Движение твердого тела

Поступательное и вращательное движение

Движение твердого тела

Движение твердого тела разделяют на виды:

  • поступательное;
  • вращательное по неподвижной оси;
  • плоское;
  • вращательное вокруг неподвижной точки;
  • свободное.

Первые два из них – простейшие, а остальные представляют как комбинацию основных движений.

Поступательное криволинейное движение. Угол поворота тела

Определение 1

Поступательным называют движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в нем, двигается, оставаясь параллельной своему начальному направлению.

Прямолинейное движение является поступательным, но не всякое поступательное будет прямолинейным. При наличии поступательного движения путь тела представляют в виде кривых линий.

Рисунок 1. Поступательное криволинейное движение кабин колеса обзора

Теорема 1

Свойства поступательного движения определяются теоремой: при поступательном движении все точки тела описывают одинаковые траектории и в каждый момент времени обладают одинаковыми по модулю и направлению значениями скорости и ускорения.

Следовательно, поступательное движение твердого тела определено движением любой его точки. Это сводится к задаче кинематики точки.

Определение 2

Если имеется поступательное движение, то общая скорость для всех точек тела υ→ называется скоростью поступательного движения, а ускорение a→ — ускорением поступательного движения. Изображение векторов υ→ и a→ принято указывать приложенными в любой точке тела.

Понятие о скорости и ускорении тела имеют смысл только при наличии поступательного движения. В других случаях точки тела характеризуются разными скоростями и ускорениями.

Определение 3

Вращательное движение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси – это движение всех точек тела, находящихся в плоскостях, перпендикулярных неподвижной прямой, называемой осью вращения, и описывание окружностей, центры которых располагаются на этой оси.

Чтобы определить положение вращающегося тела, необходимо начертить ось вращения, вдоль которой направляется ось Az, полуплоскость – неподвижную, проходящую через тело и движущуюся с ним, как показано на рисунке 2.

Рисунок 2. Угол поворота тела

Положение тела в любой момент времени будет характеризоваться соответствующим знаком перед углом φ между полуплоскостями, который получил название угол поворота тела.

При его откладывании, начиная от неподвижной плоскости (направление против хода часовой стрелки), угол принимает положительное значение, против плоскости – отрицательное. Измерение угла производится в радианах.

Для определения положения тела в любой момент времени следует учитывать зависимость угла φ от t, то есть φ=f(t). Уравнение является законом вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

При наличии такого вращения значения углов поворота радиус-вектора различных точек тела будут аналогичны.

Вращательное движение твердого тела характеризуется угловой скоростью ω и угловым ускорением ε.

Уравнения вращательного движения получают из уравнений поступательного, используя замены перемещения S на угловое перемещение φ, скорость υ на угловую скорость ω, а ускорение a на угловое ε.

Вращательное и поступательное движение. Формулы

ПоступательноеВращательное
Равномерное
s=υ·tφ=ω·t
υ=constω=const
a=0ε=0
Равнопеременное
s=υ0t±at22φ=ω0t±ε·t22
υ=υ0±a·tω=ω0±ε·t
a=constε=const
Неравномерное
s=f(t)φ=f(t)
υ=dsdtω=dφdt
a=dυdt=d2sdt2ε=dωdt=d2φdt2

Задачи на вращательное движение

Пример 1

Дана материальная точка, которая движется прямолинейно соответственно уравнению s=t4+2t2+5. Вычислить мгновенную скорость и ускорение точки в конце второй секунды после начала движения, среднюю скорость и пройденный за этот промежуток времени путь.

Дано: s=t4+2t2+5, t=2 с.

Найти: s; υ; υ; α.

Решение

s=24+2·22+5=29 м.

υ=dsdt=4t3+4t=4·23+4·2=37 м/с.

υ=∆s∆t=292=14,5 м/с.

a=dυdt=12t2+4=12·22+4=52 м/с2.

Ответ: s=29 м; υ=37 м/с; υ=14,5 м/с; α=52 м/с2

Пример 2

Задано тело, вращающееся вокруг неподвижной оси по уравнению φ=t4+2t2+5. Произвести вычисление мгновенной угловой скорости, углового ускорения тела в конце 2 секунды после начала движения, средней угловой скорости и угла поворота за данный промежуток времени.

Дано: φ=t4+2t2+5, t=2 с.

Найти: φ; ω; ω; ε.

Решение

φ=24+2·22+5=29 рад.

ω=dφdt=4t3+4t=4·23+4·2=37 рад/с.

ω=∆φ∆t=292=14,5 рад/с.

ε=dωdt=122+4=12·22+4=52 рад/с2.

