Энергия гармонических колебаний

Энергия гармонических колебаний

Энергия гармонических колебаний

Колебания — это самая общая форма движения динамических систем около положения равновесия. При малых отклонениях от положения равновесия колебания обычно являются гармоническими. В этом заключается их особенная значимость.

Уравнение вида:

$\frac{d2x}{dt2}+\omega2x=0 (1),$

где $\omega2$ — циклическая частота колебаний; $x$ -расстояние положения равновесия

называют уравнением механических гармонических колебания. Колебания происходят вдоль оси $X$.

Решением уравнения (1) можно считать функции:

$x=A\sin (\omega t+\varphi)$ или

$x=A\cos (\omega t+\varphi_1)$,

где $A$ — амплитуда колебаний.

Систему, которая реализует данные малые колебания, называют линейным или гармоническим осциллятором. Примером гармонического осциллятора может служить

  1. малое тело, подвешенное на упругую пружину (Пружинный маятник);
  2. физический маятник (Тело, которое совершает колебания относительно точки (или оси, проходящей через точку тела), не являющейся его центром масс);
  3. математический маятник; (Малое тело, совершающее колебания на длинном, нерастяжимом, невесомом подвесе).

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Определение 1

Собственными называют колебания системы под воздействием только внутренних сил при отсутствии внешних воздействий.

В полной механической энергии гармонического осциллятора выделяют:

  • потенциальную энергию;
  • и кинетическую энергию.

Потенциальная энергия

Говорить о потенциальной энергии можно только, если действующие силы потенциальны. Если колебательные движения между двумя точками являются одномерным, то автоматически обеспечивается условие потенциальности и всякую силу, зависящую только от координат, можно считать потенциальной.

Если рассматривается линейный осциллятор, то обычно считают, что потенциальная энергия точки равна нулю в положении равновесия. Считая, что осциллятор заставляет совершать колебания сила упругости;

$F=-kx(2)$

и зная, как связана потенциальная энергия и потенциальная сила, (для одномерного случая: $F=-\frac{dU}{dx}$), потенциальную энергию линейного осциллятора определим как:

$U(x)=\frac{kx2}{2}=\frac{m\omega2x2}{2}=\frac{mA2\omega_02}{2}\cos2 (\omega t+\varphi)= \frac{mA2\omega_02}{4}(1+\cos 2(\omega t +\varphi)) (3).$

Из формулы (3) видно, что потенциальная энергия при колебаниях изменяется с течением времени, так как изменяется $x$. Частота колебаний потенциальной энергии $2\omega$.

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия тела – это энергия движения, она зависит от скорости перемещения материальной точки, задается выражением:

$E_k=\frac{mv2}{2}=\frac{m\dot{x}2}{2}=\frac{mA2\omega_02}{2}\sin2 (\omega t+\varphi) =\frac{mA2\omega_02}{4}(1-\cos 2(\omega t +\varphi)) (4).$

Кинетическая энергия является переменной во времени физической величиной. Колебания ее происходят с частотой $2\omega$ (эта частота в два раза больше, чем частота колебаний $x$)

Закон сохранения энергии при гармонических колебаниях

Как было отмечено, кинетическая энергия и потенциальная энергия являются переменными во времени величинами, однако, их сумма у гармонического осциллятора, выполняющего свободные колебания, не изменяется:

$\frac{m\dot{x}2}{2}+\frac{m\omega2x2}{2}=\frac{m\omega2A2}{2}=const$.

Полная энергия системы ($E$) не изменяется, поскольку при гармонических колебаниях выполняется закон сохранения механической энергии, так как сила упругости является консервативной.

Закон сохранения энергии позволяет сделать два существенных вывода

Вывод первый. Наибольшая кинетическая энергия осциллятора равна его наибольшей энергии потенциальной энергии.

Данный вывод очевиден, так как потенциальная энергия осциллятора максимальна при смещении точки выполняющей колебания на максимально возможное расстояние, при этом скорость, а соответственно и кинетическая энергия осциллятора равна нулю.

Наибольшую кинетическую энергию колебательная система имеет тогда, когда она проходит положение равновесия ($x=0$), то есть потенциальная энергия равна нулю.

$\frac{mV2}{2}=\frac{m\omega2A2}{2}(5),$

где $V$ — максимальная скорость.

Вывод второй. Средняя кинетическая энергия осциллятора равна его средней потенциальной энергии.

Средняя кинетическая энергия

Пусть параметр $f$ функция времени, тогда средняя ее величина на отрезке времени от $t_1$ до $t_2$ равна:

$f_{sr}=\frac{1}{t_2-t_1}\int_12f(t)dt (6),$

где пределы интегрирования обозначают 1 — время $t_1$; 2 — $t_2$.

