можно, например, следить за перемещением переднего фронта (точка A на рис. 6.1). Обычно в теории рассматривается так называемая групповая скорость, то есть скорость перемещения центра волновой группы или точки с максимальным значением амплитуды (точка B).

Рассмотрим простой случай – распространение амплитудно-модулированной волны. При z = 0, то есть на входе в диспергирующую среду, колебание можно записать в виде 

(6.2)

Этот процесс может быть представлен в виде суперпозиции трех синусоидальных колебаний с частотами

  , , :  (6.3)

Каждая из этих спектральных компонент будет распространяться в среде со своей фазовой скоростью: 

(6.4)

Таким образом при z > 0 можно записать: 

 (6.5)

Рассмотрим случай достаточно малых значений z, удовлетворяющих условию 

(6.6) В этом случае высокочастотные колебания частоты , описываемые 1-ым и 2-ым слагаемыми в (6.5), практически не отличаются по фазе и могут быть объединены. Тогда  (6.7)

Функцию E(z, t) можно рассматривать как амплитудно-модулированную волну с медленно изменяющейся во времени и пространстве амплитудой

. «Моментальная фотография» этой функции изображена на рис. 6.2.

Рисунок 6.2.

Амплитудно-модулированная волна.

Как видно из (6.7) модулируемая волна распространяется с фазовой скоростью

  . 

Скорость распространения огибающей, то есть модулирующей волны, есть 

(6.8)

Это и есть групповая скорость.

Условие (6.6) означает, что волна распространяется не изменяя своей формы, то есть остается (в данном случае) волной, модулированной по синусоидальному закону. При нарушении условия (6.6) при больших значениях z форма волны искажается и групповая скорость теряет смысл.

Рисунок 6.3.

Кривая дисперсии и геометрический смысл фазовой и групповой скоростей

.

Для пояснения различия между фазовой и групповой скоростями дисперсионную кривую обычно задают в виде функции 

, хотя, разумеется, во многих других случаях роль независимой переменной предпочтительно отдавать частоте , поскольку частота не изменяется при переходе волны из одной среды в другую. На рис 6.3 изображена некоторая зависимость с целью проиллюстрировать геометрический смысл фазовой и групповой скоростей.

Между фазовой и групповой скоростями может быть установлена связь 

(6.9)

Соотношение (6.9) называется формулой Рэлея. Возможны два случая:

1) , – случай нормальной дисперсии 2) , – случаи аномальной дисперсии

Следует сделать несколько важных замечаний.

1. При экспериментальном определении скорости света в среде всегда измеряется групповая скорость u.

2. В соответствии с теорией относительности групповая скорость не может превышать скорости света в вакууме

  .

3. Теория относительности не налагает ограничений на величину фазовой скорости (возможны случаи и ). «,»author»:»ÐÐ²Ñ‚ор: Adreay»,»date_published»:»2020-03-05T21:04:00.000Z»,»lead_image_url»:»https://lh3.googleusercontent.com/proxy/GluYTrfXLYR1t-YVeGlmufyr8XVFT4rcI5cJUokpG7tGRNv0n-UmR5y7UKcDcqvCH-JXQ3z4gSHIao72TNrIurEBE1wlM1J8y45CT229bgmo4N7_OB3oYo_hCxDIXZf1PlKpjgSnZYJVWGzVVd4D=w1200-h630-p-k-no-nu»,»dek»:null,»next_page_url»:null,»url»:»http://mini-fizik.blogspot.com/2016/06/blog-post_81.html»,»domain»:»mini-fizik.blogspot.com»,»excerpt»:»Ð¤Ð°Ð·Ð¾Ð²Ð¾Ð¹ скоростью υ (или v ) монохроматичной волны принято называть скорость распространения волнового фронта. В среде с показате…»,»word_count»:626,»direction»:»ltr»,»total_pages»:1,»rendered_pages»:1}

Источник: http://mini-fizik.blogspot.com/2016/06/blog-post_81.html

Booksm
Добавить комментарий