Ответ: φ=29 рад; ω=37 рад/с; ω=14,5 рад/с; ε=52 рад/с2.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/fizika/kinematika/postupatelnoe-i-vraschatelnoe-dvizhenie/

L13-1

Движение твердого тела

Лекция 13

Движения твердого тела

Равновесие твердого тела. Кинематика и динамика форм движений твердого тела. Вычисление моментов инерции. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Сведение плоского движения к поступательному и аксиальному движениям. Мгновенная ось вращения. Главные и свободные оси вращения твердого тела. Кинетическая энергия вращательного движения.

Многие прикладные задачи механики связаны с равновесием или с разнообразными движениями твердого тела. Исследование этих движений, вообще говоря, представляет достаточно сложную математическую задачу. Аналитическими методами они решаются лишь в относительно простых случаях. Здесь мы рассмотрим некоторые простейшие движения, причем, считая тело абсолютно твердым.

Исследование движений твердого тела в физике представляет интерес также с иной точки зрения. Ведь с твердым телом часто связывают систему отсчета. И знание ее возможных движений является весьма важным.

Мы уже установили, что твердое тело обладает шестью степенями свободы. Для исследования движений такой системы необходимо иметь шесть независимых скалярных (или двух векторных) уравнений. Таковыми являются уравнение движения центра инерции и уравнение моментов:

                                           (13.1)

.                                            (13.2)

Причем уравнение моментов можно применить как относительно произвольной неподвижной точки и центра инерции тела, так и относительно любой точки, мгновенная скорость которой параллельна скорости центра инерции тела. Заметим, что в правых частях этих уравнений входят лишь внешние силы. Внутренние силы никак не влияют на равновесие и движения тела.

Если на тело наложены связи, то, убывая число степеней свободы, они уменьшают и количество уравнений, описывающих его движения.

Равновесие твердого тела.

Для покоящегося твердого тела уравнения (13.1), (13.2) переходят в

                                              (13.3)

которые представляют необходимые, но недостаточные условия равновесия твердого тела, так как при их выполнении центр инерции может двигаться с постоянной скоростью, а само тело – вращаться с постоянной угловой скоростью.

Вопросами равновесия тел занимается отдельный раздел механики – статика.

Типы движения твердого тела.

Различаются следующие типы движения твердого тела:

поступательное,

— аксиальное,

— сферическое,

— плоское,

— произвольное.

Однако оказывается, основными являются поступательное и аксиальное типы движений, так как скоро увидим, что все остальные движения сводятся к этим двум.

Поступательным называется движение, при котором линии, соединяющие любые две точки твердого тела, перемешаются параллельно самим себе. Это простейший тип движения, при котором все точки твердого тела имеют одинаковые скорости, ускорения и описывают одинаковые траектории.

Поэтому исследование поступательного движения сводится к изучению движения его какой-либо точки, например его центра инерции. Следовательно, поступательное движение обладает тремя степенями свободы и описывается уравнением движения центра инерции (13.

1), с помощью которого, имея начальные условия, находим закон движения.

Основные формулы, описывающие поступательное движение, являются:

                  (13.4)

Аксиальным называется движение тела вокруг неподвижной оси. Очевидно, при этом все точки описывают окружности, центры которых лежат на неподвижной оси, которая называется осью вращения.

Кинематика аксиального движения.

Если описание кругового движения материальной точки можно осуществить «линейными» кинематическими характеристиками , не прибегая к угловым величинам , то при описании аксиального движения твердого тела нельзя обойтись без введения последних. Дело в том, что разные точки вращающегося тела характеризуются разными значениями , в то время как все они имеют одинаковые  и . Что касается линейным параметрам, то они связаны с угловыми параметрами формулами

                                                (13.5)

и характеризуют движения отдельных точек, а не вращения тела в целом.

Динамика аксиального движения. Аксиальное движение обладает одной степенью свободы. Закон движения

                                                           (13.6)

определяется решением основного уравнения динамики вращательного движения

,                                                         (13.7)

где  – момент инерции тела и момент внешних сил относительно оси вращения соответственно, а

                                                      (13.8)

— проекции углового ускорения и угловой скорости на ось вращения.

Задавая начальные условия движения  и , по известному моменту внешних сил и решая уравнения (13.7) и (13.8), получим соответствующий закон движения (13.6).

Момент импульса (угловой момент  ) и кинетическая энергия аксиального движения тела, как показали ранее, выражаются формулами

                    ,                                       (13.9)

где  — момент инерции тела относительно неподвижной оси.

Аналогия формул, описывающих поступательное и аксиальное движения очевидна. Заменой  из формул поступательного движения получаем соответствующие формулы аксиального движения и наоборот.

Сферическим называется движение тела с одной неподвижной точкой. Такое тело может совершить лишь независимые вращения вокруг трех взаимно перпендикулярных осей, проходящих через неподвижную точку О. Так что сферическое движение обладает тремя степенями свободы и описывается уравнениями моментов (13.2) относительно неподвижной точки.

Более удобными для применения представляются эти уравнения, написанные относительно вращающейся с твердым телом системе отсчета. Они называются уравнениями Эйлер, которые выходят за рамки курса общей физики.

