Энергия в квантовой механике

Мысль — энергия. Квантовый перекресток

Энергия в квантовой механике

Квантовый мир устроен намного сложнее, чем мы себе представляли. Этот мир частиц живет по своим правилам, существуя постоянно во всех измерениях.

Квантовый мир – это внутреннее выражение законов природы: невидимое поле информации и энергии, объединяющее все материальное. Это нематериальное поле организует, соединяет и управляет всеми законами природы. Это измерение, в котором времени больше, чем пространства; другими словами, в этом измерении время вечно.

Квантовые законы имеют дело с непредсказуемым и невидимым – с миром энергии, волн, частот, информации, сознания… Этим миром управляет невидимая константа – поле информации.

В то время как в нашей трехмерной реальности пространство бесконечно, в квантовом мире бесконечновремя. Если время бесконечно и вечно, оно уже не линейно – то есть, нет разделения между прошлым и будущим. Без прошлого и будущего все происходит прямо сейчас, в настоящий момент.

Как сказал израильский физик-теоретик Якир Ааронов:  «Мир вокруг нас представляет собой тончайшую материю, где абсолютно все связанно между собой и влияет друг на друга из прошлого в будущее и наоборот».

Наше тело – это поле энергии, информации и разума, находящееся в состоянии постоянного динамического обмена с окружающей средой. Ученые, изучающие квантовый мир говорят: весь мир — энергия. Все частицы находятся одновременно везде. Пока нет наблюдателя — человека — мира не существует. Это научный факт.

Мир вокруг нас существует ровно столько времени, сколько существует наше представление об этом мире и его устройство именно таково, каким мы его себе представляем.

Все элементарные частицы меняют свое состояние от простого наблюдения за ними, то есть ожидания человека всегда влияют на результат эксперимента. Каждый человек прав на 100%. Вы всегда сначала верите во что-то, а потом находите подтверждение своим убеждениям.

Все частицы, из которых состоим мы, наш мир и миллиарды звезд взаимосвязаны, поэтому излучая свои эмоциональные мысли во Вселенную, мы оказываем влияние на бесчисленное количество этих частиц, формирующих то, что мы привыкли называть реальностью. Это Закон притяжения или Принцип зеркала. Все человеческое существование основано на принципе зеркала, что излучаешь, то и получаешь.

С точки зрения квантовой физики, наша действительность – источник сырья, из которого состоит наше тело, наш разум и вся Вселенная. Универсальное энергетическое и информационное поле никогда не перестает изменяться и преобразовываться, каждую секунду превращаясь во что-то новое.

Во время физических экспериментов с субатомарными частицами и фотонами было обнаружено, что факт наблюдения за течением эксперимента изменяет его результаты. То, на что мы фокусируем наше внимание — может реагировать. На квантовом уровне материя реагирует на внимание человека. Этот физический феномен получил название «эффект наблюдателя».

Исследования доказали, что измерение решает все. На квантовом уровне реальность не существует, если вы ее не видите.

Авторы исследования утверждают, что если рассматривать наш мир в деталях, а не на уровне всей Вселенной, то расчеты говорят о том, что в настоящий момент квантовая система влияет на эту же систему в прошлом. Закон причинности работает как в прямом (прошлое влияет на будущее) так и в противоположном направлении (будущее влияет на прошлое). Невероятно!!!

Вся наша реальность – это абстракция, доказанная экспериментами ученых, когда частицы в прошлом менялись в зависимости от их наблюдения и измерения в будущем. Пока они не были измерены, их «реальность» оставалась гибкой.

Например, вы верите, что денег не хватает. И это правда. Вам их постоянно не хватает. Или в этом городе невозможно найти хорошую работу. И вы опять правы. Но рядом с вами через дорогу живут люди, которым хватает денег на все. И они работают на хорошей работе. Почему? Им повезло?

Закон квантовой физики: Вы всегда! Всегда! Без исключений получаете тот результат, который ожидаете!

Каждый миг мы совершаем выбор. Каждую секунду мы создаем свою реальность. Каждый раз, когда с вами происходит что-то, чего вы не хотите, у вас есть выбор. Вы попадаете на квантовый перекресток.

И если вы разозлились, вы свернули не туда. Вы свернули в злой мир. Реальность всегда добра и нейтральна. Только ваши мысли, оценки окрашивают ее.

Когда вы искренне радуетесь любому опыту, все ваши проблемы решаются сами.

Много книг написано о том, что наши мыслиматериализуются, и это так.

Но мысли – это всего лишь форма для восприятия нашим мозгом конкретной информации, а эмоции – это энергия, похожая на движение фотонов, которые невидимы, но образуют яркий поток света.

В квантовой теории фотоны света одновременно являются частицей и волной. Точно также и эмоциональные всплески есть энергетически заряженные частицы и волна одновременно.

Наши эмоции одновременно являются энергией и волной, как фотоны света.

Мысль – это живая энергия, и с ней нужно быть очень осторожным. Когда она зарождается в нашем сознании, а потом исчезает, то на этом путь мысли не заканчивается.

Она не растворяется в пространстве, а формирует тот образ, который мы заложили при её возникновении. И даже если мы забываем о миллионах мыслей, ускользнувших от нас, как о множестве случайных прохожих на улицах, мысли продолжают существовать.

И однажды мы встречаем сотворенное ими событие.

