Энергия колебательной системы

Колебательное движение. Свободные колебания. Колебательные системы (Ерюткин Е.С.). урок. Физика 9 Класс

Энергия колебательной системы

Тема данного урока: «Колебательное движение. Свободные колебания. Колебательные системы». Вначале дадим определение нового вида движения, который мы начинаем изучать, – колебательного движения.

Рассмотрим в качестве примера колебания пружинного маятника и определим понятие свободных колебаний.

Также изучим, что такое колебательные системы, и обсудим условия, необходимые для существования колебаний.

Колебание – это периодическое изменение любой физической величины: колебания температуры, колебания цвета светофора и т. д. (рис. 1).

Рис. 1. Примеры колебаний

Колебания – самый распространенный вид движения в природе. Если касаться вопросов, связанных с механическим движением, то это самый распространенный вид механического движения.

Обычно говорят так: движение, которое с течением времени полностью или частично повторяется, называется колебанием.

Механические колебания – это периодические изменение физических величин, характеризующих механическое движение: положения тела, скорости, ускорения.

Примеры колебаний: колебание качелей, шевеление листьев и качание деревьев под воздействием ветра, маятник в часах, движение человеческого тела.

Рис. 2. Примеры колебаний

Наиболее распространенными механическими колебательными системами являются:

  • Грузик, закрепленный на пружине – пружинный маятник. Сообщая маятнику начальную скорость, его выводят из состояния равновесия. Маятник совершает колебания вверх-вниз. Для совершения колебаний в пружинном маятнике имеет значение количество пружин и их жесткость.

Рис. 3. Пружинный маятник

  • Математический маятник – твердое тело, подвешенное на длинной нити, совершающее колебание в поле тяготения Земли.

Рис. 4. Математический маятник

Условия существования колебаний

  • Наличие колебательной системы. Колебательная система – это система, в которой могут существовать колебания.

Рис. 5. Примеры колебательных систем

  • Точка устойчивого равновесия. Именно вокруг этой точки и совершаются колебания.

Рис. 6. Точка равновесия

Существует три типа положений равновесия: устойчивое, неустойчивое и безразличное. Устойчивое: когда система стремится вернуться в первоначальное положение при малом внешнем воздействии. Именно наличие устойчивого равновесия является важным условием того, что в системе могут происходить колебания.

  • Запасы энергии, которые приводят к тому, что совершаются колебания. Ведь колебания сами по себе не могут совершаться, мы должны вывести систему из равновесия, чтобы происходили эти колебания. То есть сообщить энергию этой системе, чтобы потом колебательная энергия превращалась в то движение, которое мы рассматриваем.

Рис. 7 Запасы энергии

  • Малое значение сил трения. Если эти силы будут большими, то о колебаниях речи идти не может.

Решение главной задачи механики в случае колебаний

Механические колебания – это один из видов механического движения. задача механики – это определение положения тела в любой момент времени. Получим закон зависимости  для механических колебаний.

Закон, который необходимо найти, мы постараемся угадать, а не вывести математически, потому что уровня знаний девятого класса недостаточно для строгих математических выкладок. В физике очень часто пользуются таким методом. Сначала пытаются предсказать справедливое решение, а потом его доказывают.

Колебания – это периодический или почти периодический процесс. Это значит, что закон  – периодическая функция. В математике периодическими функциями являются  или .

Закон  не будет являться решением главной задачи механики, так как  – безразмерная величина, а единицы измерения  – метры. Усовершенствуем формулу, добавив перед синусом множитель, соответствующий максимальному отклонению от положения равновесия – амплитудное значение: .

Обратите внимание, что единицами измерения времени  являются секунды. Подумайте, что значит, например, ? Данное выражение не имеет смысла. Выражение под синусом должно измеряться в градусах или радианах.

В радианах измеряется такая физическая величина, как фаза колебания  – произведение циклической частоты и времени.

Свободные гармонические колебания описывает закон:

Используя это уравнение, можно найти положение колеблющегося тела в любой момент времени.

Энергия и равновесие

Исследуя механические колебания, особый интерес следует уделять понятию положения равновесия – необходимому условию наличия колебаний.

Существует три типа положений равновесия: устойчивое, неустойчивое и безразличное.

На рисунке 8 изображен шарик, который находится в сферическом желобе.

Если вывести шарик из положения равновесия, на него будут действовать следующие силы: сила тяжести , направленная вертикально вниз, сила реакции опоры , направленная перпендикулярно касательной по радиусу.

Векторная сумма этих двух сил будет равнодействующей, которая направлена обратно к положению равновесия. То есть шарик будет стремится вернуться в положение равновесия. Такое положение равновесия называется устойчивым.