Здесь мы ограничимся лишь доказательством теоремы Эйлера, которая твердит, что в любой момент времени сферическое движение можно представить как аксиальное движение вокруг некоторой мгновенной оси, проходящей через закрепленную точку.

Рис. 13.1

Пусть тело участвует в двух вращениях – с угловой скоростью  вокруг оси ОА, которая в свою очередь вращается с угловой скоростью  вокруг оси ОВ (рис.13.1а ). За элементарный промежуток времени  некоторая точка D тела в результате этих вращений совершит перемещения

.

В итоге эта точка относительно неподвижной точки О переместится на

что соответствует вращению тела с угловой скоростью

направленной вдоль мгновенной оси ОМ (рис.13.1б ). Полученный результат можно обобщить в случае произвольного числа вращений. Т.е. если тело одновременно участвует в n вращениях с угловыми скоростями   вокруг разных осей, проходящих через неподвижную точку О, то такое движение равносильно вращению тела с угловой скоростью

,

которая в данный момент времени  дает положение мгновенной оси в пространстве.

Источник: http://www.rau.am/fiz_osnovy_mexaniki/Lections/L13/L13-1.htm

Магия тензорной алгебры: Часть 6 — Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости

Движение твердого тела
Что такое угловая скорость? Скалярная или векторная величина? На самом деле это не праздный вопрос. Читая лекции по теоретической механике в университете, я, следуя традиционной методике изложения курса кинематики, вводил понятие угловой скорости в теме «Скорость точки тела при вращательном движении».

И там угловая скорость впервые появляется как скалярная величина, со следующим определением.

Угловая скорость твердого тела — это первая производная от угла поворота тела по времени

А вот потом, при рассмотрении каноничной формулы Эйлера для скорости точки тела при вращении обычно дается следующее определениеУгловая скорость тела — это псевдовектор, направленный вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение выглядит происходящим против часовой стрелки
Ещё одно частное определение, которое, во-первых, утверждает неподвижность оси вращения, во-вторых навязывает рассмотрение лишь правой системы координат. И наконец термин «псевдовектор» обычно объясняется студентам так: «Посмотрите, ведь мы показали, что омега — скалярная величина. А вектор мы вводим для того, чтобы выписать формулу Эйлера». При рассмотрении сферического движения оказывается потом, что ось вращения меняет направление, угловое ускорение направлено по касательной к годографу угловой скорости и так далее. Неясности и вводные допущения множатся. Учитывая уровень подготовки школьников, а так же вопиющую глупость, допускаемую в программах подготовки бакалавров, когда теормех начинается с первого (вдумайтесь!) семестра, такие постепенные вводные, на палках, веревках и желудях наверное оправданы. Но мы с вами заглянем, что называется, «под капот» проблемы и, вооружившись аппаратом тензорного исчисления, выясним, что угловая скорость — это псевдовектор, порождаемый антисимметричным тензором второго ранга. Думаю для затравки вполне достаточно, а поэтому — начнем!

1. Свободное движение твердого тела. Тензор поворота

Итак, как известно из традиционного вузовского курса теормехаЕсли движение, совершаемо телом не ограничено связями, то такое его движение называют свободным

Это — самый общий случай движения тела.

Следующий рисунок иллюстрирует тот факт, что свободное движение тела можно представить как сумму двух движений: поступательного вместе с полюсом и сферического вокруг полюса. Рис. 1. Обычная иллюстрация из курса теоретической механики: определение положения свободного твердого тела в пространстве.

Напомню, что речь идет об абсолютно твердом теле, то есть теле, расстояния между точками которого не изменяется с течением времени. Ещё можно сказать, что твердое тело представляет собой неизменяемую механическую систему.

Как видно из рисунка 1, обычной практикой является рассмотрение двух систем координат — одна считается неподвижной и называется базовой, другая жестко связанна с телом и поворачивается относительно базовой вместе с ним. Такую систему координат называют связанной.

Сначала я тоже хотел ограничиться декартовыми координатами. Но тогда бы мои читатели задали бы мне логичный вопрос — «а зачем тогда тут тензоры?». Поэтому, потратив четыре для в мучительных раздумьях и «нагуляв» окончательное решение пару часов назад, я решил замахнуться на «Вильяма, нашего, Шекспира» и изложить дальнейшие рассуждения в криволинейных координатах. Рис. 2. Ориентация твердого тела в локальном базисе.

Пусть положение полюса задается вектором

Причем под этим вектором не следует понимать радиус-вектор, так как в криволинейных координатах такое понятие бессмысленно.

