Энергия магнитного поля в веществе

Энергия магнитного поля в веществе

Энергия магнитного поля в веществе

Допустим, что в пространстве магнитное поле создано фиксированным распределением токов. Индукция магнитного поля при этом равна: $\overrightarrow{B_0}\left(x,y,z\right)={\mu }_0\overrightarrow{H_0}\left(x,y,z\right).$ При этом энергия магнитного поля равна:

Заполним все пространство однородным магнетиком, магнитная проницаемость которого равна $\mu =const.$ При этом будем считать, что поле создано тем же распределением токов. В таком случае напряженность магнитного поля не изменится ($\overrightarrow{H}$=$\overrightarrow{H_0}$), индукция магнитного поля будет равна:

В таком случае из уравнения (1) и (2) следует, что энергия магнитного поля при наличии магнетика равна:

Из выражения (3) следует, что при заполнении пространства магнетиком энергия магнитного поля увеличилась.

Это легко объяснить, так как источник такой энергии сторонние движущие силы, которые поддерживают постоянными токи при заполнении магнетиком пространства.

Так как после того как пространство заполнено магнетиком все источники дополнительного поля такие же как и до заполнения пространства, то можно положить, что энергия магнетика (${W_m}v$) во внешнем поле с напряжённостью $\overrightarrow{H_0\ }\ $равна:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Мы знаем, что вектор намагниченности можно связать с вектором напряженности выражением:

где $\varkappa $ — магнитная восприимчивость, которая для изотропных магнетиков связана с магнитной проницаемостью соотношением:

Преобразуем подынтегральное выражение в (4) и используем формулы (5) и (6), получим:

Из формул (4) и (7) получаем, что энергия магнетика равна:

Формула (9) по своей структуре аналогична формуле для энергии диэлектрика во внешнем электрическом поле (отличен знак в правой части выражения). Формула (9) получена для магнетика с постоянной магнитной проницаемостью, однако она справедлива и для произвольного случая.

Энергия магнетика при изменении магнитной проницаемости среды

Допустим, что магнетик с магнитной проницаемостью ${\mu }_1$ находится в среде с магнитной проницаемостью ${\mu }_2$. Тогда в соответствии с формулой (8) запишем, что:

где $\overrightarrow{H_2}-$ напряженность поля в точках магнетика с магнитной проницаемостью ${\mu }_2\ (как\ если\ бы\ другого\ магнетика\ не\ было)$, $\overrightarrow{H_1}$ — фактическая напряженность поля в магнетике с проницаемостью ${\mu }_1$, который находится в среде с магнитной проницаемостью ${\mu }_2.$

Если магнитная проницаемость среды изменяется на бесконечно малую величину $\delta \mu ={\mu }_1-{\mu }_2$, то энергия магнетика во внешнем магнитном поле напряженностью $\overrightarrow{H}\ $изменяется на ${{\delta W}_m}v$.

Подставим в (9) ${\overrightarrow{H}}_2=\overrightarrow{H},$ ${\overrightarrow{H}}_1=\overrightarrow{H}+\delta \overrightarrow{H}$, если откинуть величину $\delta \mu \delta \overrightarrow{H\cdot }\overrightarrow{H}$ как величину второго порядка малости, получим:

где $\mu \ $в общем случае может быть функцией различных параметров.

Пример 1

Задание: Плотность энергии магнитного поля соленоида с током без сердечника равна $0,1 \frac{Дж}{м3}$. Во сколько увеличится плотность энергии поля, если в соленоид вставить железный сердечник не изменяя силы тока?

Решение:

При расчете магнитного поля соленоида без сердечника учтем, что магнитная проницаемость среды равна $\mu =1.$ Для расчета напряженности магнитного поля соленоида примем формулу:

\[w=\frac{\mu {\mu }_0H2}{2}\left(1.1\right).\]

Выразим из (1.1) напряженность, получим:

\[H=\sqrt{\frac{2w}{\mu {\mu }_0}}\left(1.2\right).\]

Напряженность магнитного поля не изменится, если в соленоид вставить сердечник. Для того чтобы найти индукцию магнитного поля для соленоида с железным сердечником вычислим напряжённость:

\[H=\sqrt{\frac{2\cdot 0,1}{4\pi \cdot {10}{-7}}}=0,4\cdot {10}3\left(\frac{A}{м}\right).\]

Для того чтобы по напряженности магнитного поля найти магнитную индукцию, в железном сердечнике используют справочные материалы (в виде таблиц или графиков). Так, напряженности магнитного поля $H=400 \frac{A}{м}$ соответствует магнитная индукция $B\approx 1Тл.$

Найдем плотность магнитной энергии поля соленоида с сердечником, он равна:

\[w'=\frac{BH}{2}\left(1.3\right).\]

Вычислим $w'$, получим:

\[w'=\frac{1\cdot 400}{2}=200\ \left(\frac{Дж}{м3}\right).\]

Найдем искомое отношение плотностей энергий:

\[\frac{w'}{w}=\frac{200}{0,1}=2000.\]

Ответ: Плотность энергии увеличится в $2000$ раз.

Пример 2

Задание: Найдите энергию магнитного поля в зазоре железной рамки квадратного сечения ($W_{m1}$), полную энергию магнитного поля ($W_m$), если на рамке имеется обмотка из $N$ витков, по которой течет ток $I$.

Площадь поперечного сечения рамки $S$, длина средней линии рамки равна $d$. В рамке имеется прорезь шириной $a$. Считать, что рассеяния поля на краях прорези нет. Магнитная проницаемость рамки при заданных условиях равна $\mu $.