Рис. 8. Устойчивое равновесие

Положим шарик на выпуклый сферический желоб и немного выведем его из положения равновесия (рис. 9).

Сила тяжести  по-прежнему направлена вертикально вниз, сила реакции опоры  по-прежнему перпендикулярна касательной.

Но теперь равнодействующая сила направлена в сторону, противоположную начальному положению тела. Шарик будет стремится скатиться вниз. Такое положение равновесия называется неустойчивым.

Рис. 9. Неустойчивое равновесие

На рисунке 10 шарик находится на горизонтальной плоскости. Равнодействующая двух сил в любой точке на плоскости будет одинаковой. Такое положение равновесия называется безразличным.

Рис. 10. Безразличное равновесие

При устойчивом и неустойчивом равновесии шарик стремится занять такое положение, в котором его потенциальная энергия будет минимальной.

Всякая механическая система стремится самопроизвольно занять такое положение, в котором ее потенциальная энергия будет минимальной. Например, нам комфортнее лежать, чем стоять.

Итак, необходимо дополнить условие существования колебаний тем, что равновесие обязательно должно быть устойчивым.

Если данному маятнику, колебательной системе сообщили энергию, то колебания, происходящие в результате такого действия, будут называться свободными. Более распространенное определение: свободными называют колебания, которые происходят только под действием внутренних сил системы.

Свободные колебания еще называют собственными колебаниями данной колебательной системы, данного маятника. Свободные колебания являются затухающими. Они рано или поздно затухают, так как действует сила трения. В данном случае она хоть и малая величина, но не нулевая. Если никакая дополнительная сила не вынуждает двигаться тело, колебания прекращаются.

Уравнение зависимости скорости и ускорения от времени

Для того чтобы понять, меняются ли скорость и ускорение при колебаниях, обратимся к математическому маятнику.

Маятник вывели из положения равновесия, и он начинает совершать колебания. В крайних точках колебания скорость меняет свое направление, причем в точке равновесия скорость максимальная. Если меняется скорость, значит, у тела есть ускорение.

Будет ли такое движение равноускоренным? Конечно, нет, так по мере увеличения (уменьшения) скорости меняется и ее направление. Это значит, что ускорение также будет меняться.

Наша задача – получить законы, по которым будут меняться проекция скорости и проекция ускорения со временем.

Координата со временем меняется по гармоническому закону, по закону синуса или косинуса. Логично предположить, что скорость и ускорение также будут меняться по гармоническому закону.

Закон изменения координаты:

Закон, по которому будет меняться проекция скорости со временем:

Данный закон также является гармоническим, но если координата меняется со временем по закону синуса, то проекция скорости – по закону косинуса. Координата в положении равновесия равна нулю, скорость же в положении равновесия максимальная. И наоборот, там, где координата максимальная, скорость равна нулю.

Закон, по которому будет меняться проекция ускорения со временем:

Знак минус появляется, поскольку при приращении координаты возвращающая сила направлена в противоположную сторону. По второму закону Ньютона, ускорение направлено туда же, куда и результирующая сила. Итак, если координата растет, ускорение растет по модулю, но противоположно по направлению, и наоборот, о чем и говорит знак минус в уравнении.

Список литературы

  1. Кикоин А.К. О законе колебательного движения // Квант. – 1983. – № 9. – С. 30-31.
  2. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика: учеб. для 9 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1992. – 191 с.
  3. Черноуцан А.И. Гармонические колебания – обычные и удивительные // Квант. – 1991. – № 9. – С. 36-38.
  4. Соколович Ю.А., Богданова Г.С. Физика: справочник с примерами решения задач. – 2-е издание, передел. – X.: Веста: издательство «Ранок», 2005. – 464 с.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал «.com» (Источник)
  2. Интернет-портал «eduspb.com» (Источник)
  3. Интернет-портал «physics.ru» (Источник)
  4. Интернет-портал «its-physics.org» (Источник)

Домашнее задание

  1. Что такое свободные колебания? Приведите несколько примеров таких колебаний.
  2. Вычислите частоту свободных колебаний маятника, если длина его нити 2 м. Определите, сколько времени будут длиться 5 колебаний такого маятника.
  3. Чему равен период свободных колебаний пружинного маятника, если жесткость пружины 50 Н/м, а масса груза 100 г?

Источник: https://interneturok.ru/lesson/physics/9-klass/mehanicheskie-kolebaniya-i-volny/kolebatelnoe-dvizhenie-svobodnye-kolebaniya-kolebatelnye-sistemy-eryutkin-e-s

3.3. Связь параметров колебательной системы с периодом колебаний. Энергия колебательной системы с одной степенью свободы

Энергия колебательной системы

В предыдущихпараграфах данной главы были введёнпараметр колебательной системы – круговая или циклическая частота ичастота колебаний,связанные между собой соотношением.Для строгого выяснения физическогосмысла этих величин выразим их черезпериод колебания.

