Движение тела с переменной массой. Уравнение Мещерского. Формула Циолковского

Движение тела с переменной массой

Движение тела с переменной массой. Уравнение Мещерского. Формула Циолковского

Для начала сформулируем, что такое переменная масса.

Определение 1

Переменная масса – это масса тела, которая может меняться при медленных движениях из-за частичных приобретений или потерь составляющего вещества.

Уравнение движения материальной точки с переменной массой

Чтобы записать уравнение движения для тела с такой массой, возьмем для примера движение ракеты. В основе ее перемещений лежит очень простой принцип: она движется за счет выброса вещества с большой скоростью, а также сильного воздействия, оказываемого на это вещество.

В свою очередь выбрасываемые газы также оказывают воздействие на ракету, придавая ей ускорение в противоположном направлении.

Кроме того, ракета находится под действием внешних сил, таких, как гравитация Солнца и других планет, земная тяжесть, сопротивление среды, в которой она совершает движение. 

Рисунок 1

Обозначим массу ракеты в какой-либо момент времени t как m(t), а ее скорость как v(t). То количество движения, которая она при этом совершает, будет равно mv. После того, как пройдет время dt, обе эти величины получат приращение (соответственно dm и dv, причем значение dm будет меньше 0). Тогда количество движения, совершаемого ракетой, станет равно:

(m+dm)(v+dv).

Нам необходимо учитывать тот момент, что за время dt также происходит движение газов. Это количество тоже нужно добавить в формулу. Оно будет равно dmгазvгаз. Первый показатель означает массу газов, которые образуются за указанное время, а второй – их скорость.

Теперь нам нужно найти разность между суммарным количеством движения за время t+dt и количеством движения системы во время t. Так мы найдем приращение данной величины за время dt, которое будет равно Fdt (буквой F обозначена геометрическая сумма всех тех внешних сил, которые действуют в это время на ракету).

В итоге мы можем записать следующее:

(m+dm)(v+dv)+dmгаз+vгаз-mv=Fdt.

Поскольку нам важны именно предельные значения dmdt, dvdt и их производные, приравняем эти показатели к нулю. Значит, после раскрытия скобок произведение dm·dv может быть отброшено. С учетом сохранения массы получим:

dm+dmгаз=0.

Теперь исключим массу газов dmгаз и получим скорость, с которой газы будут покидать ракету (скорость струи вещества), выражающаяся разностью vотн=vгаз-v. Учитывая эти преобразования, можно переписать исходное уравнение в следующем виде:

dmv=vотнdm+Fdt.

Теперь разделим его на dt и получим:

mdvdt=vотнdmdt+F.

Уравнение Мещерского

Форма полученного уравнения точно такая же, как у уравнения, выражающего второй закон Ньютона. Но, если там мы имеем дело с постоянной массой тела, то здесь из-за потери вещества она постепенно меняется. К тому же помимо внешней силы нужно учитывать так называемую реактивную силу. В примере с ракетой это будет сила выходящей из нее газовой струи.

Определение 2

Уравнение mdvdt=vотнdmdt+F впервые вывел русский механик И.В. Мещерский, поэтому оно получило его имя. Также его называют уравнением движения тела с переменной массой.

Формула Циолковского

Попробуем исключить из уравнения движения ракеты внешние силы, воздействующие на нее. Предположим, что движение ракеты прямолинейно, а направление противоположно скорости газовой струи vотн. Будем считать направление полета положительным, тогда проекция вектора vотн является отрицательной. Она будет равна -vотн. Переведем предыдущее уравнение в скалярную форму:

mdv=vотнdm.

Тогда равенство примет вид:

dvdm=-vотнm.

Газовая струя может выходить во время полета с переменной скоростью. Проще всего, разумеется, принять ее в качестве константы. Такой случай наиболее важен для нас, поскольку так уравнение решить намного проще.

Исходя из начальных условий, определим, какое значение приобретет постоянная интегрирования С. Допустим, что в начале пути скорость ракеты будет равна 0, а масса m0. Следовательно, из предыдущего уравнения можем вывести:

C=vотн lnm0m.

Тогда мы получим соотношения следующего вида:

Определение 3

v=vотн lnm0m или m0m=evvотн.

Это соотношение и является формулой Циолковского.