Решение:

Найдем напряженность магнитного поля в рамке и ее зазоре, используя теорему о циркуляции:

\[\oint\limits_L{\overrightarrow{H}d\overrightarrow{l}=\sum\limitsN_{k=1}{I_k\left(2.1\right).}}\]

Для условий нашей задачи выражение (2.1) будет иметь вид:

\[H\left(d-a\right)+Ha=IN\to H=\frac{IN}{d}\ \left(2.2\right).\]

В зазоре магнитная индукция равна:

\[\overrightarrow{B}={\mu }_0\overrightarrow{H}\left(2.3\right).\]

Подставим (2.3), выразим индукцию магнитного поля в зазоре:

\[H\left(d-a\right)+\frac{B}{{\mu }_0}a=IN\to B=\frac{{\mu }_0IN}{a}-\frac{{\mu }_0\left(d-a\right)H}{a}\left(2.4\right).\]

Найдем энергию магнитного поля в зазоре ($W_{m1}$):

\[W_{m1}=\frac{BH}{2}S\cdot a=\frac{1}{2}\left(\frac{{\mu }_0IN}{a}-\frac{{\mu }_0\left(d-a\right)\frac{IN}{d}}{a}\right)\frac{IN}{d}\cdot S\cdot a=\frac{1}{2}\frac{{\mu }_0a{(IN)}2S}{d}(2.5).\]

Магнитная энергия в сердечнике может быть выражена как:

\[W_{m2}=\frac{\mu {\mu }_0H2}{2}S\left(d-a\right)=\frac{\mu {\mu }_0S}{2}{\left(\frac{IN}{d}\right)}2\left(d-a\right)\left(2.6\right).\]

Полную энергию поля ($W_m$) найдем как:

\[W_m=W_{m1}+W_{m2}=\frac{1}{2}\frac{{\mu }_0{a(IN)}2S}{d}+\frac{\mu {\mu }_0S}{2}{\left(\frac{IN}{d}\right)}2\left(d-a\right)=\frac{1}{2}{\mu }_0S\frac{{\left(IN\right)}2}{d}\left(a+\frac{\mu }{d}\left(d-a\right)\right).\]

Ответ: $W_{m1}=\frac{1}{2}\frac{\mu_0a{(IN)}2S}{d},\ W_m=\frac{1}{2}\mu_0S\frac{{\left(IN\right)}2}{d}\left(a+\frac{\mu}{d}\left(d-a\right)\right).$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/elektromagnitnaya_indukciya/energiya_magnitnogo_polya_v_veschestve/

Магнитное поле в веществе. Магнитный гистерезис. Электромагнитная индукция. Энергия магнитного поля. Основы теории электромагнитного поля

Энергия магнитного поля в веществе

Магнитное поле в веществе

Для качественного объяснения магнитных явлений с достаточным приближением можно считать, что электрон движется в атоме по круговым орбитам. Электрон, движущийся по одной из таких орбит, эквивалентен круговому току, поэтому он обладает орбитальным магнитным моментом , модуль которого

, (29)

где – сила тока, n — частота вращения электрона по орбите, S – площадь орбиты.

Магнитным моментом атома называется вектор, равный геометрической сумме орбитальных моментов всех электронов атома:

, (30)

где Z – число электронов в атоме, равное порядковому номеру элемента в системе Менделеева.

Количественной характеристикой намагниченного состояния вещества служит векторная величина – намагниченность J, равная отношению магнитного момента макроскопически малого объема вещества к этому объему:

, (31)

где Pmi – магнитный момент i-го атома (молекулы) из общего числа n атомов (молекул), содержащихся в объеме DV.

Магнитное поле в веществе складывается из двух полей: внешнего поля В0 и поля, создаваемого намагниченным веществом B’ , т.е.

, где .

Поле в веществе же определится , т.е. .

Как показывает опыт, в несильных полях намагниченность прямо пропорциональна напряженности поля, вызывающего намагничение, т.е. , где c – безразмерная величина, называемая магнитной восприимчивостью вещества. Тогда можно написать выражение (1) в виде:

, (32)

где безразмерная величина представляет собой магнитную проницаемость вещества.

Все вещества при рассмотрении их магнитных свойств принято называть магнетиками. По своим магнитным свойствам магнетики подразделяются на три основные группы: диа-, пара- и ферромагнетики.

1) Диамагнетиками называются вещества, которые намагничиваются во внешнем магнитном поле в направлении, противоположном направлению вектора магнитной индукции поля. К ним относятся инертные газы, висмут, цинк, медь, золото, кремний, большинство органических соединений.

2) Парамагнетики – вещества, намагничивающиеся во внешнем магнитном поле по направлению поля. К ним относятся многие щелочные и переходные металлы, их сплавы и оксиды. Абсолютное значение магнитной восприимчивости для диа- и парамагнетиков очень мало (порядка 10-4 – 10-6), поэтому для них m незначительно отличается от единицы. Но для диамагнетиков c1.

3) Ферромагнетиками называются твердые вещества, обладающие при не слишком высоких температурах самопроизвольной (спонтанной) намагниченностью, которая сильно изменяется под влиянием внешних воздействий – магнитного поля, деформации, изменения температуры. К ним относят железо, кобальт, никель, ряд сплавов, ферриты.

Магнитный гистерезис

Рис. 13

У ферромагнетиков наблюдается явление магнитного гистерезиса – нелинейная зависимость намагниченности образца от напряженности внешнего магнитного поля. Иллюстрирующий его график приведен на рис. 13. Здесь участок 0-1 является начальной кривой намагничивания – зависимости изменения намагниченности полностью размагниченного образца от напряженности внешнего поля.

Точка 1 называется магнитным насыщением, после которого при дальнейшем увеличении внешнего поля намагниченность образца не изменяется. Если после достижения точки 1 внешнее поле начинает постепенно уменьшаться до нуля, то в ферромагнетике наблюдается остаточная намагниченность (точка 2).