Наши мысли материальны, но как на самом деле происходит этот процесс? Когда мы о чем-то думаем, то испытываем различные эмоции и чувства, которые являются мощным потоком энергии. Это своего рода сигнал во Вселенную о том, чего мы просим

На самом деле материализуются не совсем мысли, а та энергия, которой мы подкрепляем свои мысли.

Открытия квантовой физики не содержат ничего нового. Все это было известно древним мудрецам. Во многих мистических учениях, которые считались секретными и были доступны только посвященным, говорилось, что нет никакого различия между мыслями и предметами.

Все в мире наполнено энергией.

Вселенная реагирует на мысль.

Энергия следует за вниманием.

То, на чем ты фокусируешь свое внимание, начинает изменяться.

В статье использованы картины современного французского художника — импрессиониста Лорана Парселье (Laurent Parcelier).

Источник: https://zhitanska.com/content/mysl-energiya-kvantovij-perekrestok/

Квантовая физика | Все Формулы

Энергия в квантовой механике

В 1900г. немецкий физик М.Планк своими исследованиями продемонстрировал, что излучение энергии происходит дискретно, определенными порциями — квантами, энергия которых зависит от частоты световой волны. Теория М.Планка не нуждалась в концепции эфира и преодолевала противоречия и трудности электродинамики Дж.Максвелла.

Эксперименты М.Планка привели к признанию двойственного характера света, который обладает одновременно корпускулярными и волновыми свойствами. Понятно, что такой вывод был несовместим с представлениями классической физики. Теория М.Планка положила начало новой квантовой физики, которая описывает процессы, протекающие в микромире.

Опираясь на идеи М.Планка, А.Эйнштейн предложил фотонную теорию света, согласно которой свет есть поток движущихся квантов. Квантовая теория света (фотонная теория) рассматривает свет как волну с прерывистой структурой. Свет есть поток неделимых световых квантов — фотонов. Гипотеза А.

Эйнштейна позволила объяснить явление фотоэффекта — выбивания электронов из вещества под действием электромагнитных волн. Стало ясно, что электрон выбивается фотоном лишь в том случае, если энергия фотона достаточна для преодоления силы взаимодействия электронов с атомным ядром. В 1922 г. за создание квантовой теории света А.

Эйнштейн получил Нобелевскую премию.

Объяснение процесса фотоэффекта опиралось, помимо квантовой гипотезы М.Планка, также на новые представления о строении атома. В 1911г. английский физик Э.Резерфорд предложил планетарную модель атома.

Модель представляла собой атом как положительно заряженное ядро, вокруг которого вращаются отрицательно заряженные электроны. Возникающая при движении электронов по орбитам сила уравновешивается притяжением между положительно заряженным ядром и отрицательно заряженными электронами.

Общий заряд атома равен нулю, поскольку заряды ядра и электронов равны друг другу. Почти вся масса атома сосредоточена в его ядре, а масса электронов ничтожно мала. С помощью планетарной модели атома было объяснено явление отклонения альфа-частиц при прохождении через атом.

Поскольку размеры атома велики по сравнению с размерами электронов и ядра, альфа-частица без препятствий проходит через него. Отклонение наблюдается только тогда, когда альфа-частица проходит близко от ядра, в этом случае электрическое отталкивание вызывает ее резкое отклонение от первоначального пути.

В 1913г. датский физик Н.Бор предложил более совершенную модель атома, дополнив идеи Э.Резерфорда новыми гипотезами. Постулаты Н.Бора звучали следующим образом:

1. Постулат стационарных состояний. Электрон совершает в атоме устойчивые орбитальные движения по стационарным орбитам, не испуская и не поглощая энергии.

2. Правило частот. Электрон способен переходить с одной стационарной орбиты на другую, при этом испуская или поглощая энергию. Поскольку энергии орбит дискретны и постоянны, то при переходе с одной из них на другую всегда испускается или поглощается определенная порция энергии.

Первый постулат позволил ответить на вопрос: почему электроны при движении по круговым орбитам вокруг ядра не падают на него, т.е. почему атом остается устойчивым образованием?

Второй постулат объяснил прерывность спектра излучения электрона. Квантовые постулаты Н.Бора означали отказ от классических физических представлений, которые до этого времени считались абсолютно истинными.

Несмотря на быстрое признание теория Н.Бора все же не давала ответов на многие вопросы. В частности, ученым не удавалось точно описать многоэлектронные атомы. Выяснилось, что это связано с волновой природой электронов, представлять которые в виде твердых частиц, движущихся по определенным орбитам, ошибочно.

В действительности состояния электрона могут меняться. Н.Бор предположил, что микрочастицы не являются ни волной, ни корпускулой. При одном типе измерительных приборов они ведут себя как непрерывное поле, при другом — как дискретные материальные частицы.

Выяснилось, что представление о точных орбитах движения электронов также ошибочно. Вследствие своей волновой природы электроны скорее «размазаны» по атому, причем весьма неравномерно. В определенных точках плотность их заряда достигает максимума.

Кривая, связывающая точки максимальной плотности заряда электрона, и представляет собой его «орбиту».

В 20-30-е гг. В.Гейзенберг и Л. де Бройль заложили основы новой теории — квантовой механики. В 1924г. в работе «Свет и материя»

Л. де Бройль высказал предположение об универсальности корпускулярно-волнового дуализма, согласно которому все микрообъекты могут вести себя и как волны, и как частицы.