Если функцию $f(t)$ изобразить на графике (рис.1), то ее среднее значение будет соответствовать высоте прямоугольника, площадь которого ограничивают функция $f$ и ось $t$ на заданном отрезке времени.

Замечание 1

Площадь под осью $t$ считают отрицательной.

Рисунок 1. График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Запишем закон движения осциллятора как:

$x(t)=A\cos (\omega t+\varphi) (7)$,

его скорость равна:

$\dot{x}=-A\omega\sin (\omega t+\varphi) (8).$

Выражение для потенциальной энергии представим как:

$U(t) = \frac{\omega2A2}{2}\cos2 (\omega t+\varphi) (9)$.

Кинетическую энергию представит выражение:

$E_k=\frac{\omega2A2}{2}\sin2 (\omega t+\varphi) $

Отрезком времени, на котором будем брать среднее, станет период колебаний, вернее одного колебания. Нахождение средних значений кинетической и потенциальной энергии сводят к поиску средних от $\cos2 (\omega t+\varphi)$ и $\sin2 (\omega t+\varphi)$:

$(\sin2 (\omega t+\varphi))_{sr}=\frac{1}{T}\int_0T \cos2 (\omega t+\varphi)dt=\frac{1}{T}\int_0T\frac{1}{2}(1-\cos 2(\omega t+\varphi)dt)=\frac{1}{2},$

где $T$ — период колебаний; $\omega T=2\pi.$

По аналогии получаем:

$\sin2 (\omega t+\varphi)_sr=\frac{1}{2}.$

В результате имеем:

  • средняя по времени потенциальная энергия гармонического колебания за один период равна:$U_{sr}=\frac{m\omega2A2}{4}(10),$
  • средняя по времени кинетическая энергия составила:$E_{k,sr}=\frac{m\omega2A2}{4}(11)$.

Сравнивая (10) и (11) мы видим, что:

$U_{sr}= E_{k,sr}=\frac {1}{2}E$,

где $E$ — полная механическая энергия гармонических колебаний.

то есть средняя по времени кинетическая энергия осциллятора равна средней по времени потенциальной энергии.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/garmonicheskie_kolebaniya/energiya_garmonicheskih_kolebaniy/

Кинетическая, потенциальная и полная энергии гармонических колебаний

Энергия гармонических колебаний

Лекция 5. Механические колебания

План лекции

5.1. Основные характеристики колебательного движения.

5.2. Кинетическая, потенциальная и полная энергии гармонических колебаний.

5.3. Уравнение гармонических колебаний. Маятники.

5.4. Затухание колебания.

5.5. Вынужденные колебания. Резонанс.

5.6. Явление резонанса в строительстве.

Основные характеристики колебательного движения

Процессы точно или приблизительно повторяющиеся через одинаковые промежутки времени называются колебаниями.В зависимости от физической природы различают механические, электромагнитные и другие виды колебаний.

Несмотря на разную природу колебаний, в них обнаруживаются одни и те же физические закономерности, они описываются одними и теми же математическими уравнениями и исследуются общими методами, разработка и применение которых составляют задачу теории колебаний.

В данном курсе физики мы будем изучать два наиболее распространенных класса колебаний: механические и электрические.

Среди разнообразных колебаний основную и существенную роль играют так называемые гармонические колебания, то есть такие, при которых колеблющаяся величина изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса.

Рассмотрим гармонические колебания на примере колеблющейся точки.

Пусть точка вращается по окружности радиуса А с угловой скоростью ω0 (рис.5.1).

Рис.5.1.

Если точку спроецировать на оси X и Y, то ее проекции будут совершать колебания и удовлетворяют следующим уравнениям соответственно

, (5.1)

где, φ= ω0t + φ0 – фаза колебаний

Тогда

и (5.2)

где х и y – смещения колеблющейся точки от положения равновесия;

А – амплитуда колебания (максимальное смещение);

φ0 – начальная фаза (при t = 0);

ω0 – круговая (циклическая) частота колебаний.

Точка совершает одно полное колебание за время Τ, называемое периодом колебания. Частота колебаний ν (число колебаний в единицу времени) есть . Между указанными величинами существует взаимосвязь

(5.3)

Геометрический смысл параметров уравнений (5.2) можно объяснить с помощью векторных диаграмм. Выберем на оси Х точку О и из этой точки под углом φ0 проведем вектор А. Будем вращать вектор А с угловой скоростью ω0 и тогда его проекция на ось будет смещаться на величину x (рис. 5.2).

Рис.5.2.