Чтобы полностью размагнитить образец необходимо подвести поле, имеющее направление, противоположное полю, вызвавшему намагничение. Напряженность НС называется коэрцитивной силой (точка 3). При дальнейшем увеличении противоположного поля ферромагнетик перемагничивается (кривая 3-4), достигает насыщения (точка 4).

Затем ферромагнетик можно опять размагнитить (кривая 4-5-6) и вновь перемагнитить до насыщения (кривая 6-1). Полученная кривая 1-2-3-4-5-6 называется петлей гистерезиса.

Для каждого ферромагнетика имеется определенная температура, называемая точкой Кюри, при которой он теряет свои магнитные свойства. При этом у него изменяются и некоторые другие физические свойства – теплоемкость, электропроводность и т.д. Выше точки Кюри ферромагнетик ведет себя во внешнем магнитном поле как парамагнитное вещество.

Согласно классической теории ферромагнетизма, весь объем ферромагнитного образца при температуре ниже точки Кюри разбит на небольшие области – домены, которые самопроизвольно (спонтанно) намагничены до насыщения. Линейные размеры доменов порядка 10-3-10-2 см.

в размагниченном образце в отсутствие внешнего магнитного поля магнитные моменты доменов ориентированы так, что результирующая намагниченность образца в целом равна нулю.

Намагничивание такого образца в магнитном поле, напряженность которого медленно и монотонно увеличивается, происходит за счет двух процессов: смещения границ доменов и вращения магнитных моментов доменов.

Процесс смещения границ между доменами приводит к росту размеров тех доменов, которые самопроизвольно намагничены в направлениях, близких к направлению вектора Н. Процесс вращения магнитных моментов доменов по направлению Н играет основную роль только в области, близкой к насыщению.

Ферромагнетики с малой (0,001 – 1 А/см) коэрцитивной силой (с узкой петлей гистерезиса) называются магнито-мягкими, а с большой (10 – 10000 А/см) коэрцитивной силой (с широкой петлей гистерезиса) – магнито-твердыми материалами. Магнито-мягкие используют обычно для изготовления сердечников трансформаторов, а магнито-твердые – для создания постоянных магнитов.

Существует два магнитомеханических эффекта:

1) явление магнитострикции, состоящее в изменении формы и размеров ферромагнитного образца при его намагничивании;

2) эффект Виллари, состоящий в изменении намагниченности ферромагнитного образца при его механической деформации.

Эти явления применяются в магнитострикционных датчиках и реле. Механические колебания, возникающие в ферромагнетиках при их намагничивании в периодически изменяющемся магнитном поле, используются в магнитострикционных излучателях ультразвука.

В последнее время большое значение приобрели полупроводниковые ферромагнетики – ферриты, химические соединения типа МеО×Fe2O3, где Ме – ион двухвалентного металла (Mn, Co, Ni, Cu, Mg, Zn, Cd, Fe).

Они отличаются заметными ферромагнитными свойствами и большим удельным электрическим сопротивлением.

Ферриты применяются для изготовления постоянных магнитов, ферритовых антенн, сердечников радиочастотных контуров, элементов оперативной памяти, для покрытия пленок в магнитофонах и т.д.

Электромагнитная индукция.

Явление электромагнитной индукции заключается в том, что в замкнутом проводящем контуре при изменении потока магнитной индукции, охватываемого этим контуром, возникает электрический ток, получивший название индукционного. Рассмотрим классические опыты Фарадея, с помощью которых было обнаружено явление электромагнитной индукции.

Опыт 1.

Если в замкнутый на гальванометр соленоид вдвигать и выдвигать постоянный магнит, то в моменты его вдвигания или выдвигания наблюдается отклонение стрелки гальванометра (возникает индукционный ток); направления отклонения стрелки при вдвигании и выдвигании магнита противоположны. Отклонение стрелки гальванометра тем больше, чем больше скорость движения магнита относительно катушки.

Опыт 2. Концы одной из катушек, вставленных одна в другую, присоединяются к гальванометру, а через другую катушку пропускается ток.

Отклонение стрелки гальванометра наблюдается в моменты включения и выключения тока, в моменты его увеличения или уменьшения или при перемещении катушек друг относительно друга.

Направления отклонений стрелки гальванометра также противоположны при включении или выключении тока, его увеличении или уменьшении, сближении или удалении катушек.

Фарадей показал, что всякий раз, когда происходит изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции, в контуре возникает индукционный ток; его возникновение указывает на наличие в цепи электродвижущей силы, называемой электродвижущей силой электромагнитной индукции. Закон электромагнитной индукции Фарадея гласит: какова бы ни была причина изменения потока магнитной индукции, охватываемого замкнутым проводящим контуром, возникающая в контуре ЭДС

. (33)

Здесь знак минус определяется правилом Ленца: индукционный ток в контуре имеет всегда такое направление, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызвавшему индукционный ток.

Какова природа электромагнитной индукции? Если проводник (подвижная перемычка на рис. 7) движется в постоянном магнитном поле, то сила Лоренца, действующая на заряды внутри проводника, движущиеся вместе с проводником, будет направлена противоположно току, т.е. она будет создавать в проводнике индукционный ток противоположного направления.

Индукционный ток возникает не только в линейных проводниках, но и в массивных сплошных проводниках, помещенных в переменное магнитное поле. Эти токи оказываются замкнутыми в толще проводника и поэтому называются вихревыми или токами Фуко.

Вихревые токи вызывают нагревание проводников, поэтому для уменьшения потерь якоря генераторов и сердечники трансформаторов делают не сплошными, а изготовляют из тонких пластин, отделенных одна от другой слоями изолятора, и устанавливают их так, чтобы токи Фуко были направлены поперек пластин.

