Энергия cистемы электрических зарядов

Энергия cистемы электрических зарядов

Энергия cистемы электрических зарядов

В случае движения в электростатическом поле заряда силы электрические силы взаимодействия совершают работу. Любая система зарядов имеет некоторую энергию за счет уменьшения которой, и совершается эта работа.

Энергия взаимодействия множества зарядов

Предположим, что у нас имеются шары небольшого диаметра, обладающие зарядом. Распределение заряда шаров обладает сферической симметрией. Работа, совершаемая при разведении зарядов $q_1$ и $q_2$ от расстояния $r$ до $r=\infty $ равна:

где $A'>0$, если заряды имеют одинаковые знаки, $A' \[W'=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon}\frac{q_2}{r}q_1+\frac{1}{4 \varepsilon_0 \varepsilon}\frac{q_1}{r}q_2\right)=\frac{1}{2}\left({\varphi }'_1q_1+{\varphi }'_2q_2\right)\left(2\right),\]

где ${\varphi }'_1$- потенциал, который создает второй шар в центре первого, ${\varphi }'_2$- потенциал, который создает первый шар в центре второго. Формулу (2) легко обобщить на случай из множества шарообразных тел, имеющих заряды $q_i$:

Формула (3) представляет энергию взаимодействия множества зарядов.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Потенциальная энергия зарядов при их непрерывном распределении может быть найдена в соответствии с формулой:

где в элементе объема ($dV$) находится заряд $dq=\rho dV,$ $\varphi $ — потенциал в точке объема $dV$.

Необходимо обратить внимание на то, что формула (3) представляет энергию взаимодействия между заряженными шарами, не учитывая энергию взаимодействия элементов самих шаров.

Формула (4) учитывает оба вида энергии и энергию взаимодействия между шарами, и энергию взаимодействия их частей между собой. Энергию взаимодействия элементов заряженного тела называют собственной энергией.

Если мы хотим рассчитать энергию взаимодействия заряженных тел по формуле (4), то проводим интегрирование по объемам этих тел ($V_i$), в нашем случае шаров:

Так в любой точке шара i потенциал ${\varphi }_i$ складывается из двух частей: ${{\varphi }_i}{(1)}$, который создан зарядами других шаров, и ${{\varphi }_i}{(2)}$, создан зарядами самого i —го шара. В таком случае формулу (5) можно записать в виде:

где ${\varphi }_i={{\varphi }_i}{(1)}+{{\varphi }_i}{(2)}$. Если, как в нашем случае мы имеем дела со сферически симметричным зарядом, то можно записать:

где ${\varphi }'_i$ — потенциал в центре шара, $q_i=\int\limits_{V_i}{\rho dV}-полный\ заряд\ шара.$ Тогда уравнение (6) можно записать как:

где $W'$ задана формулой (3). Собственная энергия тел $W{(2)}_i$ зависит от величины заряда тела и закона распределения заряда. Если заряд имеет равномерное распределение, то собственная энергия шара равна ($W{(2)}$):

Из (9) видно, что при стремлении радиуса шара к нулю его собственная энергия стремится к бесконечности, что ведет к проблемам при использовании понятия точечный заряд.

Формулу (3) можно применять при исследовании взаимодействий точечных заряженных тел, так как она не содержит бесконечных собственных энергий.

Как уже говорилось, формула (3) содержит лишь часть энергии — энергию взаимодействия.

Энергия всего пространства

Энергию всего пространства в изотропном диэлектрике можно вычислить по формуле:

\[W=\frac{1}{2}\int\limits_V{\overrightarrow{E}\overrightarrow{D}}dV\left(10\right),\]

где $\overrightarrow{E}$ — напряженность электростатического поля, $\overrightarrow{D}$-вектор электрического смещения ($\overrightarrow{D}=\varepsilon {\varepsilon }_0\overrightarrow{E}$).