Она предназначена для расчета запаса топлива, с помощью которого ракета может набрать необходимую скорость. При этом время сгорания топлива не обусловливает величину максимальной скорости ракеты.

Чтобы разогнаться до предела, нужно увеличить скорость истечения газов. Для достижения первой космической скорости следует изменить конструкцию ракеты.

Она должна быть многоступенчатой, поскольку необходимо меньшее соотношение между требуемой массой топлива и массой ракеты.

Разберем несколько примеров применения данных построений на практике.

Пример 1

Условие: у нас есть космический корабль, скорость которого постоянна. Для изменения направления полета в ней нужно включить двигатель, который выбрасывает газовую струю со скоростью vотн. Направление выброса перпендикулярно траектории корабля. Определите угол изменения вектора скорости при начальной массе корабля m0 и конечной m.

Решение

Ускорение по абсолютной величине будет равно a=ω2r=ωv, причем v=const.

Значит, уравнение движения будет выглядеть так:

mdvdt=vотнdmdt перейдет в mvωdt=-vотнdm.

Поскольку da=ωdt является углом поворота за время dt, то после интеграции первоначального уравнения получим:

a=vотнvlnm0m.

Ответ: искомый угол будет равен a=vотнvlnm0m.

Пример 2

Условие: масса ракеты перед стартом равна 250 кг. Вычислите высоту, которую она наберет через 20 секунд после начала работы двигателя. Известно, что топливо расходуется со скоростью 4 кг/с, а скорость истечения газов постоянна и равна 1500 м/с. Поле тяготения Земли можно считать однородным.

Решение

Рисунок 2

Начнем с записи уравнения Мещерского. Оно будет иметь следующий вид:

m∆v0∆t=μvотн-mg.

Здесь m=m0-μt и v0 – скорость ракеты в заданный момент времени. Разделим переменные:

∆v0=μvотнm0-μt-g∆t.

Теперь решим полученное уравнение с учетом первоначальных условий:

v0=vотнlnm0m0-μt-gt.

С учетом того, что H0=0 при t=0, у нас получится:

H=vотнt-gt22+vотнm0μ1-μtm0ln1-μtm0.

Добавим заданные значения и найдем ответ:

H=vотнt-gt22+vотнm0μ1-μtm0ln1-μtm0=3177,5 м.

Ответ: через 20 секунд высота ракеты будет составлять 3177,5 м.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/fizika/osnovy-dinamiki/dvizhenie-tela-s-peremennoj-massoj/

Движение тела с переменной массой. Уравнение Мещерского. Формула Циолковского

Движение тела с переменной массой. Уравнение Мещерского. Формула Циолковского

Под переменной массой будем понимать массу тел, которая при медленном движении тел меняется за счет потери или приобретения вещества.

Выведем уравнение движения материальной точки с переменной массой на примере движения ракеты. Принцип действия ракеты очень прост. Ракета с большой скоростью выбрасывает вещество (газы), воздействуя на него с большой силой.

Выбрасываемое вещество с той же, но противоположно направленной силой в свою очередь действует на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении.

На ракету действуют внешние силы: сила земной тяжести, гравитационное притяжение Солнца и планет, а также сила сопротивления среды, в которой движется ракета.

Рисунок 1.

Пусть $m(t)$- масса ракеты в произвольный момент времени $t$, а $v(t)$- ее скорость в тот же момент. Количество движения ракеты в этот момент времени будет $mv$. Спустя время $dt$ масса и скорость ракеты получат приращение $dm$ и $dv$ (величина $dm$ отрицательна). Количество движения ракеты станет равным $(m+dm)(v+dv)$.

Сюда надо добавить количество движения газов, образовавшихся за время $dt$. Оно равно $dm_{газ} v_{газ} $, где $dm_{газ} $- масса газов, образовавшихся за время $dt$, а $v_{газ} $- их скорость. Вычитая из суммарного количества движения в момент $t+dt$ количество движения системы в момент времени $t$, найдем приращение этой величины за время $dt$.

Это приращение равно $Fdt$, где $F$- геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на ракету. Таким образом:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

$(m+dm)(v+dv)+dm_{газ} v_{газ} -mv=Fdt$. (1)

Время $dt$ и приращения $dm$ и $dv$ устремим к нулю, т.к. нас интересуют предельные отношения или производные $dm/dt$ и $dv/dt$. Поэтому, раскрывая скобки, можно отбросить произведение $dm\cdot dv$, как бесконечно малую высшего порядка.

