Эффект Джоуля-Томпсона

24. Эффект Джоуля-Томсона

Эффект Джоуля-Томпсона

ЭффектДжоуля-Томсоназаключаетсяв изменении температуры газа при егостационарном адиабатическом протеканиичерез пористую перегородку.

Этот эффект объясняетсязависимостью внутренней энергииреального газа не только от температуры,но и от объёма, и наличием у молекулреального газа потенциальной энергиивзаимодействия.

Для идеального газаэффект Джоуля-Томсона отсутствует.

Вопытах Джоуля и Томсона (1852–1862) применяласьтеплоизолированная цилиндрическаятрубка (рис. 66).

В трубке между двумяметаллическими сетками помещалась изплотной ваты или шелка пробка, котораяпредставляла собой сопротивление дляпротекания газа – дроссель.

(В техникевместо пористой перегородки используютузкие отверстия – сопла.) Было установлено,что, если газ принудительно продавливатьчерез пористое тело, то его температураизменяется.

1.Если газ при продавливании охлаждалсяТ< 0 (Т2< Т1),то это положительныйэффект Джоуля-Томсона (наблюдается длябольшинства газов при комнатнойтемпературе).

2.Если газ при продавливании нагревалсяТ> 0 (Т2>Т1)– это отрицательныйэффект Джоуля-Томсона (наблюдается дляводорода и гелия при комнатнойтемпературе).

3.Возможен и нулевойэффект Джоуля-Томсона, когда температурагаза не изменяется.

Дляколичественной характеристикиэффектавводится дифференциальныйкоэффициентДжоуля-Томсона = T/p,который, например для воздуха, составляет0,25 град/атм.

Еслидавление и объём газа меняютсянезначительно, то это дифференциальныйэффектДжоуля-Томсона.

Втехнике используют интегральныйэффектДжоуля-Томсона (как сумма дифференциальныхэффектов), при котором давление изменяетсяв широких пределах (до 100–200 атм).

Поместимв теплоизолированную трубку воображаемыепоршни (рис. 67). Пусть 1 моль газа, имеющегодавление р1и объем V1,надо переместить через перегородку.Для этого над газом надо совершитьвнешнюю работу (– р1V1).Справа от перегородки газ расширяетсясам и совершает работу р2V2.Общая работа расширения газа равна

A= p2V2p1V1. (89)

Втеплоизолированной системе из первогоначала термодинамики следует, что

A= U= (U2U1). (90)

Подставивформулу (89) в уравнение (90), получим:

p2V2p1V1= U1U2, или

p1V1+ U1= p2V2+ U2. (91)

Функцияназываетсяэнтальпией(тепловой функцией,или теплосодержанием.

Энтальпи́я– это функциясостояния(иногда обозначается буквой I),которая при изобарическом процессеиграет такую же роль, какую приадиабатическом – внутренняя энергияU,а при изотермическом – свободная энергияF.Соотношение для энтальпии можно вывестииз первого начала термодинамики:

приp= const, Q= dU+ pdV = d(U+ pV)= dH.

Такимобразом, приращение энтальпии приизобарическом процессе равно количествутеплоты, полученному системой.

Дляидеального газаэнтальпия зависит только от температуры(U= СVT, pV= RT).Поэтому равенство H1= H2(см. уравнение (91)) означает Т1= Т2.

Дляреального газавнутренняя энергия зависит и от объёма,поэтому, в общем случае, температураизменяется (Т1Т2).

Используяграфик взаимной потенциальной энергиимолекул (рис. 68), рассмотрим эффектДжоуля-Томсона в газе Ван-дер-Ваальсадля двух идеализированных предельныхслучаев.

Вобласти Iгаз достаточно плотный и преобладаютсилы отталкивания. Поэтому в уравненииВан-дер-Ваальса можно пренебречь силамипритяжения (поправкой рВН= a/ V2):

p(V– b)= RT,

pV= RT + pb. (92)

Изуравнения (91) найдем изменение внутреннейэнергии:

U= U2– U1= p1V1– p2V2. (93)

Воспользуемсяуравнением (92):

U= RT1+ p1bRT2– p2b= R(T1– T2)+ b(p1– p2). (94)

Таккак разность температур Т1– Т2обычно мала, то первым слагаемым вуравнении (94) можно пренебречь. Во второмслагаемом р1– р2> 0, тогда U> 0 – внутренняя энергия возрастает.Следовательно, газ при дросселированиинагревается.