На основе уже установленной дуальной (корпускулярной и волновой) природы света он высказал идею о волновых свойствах любых материальных частиц. Так, например, электрон ведет себя как частица, когда движется в электромагнитном поле, и как волна, когда проходит сквозь кристалл.

Эта идея получила название корпускулярно-волнового дуализма. Принцип корпускулярно-волнового дуализма устанавливает единство дискретности и непрерывности материи.

В 1926г. Э.Шредингер на основе идей Л. де Бройля построил волновую механику.

По его мнению, квантовые процессы — это волновые процессы, поэтому классический образ материальной точки, занимающей определенное место в пространстве, адекватен только макропроцессам и совершенно неверен для микромира.

В микромире частица существует одновременно и как волна, и как корпускула. В квантовой механике электрон можно представить как волну, длина которой зависит от ее скорости. Уравнение Э.Шредингера описывает движение микрочастиц в силовых полях и учитывает их волновые свойства.

На основе этих представлений в 1927г. был сформулирован принцип дополнительности, по которому волновые и корпускулярные описания процессов в микромире не исключают, а взаимно дополняют друг друга, и только в единстве дают полное описание.

При точном измерении одной из дополнительных величин другая претерпевает неконтролируемое изменение. Понятия частицы и волны не только дополняют друг друга, но и в то же время противоречат друг другу. Они являются дополняющими картинами происходящего.

Утверждение корпускулярно-волнового дуализма стало основой квантовой физики.

В 1927г. немецкий физик В.Гейзенберг пришел к выводу о невозможности одновременного, точного измерения координаты частицы и ее импульса, зависящего от скорости, эти величины мы можем определить только с определенной степенью вероятности.

В классической физике предполагается, что координаты движущегося объекта можно определить с абсолютной точностью. Квантовая механика существенно ограничивает эту возможность. В.Гейзенберг в работе «Физика атомного ядра» изложил свои идеи.

Вывод В. Гейзенберга получил название принципа соотношения неопределенностей, который лежит в основе физической интерпретации квантовой механики.

Его суть в следующем: невозможно одновременно иметь точные значения разных физических характеристик микрочастицы — координаты и импульса.

Если мы получаем точное значение одной величины, то другая остается полностью неопределенной, существуют принципиальные ограничения на измерение физических величин, характеризующих поведение микрообъекте.

Таким образом, заключил В.Гейзенберг, реальность различается в зависимости от того, наблюдаем мы ее или нет. «Квантовая теория уже не допускает вполне объективного описания природы», — писал он.

Измерительный прибор влияет на результаты измерения, т.е. в научном эксперименте влияние человека оказывается неустранимым.

В ситуации эксперимента мы сталкиваемся с субъект-объектным единством измерительного прибора и изучаемой реальности.

Важно отметить, что это обстоятельство не связано с несовершенством измерительных приборов, а является следствием объективных, корпускулярно-волновых свойств микрообъектов. Как утверждал физик М. Борн, волны и частицы — это только «проекции» физической реальности на экспериментальную ситуацию.

Два фундаментальных принципа квантовой физики — принцип соотношения неопределенностей и принцип дополнительности — указывают на то, что наука отказывается от описания только динамических закономерностей. Законы квантовой физики — статистические. Как пишет В.

Гейзенберг, «в экспериментах с атомными процессами мы имеем дело с вещами и фактами, которые столь же реальны, сколь реальны любые явления повседневной жизни. Но атомы или элементарные частицы реальны не в такой степени. Они образуют скорее мир тенденций или возможностей, чем мир вещей и фактов».

В дальнейшем квантовая теория стала базой для ядерной физики, а в 1928г. П.Дирак заложил основы релятивистской квантовой механики.

Источник: https://xn----ctbjzeloexg6f.xn--p1ai/%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%B4%D0%B5%D0%BB/%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F-%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0

Квантовая механика и Физика: истории из жизни, советы, новости, юмор — Горячее | Пикабу

Энергия в квантовой механике

Поскольку статьи на тему перечисленных теорий появляются тут стабильно, и стабильно запутывают мозги всем желающим приобщиться, решила прояснить пару моментов.

Пожалуй, лучше всё-таки начать с того места, откуда ноги растут. Да, с той самой большой Ж, в которой физики оказались в конце 19 века.

Конкретно: великим умам от науки было банально нечего делать: все законы открыты, описаны, а то, что непонятно – новая область под названием «электродинамика», ну никак не вписывается в существующие уравнения.

Не хочет электричество Максвелла дружить с Ньютоновской механикой.

В двух словах, основная фигня заключалась в том, что электромагнитные волны были волнами. Описывались как волны, вели себя как волны, распространялись как волны. Но привычным образом думая о волнах, физики тут же вспоминали про тот факт, что волны – колебания некоей среды. Например, звук – волны, распространяющиеся в воздухе и являющиеся движением воздуха.

Морские волны – движение воды. Но что тогда является средой для электромагнитных волн? Что такое колеблется, что несёт через себя электромагнетизм? «Значит что-то, таки, есть!» удумали умнейшие и замутили эфир.

То есть некую независимую от материи среду, в которой происходит распространение электромагнитных колебаний: света, радио и всего того привычного, что уже вошло в жизнь. Конечно же, теория теорией, но её надо же подтверждать: эфир стали искать. Тут наших мозговитых ждал серьёзный облом: никакого эфира обнаружить не удалось.

Свет распространялся во все стороны с одинаковой скоростью, независимо от скорости наблюдателя, никакой анизотропности или внешнего воздействия на движущийся объект со стороны эфира не было.