11. Самоиндукция, взаимная индукция, индуктивность, трансформаторы

Электрический ток, текущий в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное поле, индукция которого пропорциональна току. Сцепленный с контуром магнитный поток Ф поэтому пропорционален току I в контуре:

, (34)

где коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура. Единица индуктивности в СИ – генри (Гн).

При изменении силы тока в контуре будет изменяться также и сцепленный с ним магнитный поток; следовательно в контуре будет индуцироваться ЭДС. Возникновение ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении в нем силы тока называется самоиндукцией. Применяя к явлению самоиндукции закон Фарадея, получим

.

Если контур не деформируется и магнитная проницаемость среды не изменяется, то L=const и

, (35)

где знак минус, обусловленный правилом Ленца, показывает, что наличие индуктивности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем.

Явление возникновения ЭДС в одном из близкорасположенных контуров при изменении силы тока в другом называется взаимной индукцией. Если в контуре 1 изменяется ток I1, то в контуре 2 индуцируется ЭДС xi2, которая по закону Фарадея равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока Ф21, созданного током в первом контуре и пронизывающего второй:

.

Аналогично, если в контуре 2 изменяется ток I2, то в контуре 1 индуцируется ЭДС xi1, которая по закону Фарадея равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока Ф12, созданного током во втором контуре и пронизывающего первый:

.

Коэффициенты пропорциональности L12 и L21 называются взаимной индуктивностью контуров. Расчеты, подтверждаемые опытом, показывают, что L12=L21.

Индуктивность соленоида определяется по формуле:

, (36)

где N – число витков соленоида, l – его длина, S – площадь сечения, m – магнитная проницаемость вещества, из которого сделан сердечник соленоида. Можно показать, что индуктивность контура в общем случае зависит только от геометрической формы контура, его размеров и магнитной проницаемости той среды, в которой он находится.

Рис. 14

Полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида, называется потокосцеплением

. (37)

Принцип действия трансформаторов, применяемых для повышения или понижения напряжения переменного тока, основан на явлении взаимной индукции. Принципиальная схема трансформатора приведена на рис. 14.

Первичная и вторичная катушки (обмотки), имеющие соответственно N1 и N2 витков, укреплены на замкнутом железном сердечнике.

При пропускании через первичную катушку переменного тока во вторичной обмотке возникает ЭДС

, (38)

где знак минус показывает, что ЭДС в первичной и вторичной обмотках противоположны по фазе. Отношение числа витков N1/N2 называется коэффициентом трансформации.

Пренебрегая потерями энергии, можно показать, что токи в обмотках обратно пропорциональны числу витков в этих обмотках.

Если N1/N2>1, то имеем дело с повышающим трансформатором, а если N1/N2

Источник: https://helpiks.org/6-18465.html

Энергия магнитного поля — Лекции по физике

Энергия магнитного поля в веществе

Мы уже задавались подобным вопросом для электрического поля и обнаружили, что дарового электрического поля создать нельзя, для этого требуются энергетические, а, следовательно, и финансовые затраты. С магнитным полем точно также: создать даром магнитное поле нельзя. Для того, чтобы создать магнитное поле, необходимо совершить определённую работу, мы сейчас её вычислим.

При нарастании тока в цепи возникает э.д.с., равная . Эта э.д.с. направлена «против шерсти» (против тока). Для поддержания этого тока требуется мощность . Значит, работа, которую надо совершить за время dt равна: .

Мораль: для того, чтобы сила тока увеличилась на dÁ, надо совершить работу dA такую (она определяется уже наличным током к моменту времени t). Полная работа это будет интеграл: .

Для того, чтобы создать силу тока Á, необходима работа , где L – коэффициент самоиндукции.

А теперь спрашивается, куда эта работа девается? Ответ: запасается в виде энергии магнитного поля. Наглядно: имеем генератор с ручкой, мы крутим эту ручку. Работа, которую мы совершаем, крутя эту ручку, переходит в энергию магнитного поля и размазывается по всему пространству.

Пусти магнитное поле локализовано в длинном соленоиде, тогда работа равняется: , но , а , и мы получаем: . Эта работа равняется энергии магнитного поля: , величина  имеет смысл плотности энергии. В элементе объёма содержится энергия , а в объёме V — .

Магнитное поле обладает энергией, и плотность энергии , можно ли её высвободить? Да, конечно, если магнитное поле исчезает, то эта энергия выделяется в той или иной форме.

Создание тока в цепи с индуктивностью

Это создание тока в любой цепи, потому что любая цепь обладает индуктивностью.

Имеем такую систему: батарейка, ключ, R – сопротивление цепи, L – индуктивность цепи (не обязательно, чтобы была катушка, потому что, повторяю, любая цепь обладает индуктивностью, но мы нарисуем её). У нас есть правило для замкнутого контура: .

В данном случае, если ток в цепи меняется, то у нас присутствует э.д.с. батарейки, сосредоточенные там сторонние силы, а кроме того, за счёт самоиндукции развивается э.д.с. Пишем:  ( — это э.д.с. самоиндукции), мы получаем такое уравнение: , или , или .

Такое дифференциальное уравнение, линейное, первой степени, неоднородное, решается: . Определим А из начальных условий: , это означает, что . Мы тогда получаем окончательно: . При  получаем  – разумное решение, а начальная стадия – экспоненциальное нарастание:

Почему, спрашивается, когда вы включаете свет, то он вспыхивает мгновенно? Ответ такой: просто мала индуктивность.

Если, например, последовательно с лампочкой поставить хорошую катушку и пустить переменный ток, то лампа вообще гореть не будет, если же подсоединить к аккумулятору, то лампочка будет медленно загораться, а зато, когда вы её выключать будете, там тоже интересная вещь произойдёт: выключение магнитного поля – это выделение энергии, гром, молния и т.д.