Интеграл (10) сводится к интегралу по пространству между телами (у нас шарами), где имеется электростатическое поле $\overrightarrow{E}$. Энергии и уравнении (4) и (10) равны, но носителями энергии в (4) являются заряды, а энергии в (10) является поле, энергия представляется локализованной во всем пространстве. Плотность электрической энергии в изотропном диэлектрике равна:

\[w=\frac{1}{2}\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{D}\left(11\right).\]

Уравнение (8) можно представить в виде:

\[W'=W-\sum\limits_i{W{(2)}_i}\left(12\right).\]

Из (12) очевидно, что энергия взаимодействия между точечными зарядами может быть и положительной и отрицательной. Она больше нуля, когда их собственная энергия ($W{(2)}_i)($всегда $W{(2)}_i>0$) меньше полной энергии поля.

Если все заряды кроме одного (выделенного) не движутся, тогда энергия выделенного заряда называется его потенциальной энергией. Изменение потенциальной энергии связано с изменением энергии поля.

Из закона сохранения энергии следует, что уменьшение кинетической энергии частицы соответствует увеличению энергии поля и наоборот.

Пример 1

Задание: Рассчитать во сколько раз энергия кулоновского взаимодействия 2 электронов больше энергии их притяжения.

Решение:

Для того чтобы рассчитать энергию электрического взаимодействия электронов применим формулу:

\[W_e=\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }\frac{q2_e}{r}\left(1.1\right),\]

где $\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }=9•{10}9\frac{Нм2}{{Кл}2},\ где\ \varepsilon =1\ \left(для\ вакуума\right)$. $q_e=1,6\cdot {10}{-19}Кл.$

Для вычисления энергии гравитационного взаимодействия можно применить формулу:

\[W_g=\gamma \frac{m2_e}{r}\left(1.2\right),\]

где $\gamma $=6,67$\cdot {10}{-11}\frac{Нм2}{{кг}2}$ — гравитационная постоянная, $m_e=9,1{\cdot 10}{-31}кг.$

Найдем отношение ($\frac{W_e}{W_g}$):

\[\frac{W_e}{W_g}=\frac{\frac{1}{4 \varepsilon_0 \varepsilon}\frac{q2_e}{r}}{\gamma \frac{m2_e}{r}}=\frac{\frac{1}{4 \varepsilon_0 \varepsilon}q2_e}{\gamma m2_e}\ \left(1.3\right).\]

Данные все записаны выше, проведем расчет:

\[\frac{W_e}{W_g}=\frac{9•{10}9}{6,67•{10}{-11}}{\left(\frac{1,6•{10}{-19}}{9,1{•10}{-31}}\right)}2=\frac{23,04\cdot {10}{-29}}{552,\ 34\cdot {10}{-51}}=4,2\cdot {10}{42}.\]

Ответ: $\frac{W_e}{W_g}=4,2\cdot {10}{42}$ раз.

Пример 2

Задание: Две тонкие концентрические сферы с имеющие заряды $q_1$ и $q_2$ имеют радиусы $R_1$ и $R_2$. Найдите полную энергию системы.

Решение:

Энергия взаимодействия сфер может быть найдена при использовании формулы:

\[W'=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }\frac{q_2}{R_2}q_1+\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }\frac{q_1}{R_2}q_2\right)=\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }\frac{q_2q_1}{R_2}\left(2.1\right),\]

Найдем собственную энергию первой сферы ($W_1$) c помощью формул:

\[W_1=\int{wdV},\ w=\frac{{\varepsilon }_0\varepsilon }{2}E2\to W_1=\int\limits{\infty }_{R_1}{\frac{{\varepsilon }_0\varepsilon }{2}E2}\cdot 4\pi r2dr=\frac{{\varepsilon }_0\varepsilon }{2}\int\limits{\infty }_{R_1}{{\left(\frac{q_1}{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon r2}\right)}2}\cdot 4\pi r2dr=\frac{1}{2\cdot 4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }{q_1}2\int\limits{\infty }_{R_1}{{\left(\frac{1}{r}\right)}2}dr=\frac{{q_1}2}{8\pi {\varepsilon }_0\varepsilon R_1}\left(2.2\right)\]

По аналогии для сферы радиуса $R_2\ $ запишем:

\[W_2=\frac{{q_2}2}{8\pi {\varepsilon }_0\varepsilon R_2}\left(2.3\right).\]

В таком случае полную энергию системы (W) запишем как сумму:

\[W=W'+W_1+W_2=\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }\frac{q_2q_1}{R_2}+\frac{{q_1}2}{8\pi {\varepsilon }_0\varepsilon R_1}+\frac{{q_2}2}{8\pi {\varepsilon }_0\varepsilon R_2}.\]