Получалась странная лажа: вот мы вроде стоим на месте, меряем скорость света. Получаем результат. Бежим вперёд, опять мерям скорость света, который сами излучаем. Тот же результат.

Стоим, меряем скорость света, который даёт фонарик бегущего человека… Снова те же цифры! Цимес оказался в том, что скорости не складываются! Традиционная механика не действует! Ньютон переворачивается в гробу, физики чешут репку и начинают усиленно думать.

«Шозахерня?! – читается у них на лбах. – Если традиционные уравнения не работают, как же тогда нам описывать электромагнетизм??»

Тут после некоторых относительно недолгих поползновений в плане анализа максвелловских уравнений со стороны Лоренца и Пуанкарэ на сцене появляется всем известный тогда ещё неизвестный чувак с еврейской фамилией и именем Альберт.

«Ребята, вы все лохи! Господа, мы подходим не с той стороны! Я всё придумал!», после чего начинает втирать вроде бы стрёмную дичь… однако народ следит за рассуждениями (или делает вид, что следит), впечатляется, а затем признаёт: наследник хитрого народа, таки, прав.

Со своею теорией относительности.

В чём суть: Эйнштейн заметил одно из главных свойств уравнений Максвелла. Они справедливы для инерциальной системы отсчёта. Любой. Их вид не меняется. А что если системы разные? А пофиг, уравнения всё равно те же. И для стоящего человека и для бегущего с фонариком. Этот факт стал «первым постулатом» теории относительности.

Вторым постулатом стало то, что у взаимодействий существует максимальная скорость распространения. Магнитное поле распространяется не быстрее определённой скорости. Как и электрическое. Как и гравитационное. Вообще все воздействия осуществляются не быстрее определённого значения. Значения скорости света в вакууме (пока будем считать, что совпало).

Отсюда вылезла нехорошая фигня, которая явно не укладывалась в мозги не только обывателей, но и великих: свет распространяется с одной скоростью относительно стоящего и относительно бегущего.

Скорость не складывается и не вычитается. Если сие записать в виде уравнений на бумагу, получится, что у стоящего и бегущего разные масштабы времени.

Время! Течёт по-разному! «Но это же бред!» — думали обычно физики и выкидывали свои наработки на мороз. Кроме Эйнштейна.

Мужик, не долго думая, решил: «а почему нет?».

Действительно, чисто математически мы ведь можем допустить подобные модели, так почему не попробовать? Но для этого надо изменить понимание самого подхода к анализу законов, проявляющихся в мире: никакого глобального пространства-времени не существует, каждый объект живёт в своей собственной системе отсчёта. Да, из одной системы можно перейти в другую, выполнив некоторые преобразования, но сути это не меняет. «Всё относительно» появилось именно на этом этапе: у каждого своя система отсчёта.

Победой такого подхода стало не объяснение «почему так происходит?» (на это вопрос теория относительности как раз не отвечает), а возможность самого описания процессов: как посчитать.

Получилось нечто вроде «голографического» подхода к рассмотрению проблемы электромагнетизма: если мы знаем, как работает обычный патефон и какой звук получается на выходе, то с mp3 плеером можно допустить примерно то же описание процесса воспроизведения звука. Хотя бы отчасти. И результат (звук) будет такой же.

Впрочем, теория относительности (общая и специальная) позволила, развив собственные математические модели, заглянуть в некоторые аспекты взаимодействия материи и успешно спрогнозировать многие явления. Но, как говорится, главный косяк остался. А именно: квантовая механика.

Квантовая механика совершенно не хотела дружит с ТО. Камнем преткновения стал третий постулат теории относительности, который говорил, что пространство «гладкое» — однородно и одинаково во всех направлениях. Как, впрочем, и время.

Квантовая механика сей постулат обнулила, утвердив (и подтвердив) то, что на самом деле в пространстве идёт активное шебуршение: постоянно рождаются и умирают пары виртуальных частиц-античастиц с разными энергиями.

Получилось, что само по себе пространство вроде как нихрена и не однородное.

Ещё раз: в теории относительности пространство-время это что-то вроде резинового листа, который сам по себе взаимодействует с веществом, искажая свою геометрию. Чисто подход к рассмотрению такой. В квантовой механике пространство-время – контейнер для частиц, не более. Ни с чем не взаимодействует. Справедливые результаты выдают обе теории. Одна на больших масштабах, другая – на малых.

И как, падшая женщина, всё это совместить?

Вот тут-то и появилась теория струн.

Не сама по себе, конечно, и не так сразу, но… В 1968 году физики вдруг заметили, что свойства частиц, участвующих в сильном взаимодействии отлично описываются математической функцией Эйлера, которая применялась для описания колебаний гитарных струн. «Аааа, так вот в чём было всё дело-то!!» воскликнули мозговитые и кинулись, для начала, перепроверять результаты. Представьте себе, результаты были те же.

По всему выходило, что движущаяся частица (а какая у нас частица не движется?) – это и не частица вовсе, а колебание, передающееся по некоей одномерной струне. С переносом энергии, конечно. Выглядит как гребень волны на воде: вот он гребень, но по сути это волна на поверхности жидкости, которая хоть и переносит энергию, но не саму жидкость.

Дальнейший анализ математических описаний привёл к некоторым очень хорошим выводам. Во-первых, сами собой получились значения основных констант микромира.