В точке O1 задан локальный репер базовой системы координат, образованный тройкой векторов . С движущимся телом связан подвижный репер . Поворот связанного репера относительно базового можно задать линейным оператором. Получим этот оператор и исследуем его свойства

Рассмотрим некоторую точку M, принадлежащую телу. К ней из полюса можно провести вектор неподвижный относительно связанного репера. Его можно разложить по векторам этого репера

и по векторам базового репера Каждый вектор связанного репера можно разложить через векторы базового репера Подставляем (4) в (2) и сравниваем с (3)
Из (5) понятно, что компоненты вектора в базовой системе координат, пересчитываются через его компоненты в связанной системе путем применения линейного оператора или в безиндексной форме где столбцы матрицы
– контравариантные компоненты векторов связанного репера по отношению к базовому. Точка, как мы уже отмечали в прошлой статье, обозначает умножение тензоров с последующей сверткой по соседней паре индексов. Линейный оператор
действует на векторы таким образом, что поворачивает их относительно некоторой оси, не меняя длины и угла между векторами. Такое преобразование пространства называется ортогональным. Для того, чтобы таковое преобразование было возможным, оператор (7) должен обладать вполне определенными свойствами. Если длина векторов базиса и углы между ними не меняются, то это означает равенство всех попарных скалярных произведений векторов репера как в базовой, так и в связанной системах координат Правая часть (8) — это локальный метрический тензор
или
Оператор является по сути обыкновенной матрицей поворота координатной системы. И (10) утверждает, что если транспонированную матрицу поворота умножить на метрический тензор, а результат умножить на матрицу поворота мы получим снова метрический тензор. Можно сделать вывод, что
Преобразование координат при повороте является тождественным для метрического тензора, то есть переводит метрический тензор сам в себя.

В выражении (10) нетрудно увидеть преобразование метрического тензора про смене системы координат, о котором мы подробно говорили в самой первой статье цикла Стоп! Но мы же знаем, что матрицы поворота обычно ортогональны, то есть произведение матрицы поворота на её транспонированную дает единичную матрицу, иными словами, чтобы обратить матрицу поворота её достаточно транспонировать. Но ортогональность свойственна матрицам поворота, преобразующим ортонормированный декартов базис. Здесь мы имеем дело с локальным базисом, при повороте которого должны сохранятся длины векторов и углы между ними. Если мы примем базис декартовым, то из (10) мы получим привычные свойства матрицы поворота, к примеру её ортогональность.

Для дальнейших вычислений нам потребуется знать, как будет выглядеть матрица обратного преобразования, то есть . Что же, посмотрим. Для этого умножим (10) слева на и справа на

откуда незамедлительно получаем Выходит, что матрица обратного преобразования действительно получается из транспонированной матрицы преобразования, но с участием метрического тензора. Выражения (10) и (11) очень пригодятся нам, а пока сделаем некоторые выводы. Закон свободного движения твердого тела можно выписать в криволинейных координатах в виде системы уравнений

При этом (12) — закон движения полюса, а (13) — закон сферического движения тела вокруг полюса. При этом (13) — тензор ранга (1,1), называемый тензором поворота.

2. Скорость точки тела при свободном движении. Угловая скорость выходит на сцену

Вычислим скорость точки M, положение которой в связанной системе координат задается постоянными, в силу твердости тела, криволинейными координатами Из курса теоретической механики известна формула, определяющая скорость точки тела в данном движении
где — скорость полюса; — скорость точки вокруг полюса.

Так как все координаты, кроме (13) определены относительно базового репера, мы можем записать Индекс в круглых скобках означает систему координат, в которой берутся компоненты (0 — базовая, 1 — связанная).

Дифференцируем (15) по времени с учетом (13)
Перейдем в (16) к связанной системе координат, домножив (15) слева на
где — компонента оператора обратного преобразования .

Теперь сравним (17) и (14). В последнем слагаемом должно вылезти векторное произведение.

Вспоминая определение векторного произведения через тензор Леви-Чивиты, данное во второй статье цикла, замечаем, что на выходе оно дает ковектор, поэтому в (17) перейдем к ковариантым компонентам, домножив это выражение на метрический тензор слева

Теперь представим себе, как выглядел бы ковектор скорости точки относительно плюса, записанный через вектор угловой скорости при этом замечая, что
антисимметричный тензор второго ранга, о котором мы говорили в прошлой статье

Источник: https://habr.com/post/262129/

Движение твердого тела

Движение твердого тела

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Я лекция. Механика твердого тела

Движение центра масс твердого тела. Момент импульса твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

Момент инерции. Теорема Штейнера. Уравнение динамики для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Условия равновесия твердого тела.

Во введении мы познакомились с двумя основными видами движения твердого тела — поступательным и вращательным.

При поступательном движении все точки тела получают за один и тот же промежуток времени равные по величине и направлению перемещения, вследствие чего скорости и ускорения всех точек в каждый момент времени оказываются одинаковыми. Поэтому достаточно определить движение одной из точек тела (например, его центра инерции) для того, чтобы охарактеризовать полностью движение всего тела.

При вращательном движении все точки твердого тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Для описания вращательного движения нужно задать положение в пространстве оси вращения и угловую скорость тела в каждый момент времени.