Вобласти IIгаз достаточно разряженный и преобладаютсилы притяжения молекул. Газ прирасширении совершает работу по преодолениюэтих сил. В результате его внутренняяэнергия, а следовательно, и температурадолжны уменьшаться. В самом деле, вобласти II в уравнении Ван-дер-Ваальсаможно пренебречь поправкой на собственныйобъём молекул b:

. (95)

Подставимуравнение (95) в уравнение (93):

. (96)

Первымслагаемым в уравнении (96) можно пренебречь.Во втором слагаемом V2>V1,поэтому U< 0 и газ охлаждается.

Рассмотримобщий случай.Мы имеем уравнение (91), т.е.

H1= H2 или p1V1+ U1= p2V2+ U2.

Вначальном состоянии 1 газ сильно сжат,и величины p1VU1следует находить из уравненияВан-дер-Ваальса:

, . (97)

Считаем,что в конечном состоянии 2 после расширениягаз достаточно разряжен и можновоспользоваться уравнениями идеальныхгазов для нахождения p2V2 и U2:

p2V2= RT2, U2= CVT2. (98)

Подставляяформулы (97) и (98) в уравнение (91), можновыразить величинуТ:

. (99)

Выражение(99) представляет собой общую формулудля изменения температуры газа придросселировании. Для нулевого эффектаДжоуля-Томсона справедливо выражениеТ= 0, и уравнение (99) можно преобразоватьк виду

. (100)

Графикфункциональной зависимости (100) показанна рис. 69и изображает кривуюинверсии,при пересечении которой изменяетсязнак эффекта Джоуля-Томсона. Криваяинверсии при V1 асимптотическистремится к значению Ti=2a/Rb.

Это наибольшее значение температуры,при котором возможно изменение знакаэффекта, называется температуройинверсииTi.Выше этой температуры эффект всегдаотрицательный (газ нагревается). Каквидно из рис.

69, для любого газа эффектДжоуля-Томсона может быть положительный,отрицательный или нулевой, если выбратьнеобходимые начальные условия ТV1.

Дляпримера приведем температуры инверсиидля некоторых газов: гелий – 40 К, водород– 200 К, кислород – 1063 К, углекислый газ– 2073 К.

Как видно из приведенных данных,водород при комнатных температурах придросселировании всегда нагревается.

Такое нагревание иногда приводило ккатастрофам, в которых сильно сжатыйводород самопроизвольно воспламенялсяпри истечении из щелей поврежденныхтрубопроводов.

Еслисопоставить выражение для температурыинверсии Tiс критической температурой TK=8a/(27Rb),то получается простое соотношениеTi = 27TK/4 = 6,75TK,которое удовлетворительно подтверждаетсяна опыте.

Источник: https://studfile.net/preview/1546622/page:25/

Джоуля — Томсона эффект — это… Что такое Джоуля — Томсона эффект?

Эффект Джоуля-Томпсона
        изменение температуры газа в результате медленного протекания его под действием постоянного перепада давления сквозь дроссель — местное препятствие потоку газа (капилляр, вентиль или пористую перегородку, расположенную в трубе на пути потока).

Течение газа сквозь дроссель (Дросселирование) должно происходить без теплообмена газа с окружающей средой (адиабатически).         Д. — Т. э. был обнаружен и исследован английским учёными Дж. Джоулем (См. Джоуль) и У. Томсоном в 1852—62.

В опытах Джоуля и Томсона измерялась температура в двух последовательных сечениях непрерывного и стационарного потока газа (до дросселя и за ним, рис. 1).

Значительное трение газа в дросселе (мелкопористой пробке из ваты) делало скорость газового потока ничтожно малой, так что при дросселировании кинетическая энергия потока была очень мала и практически не менялась. Благодаря низкой теплопроводности стенок трубы и дросселя теплообмен между газом и внешней средой отсутствовал.