Во-вторых, согласно моделям, так называемые собственные колебания струн полностью уравновешивали квантовые флуктуации, то есть заставляли дружить теорию относительности и квантовую механику. Это был epic win.

Но, конечно же, нашлись и проблемы типа не наблюдавшейся в экспериментах суперсимметрии частиц или предсказания таких из них, квадрат массы которых был отрицателен (мнимая масса — тахионы).

По результатам дальнейшего автомозгоклюйства, математическая модель струнной теории оказалась согласуемой с реальностью, если построить её не на 4 измерениях (3-пространство + время), а на 11. В итоге оказался математический монстр. Огромный, не до конца описанный и не понятно как к нему подступиться.

Но, как ни странно, способный объединить все существующие в природе взаимодействия в единую систему и окончательно подружить теорию относительности с квантовой механикой. Монстрика назвали М-теорией, а на выяснение конкретного количества зубов во всех труднодоступных местах пока положили болт.

Ну действительно, надо ставить такие эксперименты, что всей вселенной не хватит.

Отдельно от себя лично отмечу вот что. Основной особенностью, объединяющей теорию относительности и М-теорию, является подход к рассмотрению. И там и там опора идёт прежде всего на математику с допущениями типа «а почему бы и нет».

Анализ абстрактных моделей, затем попытка подтвердить на практике (что чаще всего невозможно для м-теории). То, что «круглое оранжевое и пахнет как мандарин» не всегда является мандарином, нашим учёным ещё только предстоит понять.

При попытке самостоятельных разбирательств в обеих теориях всегда следует помнить, что они описывают поведение объекта по принципу «выглядит так, как будто… » и дальше модель. Действительность сложнее.

Источник: https://pikabu.ru/tag/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F%20%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0,%D0%A4%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0/hot

Энергия в квантовой механике

Энергия в квантовой механике

Определение 1

В квантовой механике энергии свойственна двойственность в отношении понятия времени. В частности, невозможно (в силу фундаментальных причин) произвести абсолютно точное измерение энергии системы в каком-либо процессе, для которого время протекания конечно.

При проведении серии измерений для одного и того же процесса значения измеряемой энергии будут флуктуировать. Наряду с тем, среднее значение всегда определяется на основании закона сохранения энергии. Это объясняет причину сохранения средней энергии в квантовой механике.

Энергия $E$ свободной частицы в квантовой механике связана с круговой частотой $\omega$ волны де Бройля:

$E=\bar{h} \omega$

В данной формуле $\bar{h}$ – это постоянная Планка.

Вышеприведенное уравнение представляет собой математическое выражение принципа корпускулярно-волнового дуализма частиц и волн для случая энергии.

Замечание 1

Полную энергию в квантовой механике характеризует оператор системы (Гамильтониан). Поскольку энергия есть вещественная величина, гамильтониан — это сопряженный оператор.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Гамильтониан в квантовой механике

Гамильтониан $H$ в квантовой механике является оператором полной энергии. Его спектр представляет множество возможных значений в процессе измерения полной энергии системы. Спектр может быть двух видов:

  • дискретным;
  • непрерывным;
  • смешанным (состоящим из непрерывной и дискретной частей, например, для кулоновского потенциала).

Гамильтониан может генерировать временную эволюцию квантовых состояний. Зная состояние на начальный момент времени ($t=0$), мы в любой последующий момент можем решить уравнение Шредингера. При этом, если величина $H$ не зависима от времени, то мы получаем оператор экспоненты через степенной ряд:

$U=e \frac{-iHt}{\bar{h}}$

Это оператор временной эволюции замкнутой квантовой системы. Если гамильтониан не зависим от времени, ${U(t)}$ создает однопараметрическую группу (принцип детального равновесия).

Энергия квантовой механики в координатном представлении

Если частица не имеет потенциальную энергию, то тогда гамильтониан будет самым простым.

$H=-\frac {\bar h2}{2m} \frac{\partial2}{\partial x2}$ — для одного измерения;

$H=-\frac {\bar h2}{2m} abla2=- \frac {\bar h2}{2m} \Delta$ — для трех измерений.

Вышеприведенные формулы касаются свободной частицы. Также в отношении энергии существует такое понятие, как потенциальная яма.

Для частицы в постоянном потенциале $V=V_0$ (когда отсутствует зависимость от времени и координаты) в одном измерении гамильтониан будет таким:

$H=-\frac {\bar{h}2}{2m} \frac {\partial2}{\partial x2}+V_0$

В трёх измерениях:

$H=-\frac {\bar{h}2}{2m}abla2+V_0$

Квантовые операторы энергии

Замечание 2

Роль обобщенных координат в классической теории поля играют его функции в каждой отдельной точке пространства-времени. Они становятся операторами в квантовой теории поля. Гамильтониан (для системы взаимодействующих полей) представляет суммарное число операторов энергии их взаимодействия и свободных полей.

Гамильтониан (в отличие от лагранжиана) не дает релятивистски-инвариантное описание системы. В различных инерциальных системах отсчёта энергия будет разной. При этом, в отношении релятивистских систем такую инвариантность можно доказать.

Энергия частицы в классической механике получается из кинетической $T$ и потенциальной $V$. Кинетическая энергия равна:

$T=\frac{mv2}{2}=\frac{p2}{2m}$

Где $p=mv$ — это импульс.