Периодом колебанийназывают промежуток времени, по истечениикоторого колебание повторяется, то естьколеблющаяся точка, тело проходит теже положения и в том же направлении (см.рис. 3.2.).

Аналитически это может бытьзаписано так х(tnТ)х(t); здесьn– целое число(периодов),Т– период колебаний,t– промежуток времени, через которыйнас интересует положение движущейсяточки, тела.

Аналитическая запись можетбыть прочитана так: через произвольноецелое число периодов тело будет двигатьсятак же, как и в данный момент времени.Уравнение движения примет вид:.

Посколькусинусы двух аргументов равны, если этиаргументы отличаются на 2n,(где 2– период синуса, косинуса, n– целое число этих периодов), то возможнаследующая запись .Из равенства фаз следует связь междупериодом и круговой частотой,которая показывает число полныхколебаний, совершаемых за 2секунд.

Круговая частота измеряется врадианах за секунду. Частота колебаний,равная ,показывает, сколько колебаний совершаетсяза одну секунду. Единицей измерениячастоты является герц (Гц). Если периодколебаний Т1 с, то частота 1 Гц, что означает – через 1 с телопроходит те же положения и в том женаправлении (см. рис.

3.2.).

Подводя итогсказанному выше, обратим внимание наследующее. Всякое колебательное движениеесть движение, происходящее с ускорением,поэтому на колеблющееся тело должнадействовать сила, сообщающая этоускорение. Направление силы совпадаетс направлением ускорения, а векторускорения при гармоническом колебаниивсегда направлен к положению равновесия;см. рис. 3.3.

, графикии;графики всегда противоположны понаправлению, что подтверждает –ускорение, как правило, направлено кположению равновесия. Таким образом,тело совершает колебательное движение,если на него действует сила всегданаправленная к положению равновесия,а по величине – прямо пропорциональная смещению из этого положенияFma–m–kx.

Для пружинногомаятника, представленного на рис. 3.2.,период колебаний был получен выше (с.29). Читатель может попробовать свои силыпо преобразованию представленного впредыдущей строчке выражения силы иполучить период колебаний пружинногомаятника самостоятельно.

Дляполучения формулы периода колебанийматематического мятника, представляющегособой точечное тело массой m,подвешенное к невесомой и нерастяжимойнити длинойl,воспользуемся рис. 3.4..

Возвращающей всостояние равновесия силой являетсясоставляющая силы тяжести на направлениедвижения;она направлена по касательной к траекториидвижения.

При малых углах отклоненияот положения равновесия, синус угларавен его радианной мере, и синус углазапишется,а формула возвращающей силыFmgsinпримет видFmg.

Во втором законе Ньютона последствиявозвращающей силы равны произведениюмассы тела на ускорение колебательногодвижения. Формула возвращающей силынемедленно принимает видmgm.

Проведя в последнем равенстве несложныепреобразования, читатель самостоятельноможет получить аналитическое выражениедля периода колебаний математическогомаятника.Из формулы следует, что параметрамиколебательной системы являются длинанити и ускорение свободного падения. Всистемах такого рода длина нитихарактеризует инертные свойства маятника(математического, физического) к движению,а именно, к отклонению из состоянияравновесия. Ускорение свободного паденияв таких системах определяет возвращающеедействие в состояние равновесия.

Таким образом,простейшая колебательная система,состоящая из двух тел, является замкнутойконсервативной системой, в которойдействуют только внутренние силы.

Этоуказывает на то, что работа внутреннихсил определяется изменением потенциальнойэнергии системы и равна изменениюкинетической энергии; то есть колебательныедвижения в механических системахсопровождаются периодическимипревращениями кинетической энергииколеблющихся тел в потенциальную энергиювзаимодействия частей системы и обратно.

Запишем потенциальную энергию системы:.Если учесть, что,формула энергии запишется.Аналитическое выражение для кинетическойэнергии имеет вид:.

Если читатель проделает простыепреобразования, учитывая, что полнаяэнергия системы равна сумме кинетическойи потенциальной энергий, и примет квниманию, что,то сможет убедиться – полная энергиясистемы действительно равна:.Здесь уместно заметить, в замкнутыхсистемах циклическая частота колебанийне зависит от начальных условий иопределяется только параметрамиколебательной системы. В приведённыхпримерах этоl,gиk,х.

Источник: https://studfile.net/preview/4215553/page:12/

Астронет > Колебания и волны

Энергия колебательной системы
В.А.Алешкевич, Л.Г.Деденко, В.А.Караваев (Физический факультет МГУ)
Издательство Физического факультета МГУ, 2001 г.