При перепаде давления на дросселе Δp = p1 — р2, равном 1 атмосфере (1,01․105 н/м2), измеренная разность температур ΔT = T2 — T1 для воздуха составила — 0,25°С (опыт проводился при комнатной температуре). Для углекислого газа и водорода в тех же условиях ΔТ оказалась, соответственно, равной -1,25 и +0,02°С.

         Д. — Т. э. принято называть положительным, если газ в процессе дросселирования охлаждается (ΔТ < 0), и отрицательным, если газ нагревается (ΔТ > 0).

         Согласно молекулярно-кинетической теории строения вещества, Д. — Т. э. свидетельствует о наличии в газе сил межмолекулярного взаимодействия (обнаружение этих сил было целью опытов Джоуля и Томсона). Действительно, при взаимном притяжении молекул внутренняя энергия (U) газа включает как кинетическую энергию молекул, так и потенциальную энергию их взаимодействия.

Расширение газа в условиях энергетической изоляции не меняет его внутренней энергии, но приводит к росту потенциальной энергии взаимодействия молекул (поскольку расстояния между ними увеличиваются) за счёт кинетической. В результате тепловое движение молекул замедлится, температура расширяющегося газа будет понижаться. В действительности процессы, приводящие к Д. — Т. э., сложнее, т.к.

газ не изолирован энергетически от внешней среды. Он совершает внешнюю работу (последующие порции газа, справа от дросселя, теснят предыдущие), а слева от дросселя над самим газом совершают работу силы внешнего давления (поддерживающие стационарность потока). Это учитывается при составлении энергетического баланса в опытах Джоуля — Томсона.

Работа продавливания через дроссель порции газа, занимающей до дросселя объём V1, равна p1V1. Эта же порция газа, занимая за дросселем объём V2, совершает работу p2V2. Проделанная над газом результирующая внешняя работа A = p1V1 — p2V2 может быть как положительная, так и отрицательная. В адиабатических условиях она может пойти только на изменение внутренней энергии газа: A = U2 — U1.

Отсюда, зная уравнение состояния газа и выражение для U, можно найти ΔT.

         Величина и знак Д. — Т. э. определяются соотношением между работой газа и работой сил внешнего давления, а также свойствами самого газа, в частности размером его молекул.

         Для идеального газа, молекулы которого рассматриваются как материальные точки, не взаимодействующие между собой, Д. — Т. э. равен нулю.

         В зависимости от условий дросселирования один и тот же газ может как нагреваться, так и охлаждаться. Температура, при которой (для данного давления) разность ΔT, проходя через нулевое значение, меняет свой знак, называется температурой инверсии Д. — Т. э.

Типичная кривая зависимости температуры инверсии от давления показана на рис. 2. Кривая инверсии отделяет совокупность состояний газа, при переходе между которыми он охлаждается, от состояний, между которыми он нагревается. Значения верхних температур инверсии (Ti, max, рис.

2) для ряда газов приведены в таблице.

         Д. — Т. э., характеризуемый малыми значениями ΔT при малых перепадах давления Δр, называют дифференциальным. При больших перепадах давления на дросселе температура газа может изменяться значительно. Например, при дросселировании от 200 до 1 атмосферы и начальной температуре 17°С воздух охлаждается на 35°С. Этот интегральный эффект положен в основу большинства технических процессов сжижения газов (См. Сжижение газов).

         Лит.: Ландау Л. Д., Ахиезер А. И., Лифшиц Е. М., Курс общей физики. Механика и молекулярная физика, М., 1965; Ландау Л. Д., Лифшиц, Е. М., Статистическая физика, М., 1964 (Теоретическая физика, т. 5); Зоммерфельд А., Термодинамика и статистическая физика, пер. с нем., М., 1955; Леонтович М. А., Введение в термодинамику, 2 изд., М. — Л., 1952.

         И. А. Яковлев.

        ——————————————————————————————————————————————

        | Газ             | СО2          | Ar          | N2            | H2            | He              | Воздух      |

        |—————————————————————————————————————————————-|

        | Ti, max, K       | 1500         | 723        | 621         | 202         | 50            | 603             |

        ——————————————————————————————————————————————

        

        Рис. 1. Схема опыта Джоуля — Томсона. В теплоизолированной трубке создаётся стационарный проток газа. После прохождения газа через дроссель его давление p, уд. объём V и температура Т изменяются.