11

Мы закончили обсуждение квазистационарных процессов. Теперь движемся дальше, и последняя тема у нас в электричестве – нестационарные поля.

Нестационарные поля

Ток смещения

Нестационарные поля описываются полным набором уравнений Максвелла без всяких изъятий:

То, что мы до сих пор рассматривали, это четыре уравнения. Но в четвёртом было изъято слагаемое . Начнём выяснение роли этого слагаемого.

Кстати, весь набор называется «уравнения Максвелла», почему? Первое уравнение – это фактически закон Кулона; второе – закон электромагнитной индукции, который открыл Фарадей; третье – выражает тот факт, что линии магнитной индукции замкнуты, тут трудно даже указать авторство; вот, если выкинуть это слагаемое , то четвёртое уравнение  – это закон Био-Савара. Что сделал Максвелл? Одну вещь: он добавил в одно уравнение это слагаемое, и весь набор получил название «уравнения Максвелла».

А теперь, вот, я не могу сказать, так ли Максвелл рассуждал, но можно привести пример, на котором это уравнение сломалось бы. Вот такой пример. Рассмотрим сферически симметричное распределение заряда, и пусть заряд растекается таким образом: скажем, имеем заряженный шар и заряд растекается из этого шара по радиальным лучам.

1) А теперь спрашивается: какое магнитное поле создаёт вот такой сферически симметричный ток? Ну, поскольку у нас источник сферически симметричный, то магнитное поле должно также быть сферически симметричным.

Что это означает? Картина поля должна быть такая, что, если это поле повернуть вокруг любой оси, проходящей через центр симметрии, оно должно переходить в себя. Прекрасно. Но из уравнения 3.

следует, что силовые линии магнитного поля замкнуты, мы это уже обсуждали, и создать конфигурацию таких замкнутых линий, чтобы она обладала сферической симметрией, нельзя.

Осевую симметрию можно, то есть, чтобы поле переходило в себя при поворотах вокруг некоторой оси, а чтобы оно переходило в себя при поворотах вокруг любой оси… Если напрячь воображение, ясно, что из замкнутых линий сферически симметричного магнитного поля создать нельзя. Из уравнения 3. следует, что для вот такого сферически симметричного тока , то есть магнитное поле не создаётся, то есть магнитное поле не создаётся.

Возьмём такой контур , контур, площадь которого перпендикулярна линиям тока. Применим вот к этому контуру уравнение 4*. – циркуляция по этому контуру не равна нулю. Почему? Потому что уравнение говорит, что циркуляция равна плотности тока, умноженной на эту площадку.

Через эту площадку ток течёт, а, раз ток течёт, то циркуляция по этому контуру равна силе тока через эту площадку, во всяком случае, не ноль. Значит, получается, из третьего уравнения следует, что , а из уравнения 4*. следует, что . Оказалось, что два уравнения конкурируют применительно к этой ситуации.

Какой вывод, и что, вообще говоря, верно, создаёт такая конфигурация магнитное поле или не создаёт? Соображения симметрии – это более мощные соображения, значит, верно, что , то есть выигрывает третье уравнение. Это означает, что четвёртое уравнение со звёздочкой не верно.

Но, если добавить это слагаемое , тогда нет противоречий между этими двумя уравнениями.

Ещё одно соображение, повторяю, я не знаю, Максвеллу приходило это в голову или нет, но могло приходить в голову и, наверно, приходило. Для электромагнитного поля в пустоте уравнение 2. даёт:  . Вот, когда пишется частная производная, имеется в виду, что контур фиксирован в пространстве, контур не движется.

Смысл его такой, что, если меняется со временем (не то, что контур переехал куда-нибудь), то возникает электрическое поле. Уравнение 4*. даёт для пустого пространства , потому что  в пустоте нет. Нарушается симметрия, то есть, вообще говоря, здесь было бы неплохо, если бы циркуляция  по равнялась бы потоку от производной .

Какая физика стоит за этим уравнением? Переменное магнитное поле создаёт электрическое поле, а переменное электрическое поле – ничего не создаёт. Вот, соображения симметрии в нынешней физике очень популярны, ну, потому что это ключ ко многим проблемам, нарушение симметрии раздражает и нуждается в объяснении. На самом деле, если мы возьмём полное уравнение 4.

, то настоящее уравнение в пустоте даст следующее: . Уравнение 2. Фарадей открыл экспериментально, а это – симметричное явление электромагнитной индукции – это Максвелл высосал из пальца.

Никаких экспериментальных данных для этого не было, потому что, на самом деле, этот эффект очень трудно наблюдаем (константа очень мала), и практически создать переменное электрическое поле и обнаружить возникновение магнитного поля в те времена было невозможно.

Можно было сыграть на очень больших производных, короче говоря, просто двигая электрическим зарядом, заметное магнитное поле не создастся, скажем, если вы этот заряд дёргаете с частотой миллион колебаний в секунду, можно мыло бы заметить магнитное поле. Если двигать заряд, согласно уравнению 4.

, создастся магнитное поле, но настолько маленькое при умеренных частотах, что практически его обнаружить нельзя. Максвелл написал его по аналогии, следствием оказалось существование электромагнитных волн, о которых до Максвелла никто и не помышлял. И когда примерно через двадцать лет электромагнитные волны были обнаружены, вот тогда эта Максвелловская теория и вот это уравнение 4. были признаны, наконец, и все эти построения из гипотезы превратились в теорию.