Оказывается, что любое движение твердого тела может быть представлено как наложение двух указанных выше основных видов движения. Покажем это для случая плоского движения, т. е. такого, при котором все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях. Примером плоского движения может служить качение цилиндра по плоскости (рис. 82).

Произвольное перемещение твердого тела из положения 1 в положение 2 (рис. 83) можно представить как сумму двух перемещений — поступательного перемещения из положения 1 в положение 1' или 1» и поворота вокруг оси О' или оси О''.

Очевидно, что такое разбиение перемещения на поступательное и вращательное может быть осуществлено бесчисленным множеством способов, однако в любом случае производится поворот на один и тот же угол φ.

В соответствии со сказанным выше элементарное перемещение какой-либо точки тела ds можно разложить на два перемещения — «поступательное» dsn и «враща­тельное» dsв

причем dsn для всех точек тела одно и то же.

Такое разложение перемещения ds можно, как мы видели, осуществить различными способами, причем в каждом случае вращательное перемещение dsв осуществляется

поворотом тела на один и тот же угол dφ (но относительно различных осей), в то время как dsn и dsв оказываются различными.

Разделив ds на соответствующий промежуток времени dt, получим скорость точки v:

где v0 — одинаковая для всех точек тела скорость поступательного движения и v' — различная для разных точек тела скорость, обусловленная вращением.

Таким образом, плоское движение твердого тела можно представить как сумму двух движений — поступательного со скоростью v0 и вращательного с угловой скоростью ω (вектор ω на рис.

82 направлен перпендикулярно к плоскости чертежа, за чертеж).

Подобное представление сложного движения можно осуществить множеством способов, отличающихся значениями v0 и v', но соответствующих одной и той же

угловой скорости ω. Например, движение цилиндра, катящегося без скольжения по плоскости (рис. 82), можно представить как поступательное движение со скоростью v0 и одновременное вращение с угловой скоростью ω вокруг оси О, либо как поступательное движение со скоростью v0'' = 2v0 и вращение с той же угловой скоростью ω вокруг оси О«, либо, наконец, как одно только вращение опять-таки с той же угловой скоростью ω и вокруг оси О'.

Назвав систему отсчета, относительно которой мы рассматриваем сложное движение твердого тела, неподвижной, движение тела можно представить как вращение с угловой скоростью ω в системе отсчета, которая движется относительно неподвижной системы поступательно со скоростью v0.

Линейная скорость v' точки с радиусом-вектором r, обусловленная вращением твердого тела, равна (рис. 84)

Следовательно, скорость этой точки при сложном движении тела может быть представлена в виде

Существуют такие точки (они могут лежать в пределах тела, либо вне его), которые, участвуя в обоих движениях— поступательном и вращательном, будут неподвижными. В самом деле, при заданных v0 и ω всегда можно найти такое r, что (34.

1) будет равно нулю. Пусть в данный момент движущаяся поступательно система отсчета имеет скорость v0 (рис. 85). Тело в этой системе вращается с угловой скоростью ω в направлении, указанном стрелкой.

Скорость v', обусловленная вращением, имеет для различных точек значения, показанные на рисунке. Для точки О' скорости v0 и v' равны по величине и противоположны по направлению.

Следовательно, скорость этой точки относительно неподвижной системы отсчета равна нулю.

Вместе с тем, если имеется хотя бы один вектор r, который при векторном перемножении с ω даст вектор,

равный — v0, то существует еще ряд векторов, которые при векторном перемножении ω дают такой же результат; векторное произведение ω на любой из изображенных на рис. 86 векторов r имеет одинаковую величину и направление.

Точки, определяемые этими радиусами-векторами, будут в рассматриваемый момент времени неподвижными. Эти точки, как видно из рисунка, лежат на одной прямой и образуют так называемую мгновенную ось вращения.

Положение мгновенной оси вращения относительно неподвижной системы отсчета и относительно самого тела, вообще говоря, меняется со временем. В случае катящегося цилиндра (рис.82) мгновенная ось О' совпадает с линией касания цилиндра с плоскостью.

При качении цилиндра мгновенная ось перемещается как по плоскости (т. е. относительно неподвижной системы отсчета), так и но поверхности цилиндра.

Источник: https://studopedia.su/2_14534_dvizhenie-tverdogo-tela.html

1.23. Вращение твердого тела

Движение твердого тела

Для кинематического описания вращения твердого тела удобно использовать угловые величины: угловое перемещение Δφ, угловую скорость ω
и угловое ускорение ε

В этих формулах углы выражаются в радианах. При вращении твердого тела относительно неподвижной оси все его точки движутся с одинаковыми угловыми скоростями и одинаковыми угловыми ускорениями. За положительное направление вращения обычно принимают направление против часовой стрелки.