        

        Рис. 2. Кривая инверсии азота. В пределах кривой эффект Джоуля — Томсона положителен (ΔT < 0), вне кривой — отрицателен (ΔТ > 0). Для точек на самой кривой эффект равен нулю.

Источник: https://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/84174/%D0%94%D0%B6%D0%BE%D1%83%D0%BB%D1%8F

Эффект Джоуля – Томсона

Эффект Джоуля-Томпсона

Расширение газа при прохождении через так называемый дроссель – местное гидравлическое сопротивление (вентиль, кран, сужение трубопровода и т.п.), сопровождающееся изменением температуры носит название – дросселирование. Этот термодинамический процесс характеризуется постоянством энтальпии (Н = const).

Если во время расширения газа не совершается работа и не подводится и не отводится тепло, то этот процесс происходит при постоянной энтальпии.

Однако изменение потенциальной энергии взаимодействия молекул реального газа с изменением расстояний между ними приводит к изменению кинетической энергии хаотического теплового движения молекул, т. е. к изменению температуры газа.

Расширение газа без изменения количества теплоты происходит при постоянной энтальпии Н.

В частности, при движении флюидов через пористую среду из-за их адиабатического расширения и влияния дроссельного процесса возникают различного рода термические эффекты.

Например, адиабатическое расширение флюидов ( жидкость, газ) сопровождающееся понижением температуры в меньшей степени оказывает влияние на температурные изменения в пласте и на забое работающей скважины ввиду большой теплоёмкости Ср горных пород, а дроссельный процесс вызывает значительные температурные изменения на забое работающей скважины.

Эффектом Джоуля — Томсона называется изменение температуры реального газа в процессе его расширения. При охлаждении газа эффект считается положительным, при нагревании его — отрицательным.

Изменение температуры при снижении давления на 0,1 МПа (1 кгс/см2) называется коэффициентом Джоуля — Томсона. Этот коэффициент изменяется в широких пределах и может иметь положительный или отрицательный знак.

Различают дифференциальный и интегральный коэффициент Джоуля Томсона.

Дифференциальный эффект коэффициента Джоуля — Томсона, выражающийся через абсолютные параметры состояния газа

(15)

т. е. коэффициент Джоуля — Томсона равен частной производной от температуры по объёму при постоянной внутренней энергии.

Из уравнения (15) видно, что коэффициент Джоуля-Томсона состоит из двух слагаемых:

— охлаждение за счёт адиабатического расширения;

— нагревание вещества при движении за счёт сил трения.

Изменение температуры газа в процессе изоэнтальпийного расширения при значительном перепаде давления на дросселе называется интегральным дроссель эффектом.Это изменение определяется из соотношения следующего вида:

(16)

или из энтальпийных диаграмм.

Приближённо конечную температуру природного газа в процессе дросселирования можно рассчитать по выражению следующего вида

(17)

где

Для реальных газов коэффициент Джоуля Томсона получается из уравнения (14) и уравнения состояния

(18)

где — показатель адиабаты.

Как видно из уравнения (18) что если:

— положительно то < 0 и газ при дросселировании охлаждается;

— отрицательно, то > 0 и газ при дросселировании нагревается;

=0 то = 0 и газ имеет инверсии и кривая точек инверсии соответствует линии поворота сетки графиков коэффициента сверхсжимаемости углеводородных газов (см. нижнюю часть линий на рис.2 , лекция 5).

Фрагмент графической зависимости приведен на рисунке 6.

Рисунок 6 Фрагмент графической зависимости коэффициента сверхсжимаемости Z природных газов от приведенных давления и температуры.

Как видно из рисунка 6, значения температуры и давления инверсии высокие, что в большинстве случаев вызывает эффект охлаждения газа при его движении из пласта в скважину.

Следует заметить, что зависимость изменения температур от перепада давления для конкретного дроссельного процесса можно определить графическим способом из энтальпийной диаграммы (см. рис. 5).

Дифференциальные коэффициента Джоуля Томсона определяются при различных значениях давления Р как производные функции Т = f (Р) для данного значения давления и они обычно возрастают по мере падения давления.