Колеблющаяся точка обладает скоростью и ускорением. Скорость материальной точки

(5.4)

Ускорение материальной точки

(5.5)

С учетом формулы (5.2) получим

(5.6)

Сравнивая уравнения (5.2), (5.4) и (5.5) замечаем, что скорость опережает смещение на π/2. Фазы ускорения и смещения различаются на π (изменяются в противофазе). Графические зависимости смещения, скорости и ускорения от времени показаны на рис.5.3.

Умножив обе части равенства уравнения (5.6) на массу m материальной точки получим

(5.7)

Используя II закон Ньютона, получаем

(5.8)

Рис.5.3.

Таким образом, чтобы совершались гармонические колебания на материальную точку должна действовать сила F, пропорциональная смещению x, которая возвращает ее в положение равновесия

(5.9)

где, k – некоторый коэффициент (зависящий от свойств колеблющейся системы) и называемой жесткостью.

Из уравнения (5.7) и (5.8) видно, что .

Кинетическая, потенциальная и полная энергии гармонических колебаний

Полная энергия Е колеблющейся материальной точки равна сумме кинетической Ек и потенциальной Еп энергий

Е = Ек + Еп (5.10)

Кинетическую энергию можно найти, зная массу m и скорость u

(5.11)

учитывая, что

получаем

(5.12)

Выражение для потенциальной энергии можно найти из соотношений между потенциальной энергией и силой.

или

(5.13)

Отсюда

(5.14)

Учитывая, что и получаем

(5.15)

Полную энергию получим сложив (5.12) и (5.15)

(5.16)

Таким образом, полная энергия пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

Из формул (5.12) и (5.15) видно, что когда увеличивается Еп уменьшается и наоборот.

5.3. Уравнение гармонических колебаний.
Маятники

На колеблющуюся материальную точку массой m действует возвращающая сила F = — kx. Эта сила вызывает ускорение . Равенство этих сил позволяет записать

ma = -kx (5.17)

где, k – жесткость системы, ; х – смещение; а – ускорение материальной точки.

Сделав соответствующие подстановки в (5.17), получим

или (5.18)

Уравнение (5.18) представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка незатухающих гармонических колебаний материальной точки.

Решением этого дифференциального уравнения как раз и является уравнение (5.2): .

Колебания любого гармонического осциллятора (или гармонического вибратора) описываются дифференциальным уравнением второго порядка

(5.19)

Решением этого уравнения является

(5.20)

где S0 – амплитудное (максимальное) значение параметра S.

Примерами гармонических осцилляторов являются маятники, колебательный контур.

В качестве примера малых колебаний рассмотрим колебания маятников.

Пружинный маятник

Груз массой m, подвешенный на упругой пружине представляет собой пружинный маятник (рис.5.4). Если груз оттянуть вниз и отпустить, то под действием силы F = -kx маятник будет совершать колебания; k – коэффициент жесткости (в данном случае коэффициент упругости).

Рис.5.4.

Уравнение движения маятника имеет вид

или ,

Его решением является

Это значит, что пружинный маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой ω0

, с другой стороны .

Период колебаний пружинного маятника

(5.21).

Физический маятник

Физическим маятником называется твердое тело, которое может колебаться под действием силы тяжести вокруг оси, не проходящей через центр масс. При отклонении маятника относительно оси О угол α, на него действует М – момент возвращающей силы (рис.5.5)

(5.22)

где, I – момент инерции относительно оси О;

l – плечо силы ; при малых углах .

Рис.5.5.

Из (5.22) получаем дифференциальное уравнение

Или

(5.23)

Сравнив уравнение (5.23) с уравнением гармонического осциллятора (5.19), получим

, (5.24)

где, – приведенная длина физического маятника.

От точки подвеса О на линии ОС на расстоянии L находится точка О1, называемая центром качения. Точки О и О1 обладает свойством взаимозаменяемости.

Дата добавления: 2015-10-26; просмотров: 5059; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

ПОСМОТРЕТЬ ЁЩЕ:

Источник: https://helpiks.org/5-90914.html

Математический и физический маятники

Математическиммаятником называют идеализированнуюсистему из нерастяжимой и невесомойнити с подвешенным на ней телом массойm,сосредоточенной в одной точке.

Тяжелыйшарик, подвешенный на нити служит хорошимприближением к математическому маятнику(рис. 18). На отклоненный маятник будетдействовать момент силы М

М=-mgℓ sinφ.

Моментинерции шарика относительно точкиподвеса J=ml2.

Запишемуравнение динамики вращательногодвижения:

,или — mglsin.