Квантово-механический вариант получается, если числовое значение импульса заменить на оператор:

$T=\frac{p2}{2m}$

Если рассматривать формулу самого оператора импульса в квантово-механическом случае, то она будет такой:

$p=−I \frac{d}{dx}$

Мы получили, таким образом, оператор Гамильтона в координатном базисе:

$H=\frac{−1}{2m}\frac{d2}{dx2}+V(x)$

Квадратичный потенциал $V=kx2$, который соответствует линейной силе в классическом случае (например, пружина или маятник) будет называться гармоническим осциллятором.

В отличие от классической версии, квантовый гармонический осциллятор не может совершать колебания. Другими словами, квантовый гармонический осциллятор не может иметь нулевую энергию.

Для каждого собственного значения (энергетического уровня) будет соответствовать собственный вектор. Он представляет собой волновую функцию, в которую будет переходить вектор состояния после того, как произведутся измерения собственного значения (энергии).

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/kvantovaya_mehanika/energiya_v_kvantovoy_mehanike/

Операторы квантовой механики

Энергия в квантовой механике

В квантовой механике каждой динамической переменной – координате, импульсу, угловому моменту, энергии ставится в соответствие линейный самосопряжённый (эрмитовый) оператор.

Все функциональные соотношения между величинами, известные из классической механики, в квантовой теории заменяются аналогичными соотношениями между операторами. Соответствие между динамическими переменными (физическими величинами) и квантово-механическими операторами постулируется в квантовой механике и являющегося обобщением огромного экспериментального материала.

1.3.1. Оператор координаты:

Как известно, в классической механике, положение частицы (системы N — частиц) в пространстве в данный момент времени определяется набором координат – векторных или скалярных величин.

В основе векторной механики лежат законы Ньютона, основными здесь являются векторные величины – скорость, импульс, сила, момент импульса (угловой момент), момент силы и т.д.

Здесь положение материальной точки задаётся радиус-вектором, определяющим её положение в пространстве относительно выбранного тела отсчёта и связанной с ним системы координат, т.е.

Если определены все векторы сил, действующих на частицу, то можно решить уравнения движения и построить траекторию.

Если рассматривается движение N – частиц, то целесообразней (вне зависимости от того рассматривается движение связанных частиц или частицы свободны в своих движениях от всякого рода связей) оперировать не векторными, а скалярными величинами – так называемыми обобщёнными координатами, скоростями, импульсами и силами.

В основе такого аналитического подхода лежит принцип наименьшего действия, который в аналитической механике играет роль второго закона Ньютона. Характерной чертой аналитического подхода является отсутствие жёсткой связи с какой-либо определённой системой координат.

В квантовой механике, каждой наблюдаемой динамической переменной (физической величине) ставится в соответствие линейный самосопряжённый оператор. Тогда очевидно классическому набору координат будет соответствовать набор операторов вида: , действие которых на функцию (вектор) будет сводиться к умножению её на соответствующие координаты, т.е.

откуда следует, что:

1.3.2. Оператор импульса:

Классическое выражение для импульса по-определению имеет вид:

учитывая, что:

будем иметь соответственно:

Поскольку любой динамической переменной в квантовой механике ставится в соответствие линейный самосопряжённый оператор:

тогда соответственно выражение для импульса, выраженное через его проекции на три не эквивалентных направления в пространстве преобразуется к виду:

Значение оператора импульса и его компонент можно получить путём решения задачи на собственные значения оператора:

Для этого воспользуемся аналитическим выражением плоской волны де Бройля, полученным уже нами ранее:

учитывая также, что:

тогда:

имеем таким образом:

Воспользовавшись уравнением плоской волны де Бройля, решим теперь задачу на собственные значения оператора импульса (его компоненты):

поскольку:

и функция находится по обе стороны операторного уравнения:

тогда величины амплитуды волны сократятся, поэтому:

таким образом, имеем:

поскольку оператор компоненты импульса (аналогично и ) – есть дифференциальный оператор, то его действие на волновую функцию (вектор), очевидно, будет сводиться к вычислению частной производной от функции вида:

Решая задачу на собственные значения оператора, приходим в выражению:

Таким образом, в ходе проделанных выше выкладок, мы пришли к выражению вида:

т.к.

тогда соответственно:

учитывая, что:

после подстановки получим выражение вида:

Аналогичным образом можно получить выражения и для других компонент оператора импульса , т.е. имеем:

Учитывая выражение для оператора полного импульса:

и его компонент:

имеем соответственно:

Таким образом, оператор полного импульса является векторным оператором и результатом его действия на функцию (вектор) , будет выражение вида:

1.3.3. Оператор момента импульса (углового момента):

Рассмотрим классический случай абсолютно твёрдого тела, вращающегося около неподвижной оси ОО, проходящей через него. Разобьём это тело на малые объёмы с элементарными массами: находящимися на расстояниях: от оси вращения ОО.

При вращении твёрдого тела относительно неподвижной оси ОО, отдельные его элементарные объёмы с массами , очевидно, опишут окружности различных радиусов и будут иметь различные линейные скорости: .

Из кинематики вращательного движения известно, что:

Если материальная точка совершает вращательное движение, описывая окружность радиусом , то через малый промежуток времени она повернётся на угол от своего первоначального положения.