Интегральный коэффициент Джоуля-Томсона для природного газа изменяется в пределах от 2 до 4 К/МПа в зависимости от состава газа, падения давления и начальной температуры газа. Для приближенных расчётов среднее значение коэффициента Джоуля — Томсона принимают равным 3 К/МПа. Для жидкостей справедливо следующее соотношение

и поэтому при дросселировании они нагреваются. Для наибольшего снижения температуры газа в штуцере необходимо производить удаление жидкости из газового потока до его поступления в штуцер. Интегральный коэффициент Джоуля – Томсона для нефти изменяется в пределах от 0,4 до 0,6 К/МПа а для воды он составляет 0,235 К/МПа.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/2_122733_effekt-dzhoulya--tomsona.html

Джоуля — Томсона эффект — Автоматизированная Интернет-система формирования баз данных репродуктивных и формализованных описаний естественнонаучных и научно-технических эффектов

Эффект Джоуля-Томпсона

Межотраслевая Интернет-система поиска и синтеза физических принципов действия преобразователей энергии

Общий каталог эффектов

  • Естественнонаучные эффекты (ЕНЭ)

Джоуля — Томсона эффект

Изменение температуры газа при расширении без теплообмена и совершении внешней работы

Анимация

Описание

Эффект Джоуля -Томсона заключается в изменении температуры реального газа в результате протекания его под действием постоянного перепада давления сквозь дроссель — местное препятствие потоку газа (капилляр, вентиль или пористую перегородку, расположенную в трубе на пути потока). Течение газа сквозь дроссель должно происходить без теплообмена с окружающей средой (адиабатически). В теплоизолированной трубке создается стационарный поток газа (рис. 1).

Схема опыта Джоуля — Томсона

Рис. 1

Прохождение газа через дроссель (мелкопористая пробка, например, из ваты) делает скорость газового потока малой. Давление газа р, объем V и температура Т изменяются.

Эффект Джоуля — Томсона принято называть положительным, если газ в процессе дросселирования охлаждается (DT < 0), и отрицательным, если газ нагревается (DT > 0). Согласно молекулярно-кинетической теории строения вещества эффект Джоуля — Томсона свидетельствует о наличии в газе сил межмолекулярного взаимодействия.

При взаимном притяжении молекул внутренняя энергия U газа включает как кинетическую, так и потенциальную энергию их взаимодействия. Расширение газа в условиях энергетической изоляции не меняет его внутренней энергии, но приводит к росту потенциальной энергии взаимодействия молекул (поскольку расстояния между ними увеличиваются) за счет кинетической энергии.

В результате тепловое движение молекул замедляется, температура расширяющегося газа будет понижаться.

В зависимости от условий дросселирования один и тот же газ может как нагреваться, так и охлаждаться.

Температуру, при которой разность температур (DT), проходя через нулевое значение, меняет свой знак, называют температурой инверсии эффекта Джоуля — Томсона. Кривая инверсии (рис.

2) отделяет совокупность состояний газа (Р,V,T), при расширении из которых он охлаждается, от состояний, при расширении из которых он нагревается. Ее характерный вид приведен на рис. 2.

Зависимость инверсии от давления

Рис. 2

Значения верхних температур инверсии (Тi mах) для некоторых газов приведены в таблице 1.

Таблица 1
Максимальная температура инверсии газов
ГазСО2АrN2H2HeВоздух
Тi mах, К190072362120250603

Ключевые слова

Разделы наук

  • Реальные газы
  • Термодинамика

Применение эффекта

В конце ХIХ века Дюаром и Линде было предложено использовать для охлаждения газов эффект Джоуля — Томсона. Этот принцип до сих пор широко используется в холодильной технике. С использованием дросселирования аммиака работают большинство промышленных холодильников.

Эффект Джоуля — Томсона нашел применение в криогенной технике.

При больших перепадах давления на дросселе температура газа может изменяться значительно. Например, при дросселировании от 20 до 0,1 МПа и начальной температуре 290 °К воздух охлаждается на 35 °К. Этот метод положен в основу большинства технических процессов сжижения газов.