Далее, ввиду сохранения массы, $dm+dm_{газ} =0$. Пользуясь этим, можно исключить массу газов $dm_{газ} $. А разность $v_{отн} =v_{газ} -v$ есть скорость истечения газов относительно ракеты — скорость газовой струи.

С учетом этих замечаний уравнение (1) преобразуется к виду:

$mdv=v_{отн} dm+Fdt$. (2)

Разделив на $dt$, получаем:

$m\frac{dv}{dt} =v_{отн} \frac{dm}{dt} +F$. (3)

Уравнение Мещерского

По форме уравнение (3) совпадает с уравнением, выражающим второй закон Ньютона. Однако масса тела $m$здесь не постоянна, а меняется во времени из-за потери вещества.

К внешней силе $F$ добавляется дополнительный член $v_{отн} \frac{dm}{dt} $, который может быть истолкован как реактивная сила, т.е. сила, с которой действуют на ракету вытекающие из нее газы. Уравнение (3) впервые было получено русским механиком И. В. Мещерским.

Оно, так же как и эквивалентное ему уравнение (2), называется уравнением Мещерского или уравнением движения точки с переменной массой.

Формула Циолковского

Применим уравнение (2) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагая $F=0$, получим:

Допустим, что ракета движется прямолинейно в направлении, противоположном скорости газовой струи $v_{отн} $. Если направление полета принять за положительное, то проекция вектора $v_{отн} $ на это направление будет отрицательной и равной $-v_{отн} $. Поэтому в скалярной форме предыдущее уравнение можно записать так $mdv=v_{отн} dm$. Тогда:

$\frac{dv}{dm} =-\frac{v_{отн} }{m} $ (4)

Скорость газовой струи $v_{отн} $ может меняться во время полета. Однако простейшим и наиболее важным является случай, когда она постоянна. Предположение о постоянстве сильно облегчает решение уравнения (4). В этом случае:

Значение постоянной интегрирования С определяется начальными условиями. Допустим, что в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее масса равна $m_{0} $. Тогда из предыдущего уравнения получаем:

$C=v_{отн} \ln \frac{m_{0} }{m} $ тогда: $v=v_{отн} \ln \frac{m_{0} }{m} $ или $\frac{m_{0} }{m} =e{\frac{v}{v_{отн} } } $

Последнее соотношение называется формулой Циолковского.

  • Формула Циолковского позволяет рассчитать запас топлива, необходимый, чтобы сообщить ракете скорость $\upsilon $.
  • Величина достигаемой ракетой максимальной скорости не зависит от времени сгорания топлива.
  • Оптимальным путем изменения достигаемой максимальной скорости является увеличение относительной скорости истечения газов.
  • Для получения первой космической скорости при меньшем соотношении между массой ракеты и требуемой массы топлива целесообразно использование многоступенчатых ракет.

Примеры

Пример 1

Космический корабль двигался с постоянной по величине скоростью $v$. Для изменения направления его полета включается двигатель, выбрасывающий струю газа со скоростью $v_{отн} $ относительно корабля в направлении, перпендикулярном к его траектории. Определить угол $\alpha $, на который повернется вектор скорости корабля, если начальная масса его $m_{0} $, а конечная $m$.

Дано: $v$, $v_{отн} $, $m_{0} $, $m$.

Найти: $\alpha $-?

Решение:

Ускорение корабля по абсолютной величине равно:

$a=\omega {2} r=\omega v$, причем $v=const$. Поэтому уравнение движения:

$m\frac{dv}{dt} =v_{отн} \frac{dm}{dt} $ переходит в: $mv\omega dt=-v_{отн} dm$.

Так как $d\alpha =\omega dt$ есть угол поворота за время $dt$, интегрируя наше уравнение, получим:

\[\alpha =\frac{v_{отн} }{v} \ln \frac{m_{0} }{m} .\]

Ответ: угол поворота вектора скорости равен: $\alpha =\frac{v_{отн} }{v} \ln \frac{m_{0} }{m} $

Пример 2

Ракета перед стартом имеет массу $m_{0} =250$кг. На какой высоте окажется ракета через $t=20$с после начала работы двигателей? Расход топлива равен $\mu =4$кг/с и скорость истечения газов относительно ракеты $v_{отн} $$=1500$м/с постоянны. Поле тяготения Земли считать однородным.