Ответ: Полная энергия системы равна: $W=\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }\frac{q_2q_1}{R_2}+\frac{{q_1}2}{8\pi {\varepsilon }_0\varepsilon R_1}+\frac{{q_2}2}{8\pi {\varepsilon }_0\varepsilon R_2}$.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/elektrostatika/energiya_cistemy_elektricheskih_zaryadov/

Потенциал. Энергия системы электрических зарядов. Работа по перемещению заряда в поле

Энергия cистемы электрических зарядов

· Потенциал электрического поля есть величина, равная отношению потенциальной энергии точечного положительного заряда, помещенную в данную точку поля, к этому заряду

,

или потенциал электрического поля есть величина, равная отношению работы сил поля по перемещению точечного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность к этому заряду:

.

Потенциал электрического поля в бесконечности условно принят равным нулю.

Отметим, что при перемещении заряда в электрическом поле работа Aв.с внешних сил равна по модулю работе Aс.п сил поля и противоположна ей по знаку:

Aв.с= – Aс.п.

· Потенциал электрического поля, создаваемый точечным зарядом Q на расстоянии rот заряда,

.

·Потенциал электрического поля, создаваемого металлической, несущей заряд Q сферой радиусом R, на расстоянии rот центра сферы:

внутри сферы (rR) .

Во всех приведенных для потенциала заряженной сферы формулах e есть диэлектрическая проницаемость однородного безграничного диэлектрика, окружающего сферу.

·Потенциал электрического поля, созданного системой п точечных зарядов, в данной точке в соответствии с принципом суперпозиции электрических полей равен алгебраическойсуммепотенциалов j1, j2, … , jn, создаваемых отдельными точечными зарядами Q1, Q2, …, Qn:

.

· Энергия W взаимодействия системы точечных зарядов Q1, Q2, …, Qn определяется работой, которую эта система зарядов может совершить при удаленииих относительно друг друга в бесконечность, и выражается формулой

,

где — потенциал поля, создаваемого всеми п–1 зарядами (за исключением i-го) в точке, где расположен заряд Qi.

· Потенциал связан с напряженностью электрического поля соотношением

.

В случае электрического поля, обладающего сферической симметрией, эта связь выражается формулой

,

или в скалярной форме

,

а в случае однородного поля, т. е. поля, напряженность которого в каждой точке его одинакова как по модулю, так и по направлению

,

где j1 и j2 — потенциалы точек двух эквипотенциальных поверхностей; d – расстояние между этими поверхностями вдоль электрической силовой линии.

·Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении точечного заряда Q из одной точки поля, имеющей потенциал j1, в другую, имеющую потенциал j2

A=Q ∙(j1 – j2), или

где El — проекция вектора напряженности на направление перемещения; dl — перемещение.

В случае однородного поля последняя формула принимает вид

A=Q∙E∙l∙cosa,

где l — перемещение; a — угол между направлениями вектора и перемещения .

• Диполь есть система двух точечных электрических зарядов равных по размеру и противоположных по знаку, расстояние lме­жду которыми значительно меньше расстояния rот центра диполя до точек наблюдения.

Вектор проведенный от отрицательного заряда диполя к его положительному заряду, называется плечом диполя.

Произведение заряда |Q| диполя на его плечо называется электрическим моментом диполя:

.

· Напряженность поля диполя

или ,

где р — электрический момент диполя; r — модуль радиуса-вектора, проведенного от центра диполя к точке, напряженность поля в которой нас интересует; α- угол между радиусом-вектором и плечом диполя.

· Потенциал поля диполя

или

· Механический момент, действующий на диполь с электрическим моментом , помещенный в однородное электрическое поле с напряженностью

илиM=p∙E∙sin ,

где α- угол между направлениями векторов и .

В неоднородном электрическом поле кроме механического момента (пары сил) на диполь действует еще некоторая сила. В случае поля, обладающего симметрией относительно оси х,сила выражается соотношением

где — частная производная напряженности поля, характеризующая степень неоднородности поля в направлении оси х.

При сила Fхположительна. Это значит, что под действием ее диполь втягивается в область сильного поля.