Рисунок 1.23.1.Вращение диска относительно оси, проходящей через его центр O

При малых угловых перемещениях Δφ модуль вектора линейного перемещения некоторого элемента массы Δm вращающегося твердого тела выражается соотношением:
где r – модуль радиус-вектора (рис. 1.23.1). Отсюда следует связь между модулями линейной и угловой скоростей:
и между модулями линейного и углового ускорения:

Векторы и направлены по касательной к окружности радиуса r. Следует вспомнить, что при движении тела по окружности возникает также нормальное или центростремительное ускорение, модуль которого есть

Разобьем вращающееся тело на малые элементы Δmi. Расстояния до оси вращения обозначим через ri, модули линейных скоростей – через υi. Тогда кинетическую энергию вращающегося тела можно записать в виде:

Физическая величина зависит от распределения масс вращающегося тела относительно оси вращения. Она называется моментом инерции I тела относительно данной оси:

В пределе при Δm → 0 эта сумма переходит в интеграл. Единица измерения момента инерции в СИ – килограмм-метр в квадрате (кг∙м2). Таким образом, кинетическую энергию твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси, можно представить в виде

Эта формула очень похожа на выражение для кинетической энергии поступательно движущегося тела только теперь вместо массы m в формулу входит момент инерции I, а вместо линейной скорости υ – угловая скорость ω.

Момент инерции в динамике вращательного движения играет ту же роль, что и масса тела в динамике поступательного движения. Но есть и принципиальная разница. Если масса – внутреннее свойство данного тела, не зависящее от его движения, то момент инерции тела зависит от того, вокруг какой оси оно вращается. Для разных осей вращения моменты инерции одного и того же тела различны.

Во многих задачах рассматривается случай, когда ось вращения твердого тела проходит через его центр массы. Положение xC, yC центра масс для простого случая системы из двух частиц с массами m1 и m2, расположенными в плоскости XY в точках с координатами x1, y1 и x2, y2 (рис. 1.23.2), определяется выражениями:

Рисунок 1.23.2.Центр масс C системы из двух частиц

В векторной форме это соотношение принимает вид:

Аналогично, для системы из многих частиц радиус-вектор центра масс определяется выражением

Для сплошного тела суммы в выражении для заменяются интегралами. Легко видеть, что в однородном поле тяготения центр масс совпадает с центром тяжести.

Если в однородном поле тяготения твердое тело сложной формы подвесить за центр масс, то оно будет находиться в безразличном состоянии равновесия.

Поэтому положение центра масс тела сложной формы можно практически определить путем последовательного подвешивания его за несколько точек и отмечая по отвесу вертикальные линии (рис. 1.23.3).

Рисунок 1.23.3.Определение положения центра масс C тела сложной формы. A1, A2, A3 точки подвеса

Равнодействующая сил тяжести в однородном поле тяготения приложена к центру масс тела. Если тело подвешено за центр масс, то оно находится в состоянии безразличного равновесия (см. §1.14).

Любое движение твердого тела можно представить как сумму двух движений: поступательного движения со скоростью центра масс тела и вращения относительно оси, проходящей через центр масс.

Примером может служить колесо, которое катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности (рис. 1.23.4). При качении колеса все его точки движутся в плоскостях, параллельных плоскости рисунка.

Такое движение называется плоским.

При плоском движении кинетическая энергия движущегося твердого тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения относительно оси, проходящей через центр масс тела и перпендикулярной плоскостям, в которых движутся все точки тела:

где m – полная масса тела, IC – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Рисунок 1.23.4.Качение колеса как сумма поступательного движения со скоростью  и вращения с угловой скоростью относительно оси O, проходящей через центр масс

В механике доказывается теорема о движении центра масс: под действием внешних сил центр масс любого тела или системы взаимодействующих тел движется как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы.

Иллюстрацией этого утверждения может служить рис. 1.23.5, на котором изображено движение тела под действием силы тяжести. Центр масс тела движется по параболической траектории как материальная точка, в то время как все другие точки движутся по более сложным траекториям.

Рисунок 1.23.5.Движение твердого тела под действием силы тяжести

Если твердое тело вращается относительно некоторой неподвижной оси, то его момент инерции I можно выразить через момент инерции IC этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной первой.

Рисунок 1.23.6.К доказательству теоремы о параллельном переносе оси вращения

Рассмотрим сечение твердого тела произвольной формы, изображенное на рис. 1.23.6. Выберем координатную систему XY с началом координат O в центре масс C тела.

Пусть одна из осей вращения проходит через центр масс C, а другая через произвольную точку P, расположенную на расстоянии d от начала координат. Обе оси перпендикулярны плоскости чертежа.

Пусть Δmi – некоторый малый элемент массы твердого тела. По определению момента инерции:

Выражение для IP можно переписать в виде:

Поскольку начало координат совпадает с центром масс C, последние два члена обращаются в нуль. Это следует из определения центра масс. Следовательно,
где m – полная масса тела. Этот результат называют теоремой Штейнера (теоремой о параллельном переносе оси вращения).