Величина  (это величина, по размерности равная плотности тока) называется током смещения. Название принадлежит Максвеллу, название осталось, а аргументация пропала: ничего там не смещается, и название «ток смещения» не должно вызывать в вас никаких ассоциаций с тем, что там что-то смещается, это термин, который остался по историческим причинам.

Мораль такая: переменное электрическое поле само по себе создаёт магнитное поле. И всё замыкается! Переменное магнитное поле является источником электрического, переменное электрическое поле является источником магнитного, и уравнения в вакууме приобретают симметричный вид (отличие только в знаке перед производной, но это не столь страшное нарушение симметрии).

Введение этого тока смещения в первом примере спасает дело: на этой картине  и . Короче говоря, циркуляция  по любому контуру – ноль. Таким образом, четвёртое уравнение для этого сферически симметрично растекающегося тока даёт, что магнитное поле равно нулю. Эта Максвелловская поправка навела порядок, и  теория стала непротиворечивой.

Закон сохранения энергии для электромагнитного поля

Я напишу уравнения Максвелла в дифференциальной форме:

Теперь делаем следующее: уравнение 2) я скалярно умножу на , уравнение 4) я скалярно умножу на :

Теперь из второго уравнения вычтем первое:

Для однородного диэлектрика . Это были наводящие соображения, на самом деле, в общем случае , точно также . Тогда уравнение приобретает такой вид:  или

.

Есть теорема Гаусса, которая сводит интеграл по объёму от дивергенции к поверхностному интегралу1). Имеет место тождество , буква у меня S у меня уже занята, поэтому я пишу σ. Тогда выбираем в пространстве некоторый объём V, σ – ограничивающая его поверхность, и мы получаем такую вещь: . В пустоте тока нет, и мы получаем уравнение             (9.1).

Напомню закон сохранения заряда: . Смысл какой? Если заряд убывает, то за счёт того, что он вытекает через поверхность, ограничивающую объём.

Теперь смотрим на формулу (9.1): скорость изменения w в объёме выражается через изменение вектора  через эту поверхность.

Структура одинаковая, вопрос, что такое w и что такое ? Что такое w, мы уже знаем:  это плотность энергии электромагнитного поля, плотность энергии электромагнитного поля в единице объёма. Тогда интеграл – это полная энергия электромагнитного поля в объёме.

 это энергия, протекающая через единицу площади за единицу времени, а  это плотность потока энергии (вектор Пойнтинга), по размерности =Вт, а =.

 — это работа электромагнитного поля в единице объёма. Эта работа может проявляться в виде тепла или в виде работы, если там стоит мотор, например.

А теперь применение этой теоремы. Такая цепь (см. рис.9.2.), кружочком обозначен мотор. Ключ замыкается, мотор вертится, и я желаю применить эту теорему. Возьму замкнутую поверхность σ, тогда мы получим . Интеграл – это мощность электродвигателя или работа в единицу времени, .

Мотор совершает работу за счёт энергии, которая втекает в объём. Это я к чему говорю? Мотор совершает работу за счёт того, что через замкнутую поверхность, которой его можно охватить, из вакуума течёт энергия поля, которая представляется вектором Пойнтинга. Это означает, что для того, чтобы электромотор работал.

В окрестности должны присутствовать два поля, так как .

Энергия передаётся через пустое пространство и втекает внутрь этого объёма.

Спрашивается тогда, чего же электрика валяют дурака и тянут провода от источника к потребителю? Ответ очевиден: провода нужны для того, чтобы создать такие поля  и  соответствующей конфигурации.

Тогда вопрос другой, а нельзя ли создать такие поля, чтобы энергия передавалась через пустоту без проводников? Можно, но это в следующий раз. Так, всё, конец.

12

В прошлый раз мы рассмотрели вектор Пойтинга. Напомню, энергия электромагнитного поля передаётся через пустое пространство, не по проводам.

В общем виде ситуация тут такая: имеется некоторая область, в эту область загоняется какая-то энергия (скажем, из этой области торчит вал с ручкой и тут человек этот вал крутит) и дальше эта энергия через пустое пространство втекает в другую область, там, например, находится некоторое устройство, которое перерабатывает втекающую сюда энергию и на выходе выдаёт снова какую-то работу (скажем, здесь стоит генератор или электромотор).

Электромагнитные волны

Я уже говорил, что Максвелл усовершенствовал уравнения (добавил туда ток смещения), и получилась, наконец, замкнутая теория, и венцом постижения этой теории было предсказание существования электромагнитных волн.

Надо понимать, что никто этих волн до Максвелла не видел, никто даже не подозревал, что такие вещи могут быть.

Но, как только были получены эти уравнения, из них математически следовало, что должны существовать электромагнитные волны, и лет через двадцать после того, как это предсказание было сделано, они стали наблюдаемы, и тогда был триумф теории.

Уравнения Максвелла допускает существование вещи, которая называется электромагнитной волной. Но в природе оказывается так – то, что возможно в рамках правильной теории, то и на самом деле существует.

Сейчас мы должны будем усмотреть вслед за Максвеллом, что должны быть эти волны, то есть совершить такое математическое открытие, чтобы, глядя на уравнения Максвелла, сказать: «А, ну, конечно, должны быть волны».

Источник: https://students-library.com/library/read/94709-energia-magnitnogo-pola

Магнитное поле в веществе. Магнитная энергия. Ток смещения

Энергия магнитного поля в веществе

ЗАДАЧИ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 2

Электромагнитная индукция. Самоиндукция. Индуктивность.