• Потенциальная энергия диполя в электрическом поле

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/4_29354_potentsial-energiya-sistemi-elektricheskih-zaryadov-rabota-po-peremeshcheniyu-zaryada-v-pole.html

2.7. Энергия системы зарядов

Энергия cистемы электрических зарядов

Система заряженных тел обладает потенциальной энергией. Рассмотрим сначала два заряда  и  находящиеся на расстоянии  (рис. 2.19).  При удалении одного из зарядов на бесконечность сила взаимодействия между ними уменьшается до нуля.

Рис. 2.19. К определению энергии системы электрических зарядов

Для сближения зарядов на расстояние  необходимо совершить работу, которая идет на изменение потенциаль­ной энергии системы. Пусть заряд  из бесконечности приближается к заряду  на расстояние . Работа по его перемещению равна:

(2.32)

где  — потенциал поля, создаваемого зарядом  в той точке, в которую перемещается заряд , т. е.

(2.33)

Аналогично, можно считать, что из бесконечно удаленной точки приближался заряд :

(2.34)

Результаты оказались одинаковыми, поскольку одинаково конечное рас­положение зарядов. Следовательно, потенциальная энергия взаимодействия двух зарядов равна

(2.35)

или в симметричной форме

(2.36)

Теперь добавим к системе зарядов  и  третий заряд  (рис. 2.19), переносимый из бесконечности в точку, находящуюся от заряда  на расстоянии  и от заряда  на расстоянии . Соответствующая работа будет равна:

(2.37)

где  — потенциал, создаваемый зарядами  и  в точке, где находится заряд .

Потенциальная энергия взаимодействия трех зарядов равна:

(2.38)

Перепишем полученное соотношение в виде:

(2.39)

или в симметричной форме

(2.40)

Ясно, что для произвольной системы зарядов имеем

(2.41)

где  — потенциал в точке, где находится заряд , создаваемый всеми остальными зарядами, кроме .

Задача. Две одноименно заряженные частицы с зарядами  и  и массами  и  пущены с большого расстояния навстречу друг другу по соединяющей их прямой линии со скоростями  и , соответственно. Опреде­лить наименьшее расстояние  , на которое могут сблизиться частицы.

Решение.

Сначала ответим на вопрос: почему вообще существует минимально возможное расстояние сближения частиц, почему они не могут столкнуться друг с другом? Ответ прост: частицы отталкиваются вследствие закона Кулона и потенциальная энергия взаимодействия при  возрастает до бесконечности.

Начальной кинетической энергии частиц просто не хватит, чтобы преодолеть бесконечно высокий потенциальный барьер между ними. Рассмотрим процесс сближения частиц. По мере уменьшения расстояния  между ними растут силы отталкивания, тормозящие частицы.

Скорость сближения — относительная скорость частиц — уменьшается и в какой-то момент становится равной нулю. В это мгновение частицы движутся как единое целое, их скорости одинаковы (мы обозначим их ). Это и есть момент наибольшего сближения. Далее под влиянием отталкивания частицы снова начнут расходиться и в конечном итоге удалятся друг от друга.

Проанализировав процесс, примемся за уравнения. В начальном состоянии полный импульс частиц равен  (мы считаем, что первая частица движется в положительном направлении). В момент наибольшего сближения частицы движутся с одинаковой скоростью  (скоростью их центра масс) и импульс системы равен . Поскольку полный импульс сохраняется, находим скорости частиц в мо­мент наибольшего сближения: 

(2.42)

Теперь применим закон сохранения энергии. В начальный момент, когда частицы находятся бесконечно далеко друг от друга, полная энергия  складывается из их кинетических энергий:

(2.43)

В момент наибольшего сближения полная энергия равна сумме кинетиче­ских энергий частиц и потенциальной энергии кулоновского взаимодействия между ними:

(2.44)

Приравнивая правые части равенств (2.43) и (2.44) и подставляя выражение (2.42) для скорости , получаем в итоге соотношение

(2.45)

 Здесь   приведенная масса сталкивающихся частиц,   относительная скорость частиц,   кинетическая энергия их относительного движения. Из (2.45) для   получаем:

Источник: https://online.mephi.ru/courses/physics/electricity/data/course/2/2.7.html

Booksm
Добавить комментарий