Модель. Момент инерции

На рис. 1.23.7 изображены однородные твердые тела различной формы и указаны моменты инерции этих тел относительно оси, проходящей через центр масс.

Рисунок 1.23.7.Моменты инерции IC некоторых однородных твердых тел

Второй закон Ньютона может быть обобщен на случай вращения твердого тела относительно неподвижной оси. На рис. 1.23.8 изображено некоторое твердое тело, вращающееся относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через точку O.

Выделим произвольный малый элемент массы Δmi. На него действуют внешние и внутренние силы.

Равнодействующая всех сил есть Ее можно разложить на две составляющие: касательную составляющую и радиальную Радиальная составляющая создает центростремительное ускорение an.

Рисунок 1.23.8.Касательная и радиальная составляющие силы действующей на элемент Δmi твердого тела

Касательная составляющая вызывает тангенциальное ускорение массы Δmi. Второй закон Ньютона, записанный в скалярной форме, дает

Δmiaiτ = Fiτ = Fi sin θ  или  Δmiriε = Fi sin θ,

где – угловое ускорение всех точек твердого тела.

Если обе части написанного выше уравнения умножить на ri, то мы получим:

Здесь – плечо силы   – момент силы.

Теперь нужно аналогичные соотношения записать для всех элементов массы Δmi вращающегося твердого тела, а затем просуммировать левые и правые части. Это дает:

Стоящая в правой части сумма моментов сил, действующих на различные точки твердого тела, состоит из суммы моментов всех внешних сил и суммы моментов всех внутренних сил.

Но сумма моментов всех внутренних сил согласно третьему закону Ньютона равна нулю, поэтому в правой части остается только сумма моментов всех внешних сил, которые мы будем обозначать через M. В итоге:

Это и есть основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела. Угловое ускорение ε и момент сил M в этом уравнении являются величинами алгебраическими. Обычно за положительное направление вращения принимают направление против часовой стрелки.

Возможна и векторная форма записи основного уравнения динамики вращательного движения, при которой величины , , определяются как векторы, направленные по оси вращения.

При изучении поступательного движения тел вводится понятие импульса тела (см. §1.16). Аналогично, при изучении вращательного движения вводится понятие момента импульса.

Моментом импульса вращающегося тела называют физическую величину, равную произведению момента инерции тела I на угловую скорость ω его вращения. Момент импульса обозначается буквой L:

Поскольку уравнение вращательного движения можно представить в виде:

Окончательно будем иметь:

Это уравнение, полученное здесь для случая, когда I = const, справедливо и в общем случае, когда момент инерции тела изменяется в процессе движения.

Если суммарный момент M внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса L = Iω относительно данной оси сохраняется:

Следовательно,

Это и есть закон сохранения момента импульса. Иллюстрацией этого закона может служить неупругое вращательное столкновение двух дисков, насажанных на общую ось (рис. 1.23.9).

Рисунок 1.23.9.Неупругое вращательное столкновение двух дисков. Закон сохранения момента импульса: I1ω1 = (I1 + I2)ω

Закон сохранения момента импульса справедлив для любой замкнутой системы тел. Он выполняется, например, при движении планет по эллиптическим орбитам вокруг Солнца (второй закон Кеплера).

Уравнение вращательного движения тела можно записывать не только относительно неподвижной или равномерно движущейся оси, но и относительно оси, движущейся с ускорением.

Основное уравнение динамики вращательного движения не изменяет своего вида и в случае ускоренно движущихся осей при условии, что ось вращения проходит через центр массы тела и что ее направление в пространстве остается неизменным. Примером может служить качение тела (обруч, цилиндр, шар) по наклонной плоскости с трением (рис. 1.23.10).

Рисунок 1.23.10.Качение симметричного тела по наклонной плоскости

Ось вращения O проходит через центр масс тела. Моменты силы тяжести и силы реакции относительно оси O равны нулю. Момент M создает только сила трения: M = FтрR.

Уравнение вращательного движения:
где ε – угловое ускорение катящегося тела, a – линейное ускорение его центра масс, IC – момент инерции относительно оси O, проходящей через центр масс.

Второй закон Ньютона для поступательного движения центра масс записывается в виде:

Исключая из этих уравнений Fтр, получим окончательно:

Из этого выражения видно, что быстрее будет скатываться с наклонной плоскости тело, обладающее меньшим моментом инерции. Например, у шара а у сплошного однородного цилиндра Следовательно, шар будет скатываться быстрее цилиндра.




Лучшие школы, лагеря, ВУЗы за рубежом
купить модульную мебель в минске
mebelmax.by
Математика, Аннглийский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: online подготовка к ЕГЭ на College.ru, библиотека ЭОРов и обучающие программы на Multiring.ru.