Если энергия не подводится извне, то колебания связанных осцилляторов будут затухать. Поскольку сила вязкого трения пропорциональна скорости, то уравнения (3.21) с учетом затухания примут вид:

(3.34)

Здесь и — коэффициенты затухания для первого и второго осцилляторов. Если искать решение этой системы в виде нормальных затухающих колебаний:

(3.35)

то после подстановки (3.35) в (3.34) можно найти нормальную частоту , коэффициент затухания и конфигурацию каждой из двух мод. Опуская промежуточные выкладки, отметим, что при и (слабое затухание) нормальные частоты и распределение амплитуд в модах будут близки к тем, что и в отсутствие затухания. Для коэффициента затухания получается выражение:

(3.36)

Можно видеть, что при произвольном соотношении между и коэффициенты затухания мод и получаемые из (3.36) при и будут различными.

Если парциальные частоты совпадают то

(3.37)

Если а то

(3.38)

Последним результатом мы воспользуемся при рассмотрении диссипации энергии в связанной колебательной системе.

Энергия колебательной системы и ее диссипация

Рассмотрим колебания двух одинаковых масс (рис. 3.10а), закрепленных на растянутом легком резиновом шнуре.

Рис. 3.10.

Если один из грузов оттянуть на расстояние (б) и затем одновременно отпустить обе массы, то их колебания будут иметь вид биений.

С другой стороны, при этих начальных условиях будут возбуждены две моды (в и г) с одинаковыми амплитудами колебаний обеих масс, равными Энергия, запасенная в первой моде, равна сумме кинетических энергий обеих масс при прохождении ими положения равновесия со скоростью т.е.:

(3.39а)

а энергия второй моды, аналогично, равна

(3.39б)

Важно отметить, что энергообмен между модами отсутствует, а полная энергия системы равна сумме энергий ее мод.

В то же время в процессе биений энергия первого осциллятора за время, равное половине периода биений, «перетекает» ко второму осциллятору и затем за такое же время возвращается обратно.

Полный энергообмен между осцилляторами возможен лишь тогда, когда обе массы одинаковы и отношение равно целому числу т.е.:

(3.40)

Следовательно, частота должна быть кратной частоте биений. В самом деле, при выполнении условия (3.40) каждая из масс будет периодически останавливаться в положении равновесия (как следует из формул (3.17)). С течением времени колебания будут затухать, и будет экспоненциально уменьшаться энергия, запасенная в модах:

(3.41а)

(3.41б)

Важно подчеркнуть, что через время энергия каждой из мод уменьшится в е раз, при этом противофазная мода «потеряет» больше энергии, чем синфазная, поскольку начальная энергия у нее была больше, чем (см. (3.39)).

Вынужденные колебания

Рассмотрим основные закономерности вынужденных установившихся колебаний в системе, изображенной на рис. 3.11, если на левую массу действует сила Уравнения движения в этом случае будут отличаться от (3.34) наличием этой силы в правой части первого уравнения:

(3.42)

Нетрудно догадаться, что решениями этой системы в установившемся режиме являются гармонические функции

(3.43)

которые отражают тот факт, что обе массы колеблются на частоте вынуждающей силы. Подставляя (3.43) в (3.42), можно вычислить амплитуды и фазы вынужденных колебаний. Мы ограничимся лишь обсуждением результатов.

Рис. 3.11.

На рис. 3.12 изображена АЧХ для первого осциллятора, к которому приложена сила. Обращает на себя внимание наличие двух резонансов, которые при малом затухании наблюдаются на нормальных частотах и .

При изменении частоты от до амплитуда падает и достигает минимума на второй парциальной частоте при этом с уменьшением затухания амплитуда на этой частоте стремится к нулю. Это обстоятельство используют для подавления отклика системы на действие внешней силы.

В радиотехнике, где используются связанные колебательные контуры, их применяют как фильтры и демпферы.

Рис. 3.12.

Два резонанса имеют место и для смещения второй массы.

Если проанализировать отношение амплитуд в зависимости от частоты то оказывается, что это отношение вблизи частоты равно коэффициенту распределения амплитуд для первой моды, а вблизи частоты — коэффициенту распределения амплитуд для второй моды. Это используется для определения этих коэффициентов, поскольку при вынужденных колебаниях это сделать проще, чем при собственных.

Назад| Вперед

Версия для печати

АстрометрияАстрономические инструментыАстрономическое образованиеАстрофизикаИстория астрономииКосмонавтика, исследование космосаЛюбительская астрономияПланеты и Солнечная системаСолнце

Источник: http://www.astronet.ru/db/msg/1175791/page17.html

Booksm
Добавить комментарий