Линейная скорость материальной точки, в таком случае будет равняться соответственно:

поскольку:

тогда:

Очевидно угловая скорость элементарных объёмов твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси ОО на расстояниях от неё будет равняться соответственно:

При изучении вращения твёрдого тела пользуются понятием момента инерции , который представляет собой физическую величину, равную сумме произведений масс — материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси вращения ОО, относительно которой совершается вращательное движение:

тогда кинетическую энергию вращающегося тела найдём как сумму кинетических энергий его элементарных объёмов:

поскольку:

тогда соответственно:

Сравнение формул для кинетической энергии поступательного и вращательного движений:

показывает, что момент инерции тела (системы) , характеризует меру инертности этого тела.

Очевидно чем больше момент инерции, тем большую энергию необходимо затратить для достижения заданной скорости вращения рассматриваемого тела (системы) вокруг неподвижной оси вращения ОО.

Не менее важным понятием в механике твёрдого тела является вектор момента сил , так по определению работа перемещения тела на расстояние равна:

поскольку как уже оговаривалось выше при вращательном движении:

тогда соответственно будем иметь:

учитывая тот факт, что:

тогда выражение для работы вращательного движения, выраженное через момент сил можно переписать в виде:

поскольку в общем случае:

тогда, следовательно:

Дифференцируя правую и левую части полученного выражения по , будем иметь соответственно:

учитывая, что:

получаем:

Момент силы (вращательный момент) действующий на тело, равен произведению его момента инерции на угловое ускорение . Полученное уравнение представляет собой уравнение динамики вращательного движения, аналогичное уравнению второго закона Ньютона:

здесь вместо силы выступает момент силы , роль массы , играет момент инерции .

Исходя из приведенной выше аналогии между уравнениями для поступательного и вращательного движений, аналогом импульса (количества движения) будет являться момент импульса тела (угловой момент) .

Моментом импульса материальной точки массой называется векторное произведение расстояния от оси вращения до этой точки, на её импульс (количество движения) ; имеем тогда:

Учитывая, что вектор определяется не только тройкой компонент:

но и явным разложением по ортам координатных осей:

будем иметь соответственно:

Компоненты полного момента импульса можно представить как алгебраические дополнения детерминанта, в котором первая строка – единичные векторы (орты), вторая строка – декартовые координаты и третья строка – компоненты импульса, тогда соответственно будем иметь выражение вида:

откуда следует, что:

Из формулы момента импульса как векторного произведения так же следует выражение вида:

или для системы частиц:

учитывая соотношения вида:

получим выражение для момента импульса системы материальных точек:

Таким образом, момент импульса твёрдого тела относительно неподвижной оси вращения, равен произведению момента инерции тела на угловую скорость.

Момент импульса есть вектор, направленный по-оси вращения таким образом, чтобы с его конца видеть вращение происходящим по-часовой стрелке.

Дифференцирование полученного выражения по времени, даёт ещё одно выражение динамики вращательного движения, эквивалентное уравнению второго закона Ньютона:

аналогичное уравнению второго закона Ньютона:

«Произведение момента импульса твёрдого тела относительно оси вращения ОО, равна моменту силы относительно той же оси вращения». Если мы имеем дело с замкнутой системой, то момент внешних сил равен нулю, тогда, следовательно:

Полученное выше уравнение для замкнутой системы, есть аналитическое выражение закона сохранения импульса. «Момент импульса замкнутой системы есть величина постоянная, т.е. не изменяется во времени». Итак, в ходе проделанных выше выкладок, мы пришли к выражениям, необходимых нам в дальнейших рассуждениях:

и таким образом имеем соответственно:

здесь:

Поскольку в квантовой механике любой физической величине (динамической переменной) ставится в соответствие линейный самосопряжённый оператор:

тогда соответственно выражения:

преобразуются к виду:

поскольку по-определению:

а также учитывая, что:

Тогда соответственно для каждой из компонент углового момента будем иметь выражение вида:

на основании выражения вида:

получаем далее выражение для оператора полного импульса, который является также векторным оператором:

1.3.4. Оператор квадрата момента импульса:

В классической механике квадрат момента импульса определяется выражением вида:

Поэтому соответствующий ему оператор будет иметь вид:

откуда следует соответственно, что:

1.3.5. Оператор кинетической энергии:

Классическое выражение для кинетической энергии имеет вид:

учитывая, что выражение для импульса:

имеем соответственно:

выражая импульс через его компоненты:

будем иметь соответственно:

Поскольку каждой динамической переменной (физической величине) в квантовой механике соответствует линейный самосопряжённый оператор, т.е.

тогда, следовательно:

учитывая выражения вида:

имеем:

и таким образом, приходим к выражению для оператора кинетической энергии вида:

1.3.6. Оператор потенциальной энергии:

Оператор потенциальной энергии при описании кулоновского взаимодействия частиц с зарядами и имеет вид:

Он совпадает с аналогичным выражением соответствующей ему динамической переменной (физической величине) – потенциальной энергией .

1.3.7. Оператор полной энергии системы:

Классическое выражение для гамильтониана, известное из аналитической механики Гамильтона, имеет вид:

на основании соответствия между квантово-механическими операторами и динамическими переменными:

приходим к выражению оператора полной энергии системы – оператору Гамильтона:

учитывая выражения для операторов потенциальной и кинетической энергии:

приходим к выражению вида:

Операторы физических величин (динамических переменных) – координаты, импульса, углового момента, энергии являются линейными самосопряжёнными (эрмитовыми) операторами, следовательно, на основании соответствующей теоремы, их собственные значения являются действительными (вещественными) числами.