Сделавпреобразования, получим

Известно,что для малых углов sin .Введем обозначение:

Подставляяих в вышеприведенное равенство , получимдифференциальное уравнение колебаний математического маятника

Решениеэтого уравнения имеет вид:

иявляется уравнением гармоническогоколебания математического маятника.

ЗдесьА – амплитуда, т.е. наибольший уголотклонения, α0– начальная фаза колебаний.

-период колебаний математическогомаятника.

Физическиммаятником называют твердое тело,способное совершать колебания околонеподвижной точки (оси), не совпадающейс его центром инерции .Вращающий моментM(рис.19)

M=-mglsinφ

Уравнениединамики вращательного движе-

нияM=Jε:

-mglsinφ=J.

Длямалых углов считаем sinи тогда

-mglφ=J,или +=0.

Введемобозначение ,и подставляя его в вышеприведенноеравенство, получим дифференциальноеуравнение колебаний физического маятника Решение этого уравнения: является уравнением гармоническогоколебания физического маятника. Периодколебаний физического маятника

гдеl– расстояние между центром инерции ицентром качания. Величину называют приведенной длиной физическогомаятника. С учетом этого, период колебанийфизического маятника

Сложение гармонических колебаний. Векторная диаграмма гармонических колебанний

Возьмемна плоскости вектор А,которыйв момент времени t=0составляет с горизонтальнойосьюугол α (рис.20).

Еслиэтот вектор привести во вращение противчасовой

стрелкис угловой скоростью ω0,топроекция этого вектора на вертикальнуюось х будет изменяться по закону x=Asin(ω0t+α),т.е. по гармоническому закону в пределахот А до –А.

Следовательно,гармонические колебания можно представитьв виде вращающегося вектора . Этим удобнопользоваться при рассмотрении сложенияколебаний.

Сложениеколебаний одинакового направления,одного периода, отличающихся начальнойфазой и амплитудой .

Уравнениядвух таких колебаний будут , .

Навекторной диаграмме это будет выглядетьтак, как показано на рис.21.

Результирующаяамплитуда А будет определяться извыражения А2=A+A+2A1A2cos(α1–α2).Учитывая, что проекция суммы векторовравна сумме проекций слагаемых векторов,начальная фаза результирующих колебанийопределится из ΔОВD:

Уравнениесуммарногоколебаниябудет

Проанализируемхарактеристики суммарного колебания:

  1. Если разность фаз слагаемых колебаний

α1α2=±2πn(n=0,1,2,…),то сosα=1 и тогда А=А1+А2, т.е. амплитуда результирующего колебанияА равна сумме амплитуд слагаемыхколебаний. Это будет условиемаксимума.

  1. Если разность фаз α1–α2=±(2n+1) π (n=0,1,2,…), то сosα=-1 и тогда А=А1–А2. В случае, если А1=А2, колебания взаимно погасятся. Условие 2 является условием минимума .

  2. Если А1=А2= А, а периоды и частоты мало отличаются , т.е. Т1-Т2=ΔТ«Т, то при сложении таких колебаний наблюдаются биения.

Вследствиенебольшой разности периодов в некоторыймомент времени колебания почти совпадают по фазе и амплитуды суммируются,

т.е.А1+А2=2А.

Припостепенном увеличении разности фазнаступает момент, когда колебания будутпроисходить в противофазе и А=А1–А2=0.Период биений, т.е. период огибающей(рис.22) определяется разностью частотслагаемых колебаний

Сложение взаимноперпендикулярных колебаний

1. Колебания имеютодинаковую фазу и частоту, но различныеамплитуды.

Уравнениятаких колебаний: x=A1sinωt.y=A2sinωt.

Разделимпочленно левые и правые частиуравнений и преобразуем полученноеравенство

Получилиуравнение прямой, проходящей черезначало координат. Следовательно,результирующее движение осуществляетсявдоль прямой, наклоненной к оси координатпод углом α (рис.23), который определяетсяиз условия

Результирующееколебание будет также гармоническим,т.к. смещение sопределяется уравнением

  1. Частоты колебаний равны, а фазы слагаемых колебаний отличаются на.

Уравнениятаких колебаний имеют вид: x=A1sinωt,y=A2sin(ωt+)=A2cosωt.

Решимсовместно эти уравнения .

Получилиуравнения эллипса с осями А1и А2(рис. 24), т.е. траектория суммарногоколебания представляет собой эллипс.При равенстве амплитуд траекториясуммарного колебания представляетсобой окружность. В общем случае сложениевзаимоперпендикулярных колебанийтраектория движения представляет собойфигуры Лиссажу.