Источник: https://physics.ru/courses/op25part1/content/chapter1/section/paragraph23/theory.html

Виды движения твердых тел

Различают основные виды движения твердых тел:

  • вращательное;
  • поступательное;
  • плоское;
  • свободное;
  • сферическое.

При вращательном движении твердого тела все точки, которые лежат на определенной прямой, что носит название ось вращения, остаются в неподвижном состоянии. Как пример, движение двери, когда ее открывают или закрывают.

Рисунок 2. Плоское движение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Поступательное движение характеризуется наличием прямой, которая соединяет любые две точки тела. Эта прямая перемещается, но при этом остается в параллельном положении по сравнению со своим первоначальным состоянием в пространстве. Такое движение совершает транспортное средство, которое движется вдоль железнодорожных путей.

При плоском движении твердого тела все точки определенного объекта должны двигаться в плоскостях, которые идут параллельно определенной плоскости, однако при этом сама плоскость остается в неподвижном состоянии в рассматриваемой системе отсчета. Такое движение характерно для колеса, что совершает вращение вокруг своей оси во время поездки по прямому участку дороги.

Свободное движение твердого тела представляют в виде свободного произвольного движения объекта. Оно может сочетать признаки вращательного, поступательного, плоского и сферического движения вместе.

При сферическом движении одна из точек тела должна всегда оставаться в неподвижном состоянии все время. Его можно представить в виде гироскопа.

Рисунок 3. Поступательное движение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Основными движениями твердых тел в естественных условиях являются поступательное и вращательное движение. Все остальные представленные виды движения сводятся к одному из основных движений или их совокупности в определенный отрезок времени.

Движение центра инерции твердого тела

Движение твердого тела представляют в виде результата суммы поступательного и вращательного движений. При этом любая произвольная точка твердого тела будет испытывать перемещение.

Это перемещение будет одинаковым во всех точках тела. Если разделить его на определенный промежуток времени, то можно вычислить скорость этой точки.

Она будет одинакова для всех точек при поступательном движении.

Каждое твердое тело возможно представить в виде определенной совокупности материальных точек. Между ними расстояние будет неизменным. Известно, что любая точка тела может осуществлять движение под действием различных внутренних и внешних усилий. Это движение соответствует Второму закону Ньютона.

В твердом теле центр масс движется таким же образом как производит движение материальная точка массы, когда на нее действует внешняя сила. Подобное движение твердого тела вычисляется несколькими уравнениями.

При рассмотрении движения тела вокруг неподвижной оси необходимо взять любое произвольное тело, у которого ось вращения будет закреплена в неподвижных частях.

После этого можно разбить тело на элементарные массы и вычислить модуль момента импульса. Момент импульса исследуемого тела будет относителен оси.

Сумма произведений элементарных масс на квадрат до расстояния выбранной произвольным способом оси будет заключать в себе понятие момента инерции всего тела.

Сложное движение точки

Движение, при котором точка одновременно участвует в нескольких параллельных движениях, является сложным движением. В таком движении тела положение точки можно определить относительно неподвижной или подвижной системы отсчета.

Переносным движением точки можно назвать такое движение тела, при котором движение этой точки в подвижной системе отсчета полностью совпадает в определенный момент с движением точки относительно неподвижной системы отсчета.

Относительное движение определяется, как движение точки относительно подвижной системы отсчета. Для разных видов движения устанавливаются собственные параметры.

Отсюда можно понять, как обозначается сложное движение точки. Его также принято называть абсолютным движением тела. Оно определяется, как движение точки относительно неподвижной системы отсчета в целом.

Пример 1

Ярким примером подобного вида движения твердого тела можно считать момент передвижения человека, находящегося в движущемся по дороге транспорте. Движение человека в этой системе отсчета будет отнесено к подвижной и неподвижной системе координат. Ими можно считать сам транспорт и дорогу, которая остается неподвижной относительно движущихся транспорта и человека.

Импульс тела

Рисунок 4. Импульс тела. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В основе движения твердого тела лежат основные законы механики, которые сформулировал Исаак Ньютон. Для вычисления импульса тела необходимо введение следующих величин:

  • количество движения;
  • импульса.

В основе основного раздела механики лежат три главных закона Ньютона. Первый из них гласит, что любая материальная точка или тело может сохранять состояние покоя, а также осуществлять равномерное прямолинейное движение. Движение происходит до того момента, пока иное воздействие других тел не заставит изменить первоначальные параметры движения этого тела.

Замечание 1

При этом тело пытается все время сохранить состояние покоя или равномерное прямолинейное движение. Такое стремление также называют инертностью.

Второй закон Ньютона называют еще основным законом динамики поступательного движения. Он может ответить на вопрос об изменении механического движения определенной материальной точки или твердого тела, когда на нее действуют внешние силы.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/fizika_tverdogo_tela/dvizhenie_tverdogo_tela/

Booksm
Добавить комментарий