Именно это обстоятельство и послужило основанием для использования операторов в квантовой механике, поскольку в результате физического эксперимента мы получаем именно действительные величины. В этом случае собственные функции оператора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Если мы имеем два различных оператора, то их собственные функции будут различными. Однако если операторы коммутируют между собой, то собственные функции одного оператора будут являться также собственными функциями другого оператора, т.е.

системы собственных функций коммутирующих между собой операторов будут совпадать:

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/6_117648_operatori-kvantovoy-mehaniki.html

Гамильтониан. Оператор энергии

Энергия в квантовой механике

Напомним основные постулаты квантовой механики, связанные с эрмитовыми операторами:

  1. Все величины, которые можно экспериментально измерить, в квантовой механике выражаются эрмитовыми операторами (матрицами).
  2. Результатом измерения величины, описываемой оператором, может являться только одно из собственных значений данного оператора.
  3. Собственные векторы эрмитовых операторов формируют базис по которому можно разложить исходный вектор состояния.
  4. Вектор состояния, описывающий систему, после измерения коллапсирует в один из собственных векторов оператора измеряемой величины, причем в тот, который соответствует измеренному собственному значению.
  5. Коэффициенты в разложении по базисным векторам исходного вектора состояния есть амплитуды вероятности при измерении обнаружить собственное значение, связанное с данным собственным вектором.

Оператор, связанный с измерением энергии, в квантовой механике называется оператором Гамильтона или Гамильтонианом. Конкретный вид матрицы Гамильтониана зависит от деталей рассматриваемой системы. Если это система с двумя состояниями типа кубита с двумя базисными векторами, то Гамильтониан имеет вид квадратной матрицы 2х2. В общем случае он может быть и бесконечномерной матрицей.

В классической механике энергия частицы складывается из кинетической \( \displaystyle T\) и потенциальной \( \displaystyle V\). Кинетическая энергия  равна:

\( \displaystyle T = \frac{mv2}{2}= \frac{p2}{2m}\) где \( \displaystyle p = mv\) — импульс.

Квантовомеханический аналог получается простой заменой числового значения импульса на оператор:

\( \displaystyle \hat{T} = \frac{\hat{p}{2}}{2m} \)

Сам оператор импульса в квантовомеханическом случае выражается через оператор взятия производной:

\( \displaystyle \hat{p}=-i \frac{d}{dx}\)

Мы получили оператор Гамильтона в координатном базисе:

\( \displaystyle \hat{H} = -\frac{1}{2m}\frac{d{2}}{dx2}+V(x) \)

Его собственные векторы также бесконечномерные — это функции от координаты x. Аппроксимируя вторую производную квадратной матрицей и прибавляя дискретизированную функцию потенциала \( \displaystyle V\) получим конечномерную матрицу, аппроксимирующую Гамильтониан:

\( \displaystyle \hat{H}=-\frac{1}{2m(\Delta x)2}\begin{pmatrix}-2+V(x_1)&1 &0 &…  \\1&-2+V(x_2) &1 &…  \\0&1 &-2+V(x_3) &… \\…&… &… &… &\\

\end{pmatrix}\)

Все что остается — это выбрать конкретный вид функции потенциала и найти на компьютере собственные векторы и собственные значения данной матрицы.

Давайте возьмем квадратичный потенциал \( \displaystyle V = kx2\), отвечающий линейной силе в классическом случае (пружина, маятник). Система известна как гармонический осциллятор.

Найдя собственные значения мы получим, что они отстоят друг от друга на одинаковом расстоянии, причем первый энергетический уровень не нулевой.

Квантовый гармонический осциллятор, в отличие от классического, оказывается не может не совершать колебания (иметь нулевую энергию).

Мы наблюдаем эффект квантования. Измеренная энергия не может принимать любое значение, а только одно из разрешенных, дискретных.

Численные величины собственных значений оператора Гамильтона зависят от вида функции потенциальной энергии. Возьмем, например, второй популярный пример — потенциал в виде прямоугольной ямы.

Каждому собственному значению (энергетическому уровню) соответствует собственный вектор — волновая функция в которую перейдет вектор состояния после измерения данного собственного значения (энергии). Несколько собственных функций, соответствующих нескольким первым собственным значениям Гамильтониана с прямоугольным потенциалом приведены на рисунке.

Из рисунка понятно почему квантовомеханический вектор состояния исторически получил название волновой функции. Аналогично можно найти и спектр атома водорода взяв за \( \displaystyle V(x) \) кулоновский потенциал притяжения электрона и протона:

\( \displaystyle V(x) = -\frac{e2}{4 \pi \epsilon_0 |x|}\)

Оператор Гамильтона выделяется среди других эрмитовых операторов тем, что он является генератором эволюции во времени вектора состояния (поэтому он входит в уравнение Шредингера).

В связи с этим ряд высказываний касательно времени можно сформулировать используя Гамильтониан. Так утверждение, что величина сохраняется означает ее неизменность с течением времени.

На языке оператора Гамильтона данный факт преобразуется в:

Если данный эрмитов оператор коммутирует с Гамильтонианом, то физическая величина, представляемая данным оператором, сохраняется.

То есть, если \( \displaystyle [A,H]=AH-HA=0\), то \( \displaystyle A\) сохраняется.

Тривиальный случай — это закон сохранения энергии, поскольку любой оператор коммутирует сам с собой:

\( \displaystyle [H,H]=0 \Rightarrow\) энергия сохраняется.

Источник: http://LightCone.ru/hamiltonian/

Booksm
Добавить комментарий