Промышленное сжатие газов с критической температурой выше температуры окружающей среды (например, аммиак, хлор) осуществляется с последующей конденсацией газа в теплообменниках, охлаждаемых водой.

При дроссельном цикле сжижения газа (рис. 3) после сжатия в компрессоре газ последовательно охлаждается и затем расширяется (дросселируется) в вентиле.

Дроссельный цикл сжижения газа

Рис. 3

Обозначения:

1 — компрессор;

2 — сжатый газ;

3 — расширенный газ;

4 — теплообменник;

5 — вентиль;

6 — сборник.

При этом часть газа сжижается и скапливается в сборнике, а несжиживающийся газ направляется в теплообменники и охлаждает свежие порции сжатого газа.

Реализации эффекта

Техническая реализация

Простейший опыт понаблюдению эффекта Джоуля — Томсона состоит в прокачивании автомобильным насосом длинной (порядка метра) трубки, забитой ватным или матерчатым пыжом в середине. Охлаждение воздуха можно наблюдать по температурам соответствующих колен трубки, или непосредственно.

Литература

1. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей.- М.: Наука, 1972. — С. 720.

2. Фриш С.Э., Тиморева А.В. Курс общей физики. — М.: Физматгиз, 1959. — Т.1. — С. 464.

Источник: http://www.heuristic.su/effects/catalog/est/byId/description/1388/index.html

Эффект Джоуля-Томпсона

Эффект Джоуля-Томпсона

Прежде, чем перейти непосредственно к описанию эффекта, определимся с процессом, при котором он происходит.

Дросселированием газа называется процесс, при котором уменьшается его давление при адиабатном прохождении этим газом через узкое отверстие (или отверстия). Этот процесс необратим и сопровождается возрастанием энтропии. Энтальпия при этом не изменяется (в уравнении (1), например, это будет отражено индексом H).

Определение

Эффектом Джоуля — Томпсона называется процесс изменения температуры газа при дросселировании. Этот эффект можно описать дифференциальным уравнением, которое имеет вид:

\[{\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)}_H=\frac{1}{C_p}\left[T{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p-V\right]\left(1\right)\]

Это уравнение выполняется при небольшом перепаде давлений от p до p+dp.

Положительный и отрицательный эффект Джоуля-Томпсона

Эффект Джоуля — Томпсона может быть

отрицательным, когда:

\[T{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p-V 0(2);\]

положительным, если:

\[T{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p-V > 0,\ dT В том случае, если: \[T{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p-V=0,\ dT=0(4);\]

эффекта Джоуля Томпсона нет. В идеальном газе этого эффекта нет никогда.

В реальном газе всегда борются силы притяжения и отталкивания между частицами. Если давление изменяется, и средняя энергия взаимодействия молекул уменьшается, то температура газа растет. Этим определяется знак дифференциального эффекта.

Температуру, при которой эффект изменят знак, называют температурой инверсии, причем она имеет вид:

\[T_{inv}=V{\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)}_p\left(5\right).\]

Напомним, что индексы внизу за скобками означают постоянство той или иной величины в проходимом процессе.

Эффект Джоуля Томпсона можно записать в интегральном виде:

\[\triangle T=-\frac{\triangle U_p}{C_V}-\frac{\triangle \left(pV\right)}{C_V}\ \left(6\right),\]

где данный эффект наблюдается при конечном перепаде давления в дросселе. $\triangle U_p$- изменение потенциальной энергии взаимодействия молекул.

Знак интегрального эффекта также может быть различным. Он определяется знаком дифференциального эффекта в области изменения параметров, которые дают преимущественный вклад в эффект.

Количественно эффект Джоуля Томпсона характеризуется дифференциальным коэффициентом, с соответствующим названием, который определяется как:

\[{\alpha }_H={\left(\frac{dT}{dp}\right)}_H\left(7\right),\]

индекс H обозначает постоянство энтальпии.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Пример 1

Задание: Выведите формулу коэффициента Джоуля — Томпсона (Дж — Т).