Магнитное поле в веществе. Магнитная энергия. Ток смещения

    Закон Фарадея:

    Индуктивность:

    Эдс самоиндукции:

    Вектор намагничения:

    Связь вектора намагничения с вектором напряженности магнитного поля:

    Связь вектора магнитной индукции с вектором намагничения и с вектором напряженности:

    Магнитная проницаемость:

для парамагнетиков:

для диамагнетиков:

для ферромагнетиков:

    Связь вектора магнитной индукции с вектором напряженности:

    Индуктивность соленоида бесконечной длины:

    Энергия проводника с током:

    Взаимная энергия двух токов:

    Объемная плотность энергии магнитного поля:

    Плотность тока смещения:

    Уравнение Максвелла:

    Вектор Пойнтинга:

    162. Горизонтально расположенный металлический стержень диной 0,5 м вращается с угловой скоростью 20 рад/с в однородном магнитном поле с индукцией 0,05 Тл вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец и параллельной линиям индукции. Найдите разность потенциалов, возникающую на концах стержня.

    Решение.

    При вращении стержня каждый электрон в нем движется по окружности в магнитном поле со скоростью

На каждый электрон подействует сила Лоренца, направленная к центру. На концах стержня появится разность потенциалов, которую можно найти так, как это было сделано при решении задачи 141. Попробуйте для тренировки!

    Мы решим эту задачу иначе. За один период вращения стержня он выстилает круг с радиусом, равным длине стержня. При этом изменяется магнитный поток через площадь этого круга от 0 до максимума. Воспользуемся формулой закона Фарадея, вполне обоснованно принимая модуль эдс индукции за искомую разность потенциалов.

    164. В магнитном поле находится катушка с сопротивлением 0,5 Ом, концы которой замкнуты проводом. Найдите заряд, который пройдет по катушке, если магнитный поток через катушку измениться на 20 мкВб.

    Решение.

    При изменении магнитного потока через катушку в ней возникнет эдс индукции, а значит, через катушку пройдет ток, то есть будет перенесен заряд

    178. Тонкое кольцо радиусом 10 см, равномерно заряженное зарядом 1 мкКл, вращается вокруг своей оси с частотой 100 1/с. Найдите объемную плотность энергии магнитного поля в центре кольца.

    Решение.

    Движущийся по окружности заряд образует круговой ток с силой

Магнитная индукция в центре кругового тока

    Объемная плотность энергии магнитного поля в центре кольца

    181. Проводник из проволоки в форме квадрата со стороной 10 см помещен в однородное магнитное полет так, что линии поля перпендикулярны его плоскости.

Величина магнитной индукции поля изменяется со временем по закону , где  Тл/с2.

Найдите, сколько тепла выделится в проводнике за 30 с, если удельное сопротивление материала проводника  Ом·м, а площадь поперечного сечения проволоки 1 мм2.

    Решение.

    За время  в проводнике выделится тепло, равное

    Сопротивление проволоки:

Согласно закону Фарадея

Подставим в первую формулу:

откуда

    182. Одну из пластин плоского воздушного конденсатора начинают от другой по нормали к ним со скоростью 10 см/с. Начальное расстояние между пластинами  = 10 см. Конденсатор находится по постоянным напряжением 1 кВ. Найдите, через какое время после начала движения плотность тока смещения в конденсаторе станет равной 2,21· А/м2.

    Решение.

    С ростом расстояния между пластинами при постоянном напряжении возрастает напряженность поля внутри конденсатора:

    Плотность тока смещения в конденсаторе:

Из полученной формулы имеем

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/20_60814_magnitnoe-pole-v-veshchestve-magnitnaya-energiya-tok-smeshcheniya.html

Как изменяется энергия магнетика при изменении магнитной проницаемости среды

Возьмем среду с магнитной проницаемостью μ2, в которой находится магнетик с проницаемостью μ1. Тогда в соответствии с выведенной ранее формулой запишем, что:

Здесь H2→ — это напряженность поля в точках магнетика с проницаемостью μ2 (предположим, что другого магнетика у нас нет), H1→ – фактическая напряженность поля в магнетике с проницаемостью
μ1.

Если магнитная проницаемость среды изменяется на бесконечно малую величину δμ=μ1-μ2, то энергия магнетика во внешнем магнитном поле напряженностью H→ изменяется на δWmυ.

Подставим в формулу H2→=H→, H1→=H→+δH→, откинем величину δμδH→·H→ и получим:

Решение задач на нахождение энергии магнитного поля

Пример 1

Условие: у нас есть соленоид с током без сердечника. Плотность энергии создаваемого им магнитного поля равна 0,1 Джм3. Найдите увеличение плотности энергии при включении в соленоид железного сердечника. Сила тока при этом останется прежней.

Решение

Сразу отметим, что магнитная проницаемость среды для соленоида без сердечника будет равна единице. Чтобы найти напряженность магнитного поля соленоида, используем следующую формулу:

w=μμ0H22.

Выразим напряженность из формулы и получим:

H=2wμμ0.

При включении в соленоид сердечника напряженность поля останется прежней, а для вычисления индукции возьмем эту формулу:

H=2·0,14π·10-7=0,4·103.

Для нахождения индукции по напряженности магнитного поля в железном сердечнике нам нужно будет заглянуть в справочник. Он может быть представлен как в табличной, так и графической форме. Найдем там нужную величину, равную B≈1 Тл. Теперь перейдем к вычислению плотности магнитной энергии поля соленоида с железным сердечником:

w'=BH2.

Теперь вычисляем значение w':

w'=1·4002=200.

После чего найдем искомое соотношение плотностей:

w'w=2000,1=2000.

Ответ: при включении железного сердечника плотность энергии возрастет в 2 тысячи раз.

Пример 2

Условие: у нас есть квадратная железная рамка с обмоткой из n-ного количества витков, по которой течет ток с силой I. В ней есть прорезь шириной a.

Вычислите величину энергии магнитного поля в зазоре рамки, если длина ее средней линии равна d, а площадь поперечного сечения – S.