Источник: https://studfile.net/preview/3297805/page:3/

Энергия гармонических колебаний. Сложение гармонических колебаний

Энергия гармонических колебаний

§4 Энергия гармонических колебаний

По определению кинетическая энергия тела массой m, движущегося со скоростью  равна

Потенциальная энергия равна

Полная энергия равна

 Квазиупругая сила является консервативной, поэтому полная энергия гармонического колебания остается постоянной. В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно. Колебания WК и WП происходят с частотой 2ω0, т.е. в два раза превышающей частоту гармонических колебаний.

§5 Сложение гармонических колебаний

Изображение колебаний в виде векторной диаграммы

Пусть колебания описываются уравнением

                                                             (1)

тложим из точки О вектор длиной А, составлявший угол φ0 с осью Ох. Если этот вектор начать вращать с угловой скоростью ω0, то проекция конца вектора будет изменяться со временем по закону косинуса (1), т.о., гармоническое колебание может быть описано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания А, а направление вектора образует с осью х угол, равный начальной фазе φ0.

2. Сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты.

 Результирующий вектор  равен

Находится по правилу параллелограмма, его проекция на ось X равна

X=X1 + X2.

Длина результирующего вектора или амплитуда результирующего колебания находится по теореме косинусов и равна

Начальная фаза результирующего колебания определяется из условия

При сложении двух гармонически колебаний с одинаковой частотой и одинакового направления, результирующее движение есть также гармоническое колебание с тем же периодом и с амплитудой А, лежащей в пределах

Колебания, у которых φ10 = φ20, А= А1 + А2называются синфазными.

Колебания, у которых φ10 — φ20 = π, А=| А2 – А1|называются противофазными.

В случае, если А1 = А2, то при φ10 = φ20  А = 2А1, при φ10 — φ20 = π, А=| А2 – А1| = 0.

§3 Биения

Биения — сложение колебаний с близкими частотами ω1 ≈ ω2.

При сложении гармонических колебаний мало отличаюшихся по частоте результирующее движение являемся гармоническим колебанием  с пульсирующей амплитудой. Такое колебание называется биениями.

Для простоты примем А= А1 = А2, φ10 = φ20 = 0.

Тогда

,   где 

                                  (2)

Полученное выражение есть произведение двух колебаний.

Множитель  имеет частоту среднюю для двух слагаемых колебаний . т.е. близкую к их частотам ω1 и ω2. Второй множитель  обладает в силу условия близости ω1 и ω2 малой частотой, т.е. большим периодом. Это позволяет рассматривать результирующее движение как почти гармоническое колебание со средней угловой частотой и медленно меняющейся  амплитудой .

1,2 — график медленно меняющейся амплитуды.

3 — график результирующего колебания.

Когда  φ1 ≈ φ2, Арез ≈ 2А. Спустя промежуток ,     одно из колебаний отстает от другого по фазе на π и Арез → 0 . Такое постепенное возрастание и убывание амплитуд результирующего колебания называется биением.

Если ω1 и ω2 соизмеримы, т.е. можно найти два таких числа n1 и n2, что  то через промежуток времени аргументы обоих сомножителей в (2) изменятся на целое ( хотя и различное ) число раз 2π, их произведение примет тоже значение, что и в начале промежутка τ. Величина τ тогда является периодом результирующего колебания.

Если частоты не соизмеримы, то результирующее колебание будет непериодическим.

4. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты ω1 = ω2 = ω , происходящих во взаимно перпендикуляр­ных направлениях вдоль осей х и у.

                                                                                            (1)

а) Пусть φ10 = φ20.

Тогда , т.е. — траектория — это диагональ прямоугольника со сторонами 2А (по оси х) и 2В (по оси у)

б) Пусть φ10 = φ20 +π.

Тогда

в) Пусть φ10 = φ20 +π/2

 — эллипс.

При А = В – окружность.

г) φ10 = φ20 — π/2 – эллипс, но изменяется направление обхода.

д) Произвольные φ10 и φ20 – также эллипс с уравнением

В общем случае

е) Фигуры Лиссажу.

В там случае, когда частоты взаимно перпендикулярных колебаний, в которых одновременно участвует рассматриваемая точка, относятся как целые числа, траектория движения представляет собой сложные кривые, получившие название фигур Лиссажу. Форма этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний.

Отношение частот складываемых колебаний равно отношению  числа пересечений фигур Лиссажу с прямыми параллельными осям координат. По виду фигур Лиссажу можно определить неизвестную частоту по известной, или  определить отношение частот  ω1 и ω2.

Источник: http://bog5.in.ua/lection/vibration_lect/lect3_vibr.html

Booksm
Добавить комментарий