Решение:

Запишем формулу — определение коэффициента Дж — Т:

\[{\alpha }_H={\left(\frac{dT}{dp}\right)}_H\left(1.1\right)\]

Так как мы знаем, что эффект Джоуля — Томпсона происходит при постоянной энтальпии, а энтальпия по определению:

\[H=U+pV\ \left(1.2\right),\]

следовательно, можно записать, что:

\[dH=d\left(U+pV\right)=0\ \left(1.3\right),\]

Проведем дифференцирование выражения энтальпии, получим:

\[d\left(U+pV\right)=dU+pdV+Vdp=0\ \left(1.4\right).\]

Так как мы знаем, что:

\[dU+pdV=TdS\ \left(1.5\right),\]

где $dS$- изменение энтропии, то перепишем (1.4) в виде:

\[TdS+Vdp=0\ (1.6)\]

Выразим dS через dT и dp, исходя из определения энтропии это довольно просто, поэтому в данном случае приведем результат:

\[dS=\frac{C_pdT}{T}-{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_pdp(1.7)\]

Подставим (1.7) в (1.6), получим:

\[C_pdT-T{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_pdp+Vdp=0\ (1.8)\]

Из (1.1) мы знаем, что искомый коэффициент есть производная температуры по давлению, поэтому перепишем уравнение (1.8) в виде:

\[C_p\frac{dT}{dp}-T{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p+V=0\ (1.9)\]

Из (1.9) выразим $\frac{dT}{dp}$, получим:

\[{\alpha }_H={\left(\frac{dT}{dp}\right)}_H=\frac{T{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p-V}{C_p}=\frac{V}{C_p}\left(\beta T-1\right)\ \left(1.10\right),\]

где $\beta =\frac{1}{V}{\left(\frac{?V}{?T}\right)}_p$ — коэффициент расширения газа. Все величины, которые входят в уравнение (1.10), могут быть измерены или рассчитаны.

Ответ: Формула коэффициента Джоуля — Томпсона имеет вид: ${\alpha }_H={\left(\frac{dT}{dp}\right)}_H=\frac{T{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p-V}{C_p}=\frac{V}{C_p}\left(\beta T-1\right).$

Пример 2

Задание: Получите формулу эффекта Джоуля — Томпсона для газа Ван-дер-Ваальса. Рассмотреть случай разреженного газа.

Решение:

За основу решения возьмем дифференциальную форму эффекта Джоуля — Топмсона:

\[{\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)}_H=\frac{1}{C_p}\left[T{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p-V\right]\ (2.1)\]

и вириальную форму уравнения Ван-дер-Ваальса:

\[pV=RT+\frac{RTb-a}{V}+RT\sum\limits{\infty }_{n=2}{\frac{{bn}}{Vn}}(2.2)\]

В случае разреженного газа в вириальном уравнении (2.2) можно оставить только линейные члены:

\[pV=RT+\frac{RTb-a}{V}\left(2.3\right).\]

Выразим из (2.3) объем:

\[V=\frac{RT}{p}+\frac{RTb-a}{pV}\ \left(2.4\right).\]

Во втором слагаемом уравнения (2.4) можно используя уравнение состояния идеального газа (для 1 моль) заменить pV на RT, так как в уравнение вносятся лишь поправки более высокого порядка по a и b, тогда (2.4) получим вид:

\[V=\frac{RT}{p}+\frac{RTb-a}{RT}=\frac{RT}{p}+b-\frac{a}{RT}\left(2.5\right)\]

Возьмем производную ${\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p:$

\[{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p=\frac{R}{p}+\frac{a}{RT2}\left(2.6\right)\]

следовательно, формула для дифференциального эффекта примет вид:

\[{\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)}_H=\frac{1}{C_p}\left[T{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p-V\right](2.7)\] \[{\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)}_H=\frac{1}{C_p}\left(\frac{TR}{p}+\frac{Ta}{RT2}-\frac{RT}{p}-b+\frac{a}{RT}\right)=\frac{1}{C_p}(\frac{2a}{RT}-b)(2.8)\]

Ответ: Формула эффекта Джоуля — Томпсона для газа Ван-дер-Ваальса имеет вид:

\[{\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)}_H=\frac{1}{C_p(\frac{2a}{RT}-b)}.\]

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/molekulyarnaya_fizika/effekt_dzhoulya-tompsona/

Booksm
Добавить комментарий