Магнитную проницаемость рамки взять равной μ, рассеяние поля в краях прорези не учитывать.

Решение

Начнем с вычисления напряженности магнитного поля в самой рамке и ее зазоре. Для этого нам понадобится теорема о циркуляции:

∮LH→dl→=∑k=1NIk.

Согласно условиям нашей задачи, основная формула будет иметь следующий вид:

H(d-a)+Ha=IN→H=INd.

Теперь найдем величину магнитной индукции в зазоре:

B→=μ0H→.

Подставим нужные значения и вычислим:

H(d-a)+Bμ0a=IN→B=μ0INa-μ0(d-a)Ha.

Энергия магнитного поля в зазоре будет равна:

Wm1=BH2S·a=12μ0INa-μ0(d-a)INdaINd·S·a=12μ0a(IN)2Sd.

Теперь вычислим магнитную энергию в сердечнике:

Wm2=μμ0H22S(d-a)=μμ0H22INd2(d-a).

Нам осталось только найти полную энергию поля:

Wm=Wm1+Wm2=12μ0a(IN)2Sd+μμ0H22INd2(d-a)=12μ0S(IN)2da+μd(d-a).

Ответ: Wm1=12μ0a(IN)2Sd, Wm=12μ0S(IN)2da+μd(d-a).

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/fizika/magnitnoe-pole/energija-magnitnogo-polja-v-veschestve/

Лекция 14. Энергия магнитного поля. Уравнения Максвелла в веществе

Энергия магнитного поля в веществе

Рассмотрим цепь, содержащую активное сопротивление R, катушку индуктивности L и источник эдс eo (рис.49). При замыкании ключа К ток начнет возрастать, вследствие этого появится эдс самоиндукции es. По закону Ома, RI=eo+es, следовательно,

eo= RI — es .

Умножая обе части на Idt, получим

eo Idt = RI2 dt — es Idt,

где левая часть представляет собой работу сторонних сил dА*, первое слагаемое справа — джоулево тепло. Последнее слагаемое равно IdФ (так как eS=-dФ/dt). Таким образом,

dА* =dQ+IdФ,

следовательно, dА*>dQ, а часть работы (IdФ=ILdI) совершается против эдс самоиндукции. За счет этой работы контур накапливает энергию, которую вычислим, интегрируя последнее выражение

W = . (150)

Выразим энергию магнитного поля через В. Действительно, L=mmon2V, как индуктивность длинного соленоида, поэтому

W = .

Но так как для соленоида В=mmonI, и B=mmoH, следовательно,

,

где слева стоит энергия поля в единице объема, т.е. плотность энергии. Расчет показывает, что это верно и в векторном виде

, (151)

где wB — плотность энергии магнитного поля, которая для неоднородного поля равна производной: wB=dW/dV.

Уравнения Максвелла для среды в интегральной форме. Выпишем уравнения Максвелла для среды в интегральной форме в виде таб.2, где в правой колонке дадим их формулировки.

Уравнения Максвелла для среды в интегральной форме. Таблица 2

  IЦиркуляция вектора Е по любому замкнутому контуру равна минус производной по времени от магнитного потока через любую поверхность, ограниченную этим контуром. Под Е понимается как вихревое, так и электростатическое поле
IIПоток вектора В сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю
  IIIЦиркуляция вектора Н по любому замкнутому контуру равна полному току (проводимости и смещения) через любую поверхность, ограниченную данным контуром
  IVПоток вектора D сквозь любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью

По форме уравнения Максвелла для вещества и вакуума идентичны.

Однако для описания электрического и магнитного полей в вакууме введение векторов D и Н не являлось принципиально необходимым.

Рассуждения, с помощью которых мы пришли к уравнениям Максвелла, не могут претендовать на роль доказательств. Эти уравнения в общем случае нельзя «вывести» — они являются основными аксиомами электродинамики.

Уравнения Максвелла в веществе в дифференциальной форме. В принципе эти уравнения уже были нами сформулированы. Выпишем их еще раз, используя параллельно оператор набла

I. , .

II. div B= 0, .

III. , ,

IV. div D =r, (Ñ,D) = r.

В этой форме уравнения утверждают следующее. Электрическое поле может возникнуть по двум причинам.

Во-первых, его источниками являются электрические заряды (и сторонние, и связанные — это следует из последнего уравнения, где D=Е+Р и (Ñ,P)=-r', следовательно, (Ñ,E)~ r+r'); во-вторых,- переменное магнитное поле.

Как видно из уравнения III, магнитное поле может порождаться движущимися зарядами и переменными электрическими полями: так как Н=m0BJ и [Ñ´J]=j', следовательно, [Ñ´B]~j+j'Р/t+E/t. Первые три тока связаны с движением зарядов, последний — с изменяющимся во времени электрическим полем Е. Источников магнитных зарядов не существует (это показывает уравнение II).

Материальные уравнения. Фундаментальные уравнения Максвелла не составляют полной системы уравнений: их недостаточно для нахождения полей по заданным распределениям зарядов и токов. Для этого их необходимо дополнить соотношениями, характеризующими свойства среды. Эти соотношения называются материальными уравнениями.

Материальные уравнения просты (и нам уже знакомы) в случае достаточно слабых электромагнитных полей, медленно меняющихся в пространстве и во времени. Для изотропных сред, несодержащих сегнетоэлектриков и ферромагнетиков, материальные уравнения имеют вид

D= eeoE, B= mmoH, j= s(E+ E*).

Величины e, m и s характеризуют электрические и магнитные свойства среды; E* — напряженность поля сторонних сил.

Источник: https://studopedia.su/2_6660_lektsiya--energiya-magnitnogo-polya-uravneniya-maksvella-v-veshchestve.html

Booksm
Добавить комментарий