Дано: $m_{0} =250$кг, $t=20$с, $\mu =4$кг/с, $v_{отн}=1500$м/с.

Найти: $H$-?

Решение:

Рисунок 2.

Запишем уравнение Мещерского в однородном поле тяготения Земли в виде:

\[m\frac{\Delta v_{0} }{\Delta t} =\mu v_{отн} -mg,\]

где $m=m_{0} -\mu t$, а $v_{0} $- скорость ракеты в момент времени $t$. Разделяя переменные получаем:

\[\Delta v_{0} =(\frac{\mu v_{отн} }{m_{0} -\mu t} -g)\Delta t\]

Решение данного уравнения, удовлетворяющего начальному условию $v_{0} =0$ при $t=0$, имеет вид:

\[v_{0} =v_{отн} \ln \frac{m_{0} }{m_{0} -\mu t} -gt\]

Учитывая что $H_{0} =0$ при $t=0$ получим:

\[H=v_{отн} t-\frac{gt{2} }{2} +\frac{v_{отн} m_{0} }{\mu } (1-\frac{\mu t}{m_{0} } )\ln (1-\frac{\mu t}{m_{0} } ).\]

Подставляя начальные значения, получаем:

$H=v_{отн} t-\frac{gt{2} }{2} +\frac{v_{отн} m_{0} }{\mu } (1-\frac{\mu t}{m_{0} } )\ln (1-\frac{\mu t}{m_{0} } )=3177,5$м

Ответ: через $20$с ракета окажется на высоте $H=3177,5$м.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/dinamika/dvizhenie_tela_s_peremennoy_massoy_uravnenie_mescherskogo_formula_ciolkovskogo/

Сохранение импульса, уравнение Мещерского и банджи-джампинг • Библиотека

Движение тела с переменной массой. Уравнение Мещерского. Формула Циолковского

Очень редко появляются совсем новые сюжеты задач механики. Но сейчас такое произошло. Движение прыгуна в экстремальном аттракционе банджи-джампинг обладает некоторыми удивительными особенностями, которые требуют объяснения. Оказалось, что это можно сделать, если применить к прыгуну и привязанному к нему канату уравнение, выведенное нашим соотечественником еще в позапрошлом веке.

Экстремальный аттракцион

В телевизионных репортажах из дальних стран уже неоднократно рассказывалось о таком экстремальном развлечении: к ногам человека привязывают свободной конец упругого каната, другой конец которого закрепляют, после чего человека сталкивают с большой высоты (рис. 1).

Это и есть банджи-джампинг. Много ссылок на этот аттракцион дает Интернет, попал он уже и в Википедию. Будем для простоты называть его просто джампингом. В этом прыжке много разных фаз, и, соответственно, много удовольствий поджидает прыгуна.

Но нас сейчас интересует только одно обстоятельство — видеосъемка показала, что человек летит вниз с ускорением, превышающим ускорение свободного падения g.

На первый взгляд, это представляется удивительным — ведь, казалось бы, прыгун и часть каната ускоряются только силой тяжести, никаких других сил обнаружить не удается.

Однако начнем с самого начала. Выясним, к какому типу систем можно отнести прыгуна с канатом и какие законы (уравнения) надо использовать для описания динамики такой системы.

Прыгун и движущаяся часть каната — это типичный пример тела с переменной массой.

Во избежание недоразумений надо сказать, что речь идет об изменении массы тела за счет отсоединения какой-то его части (или присоединения извне).

В нашем случае при движении непрерывно увеличивается покоящаяся часть каната и, соответственно, уменьшается масса движущейся его части. Это очевидное обстоятельство и окажется важнейшим для наших дальнейших рассуждений.

Поставим самые напрашивающиеся вопросы. Что происходит с импульсом системы? Что происходит с ее механической энергией? Как записывается основное уравнение динамики для такой системы?

Попытаемся ответить на все эти вопросы. Но прежде рассмотрим совсем простой, но очень важный для наших рассуждений пример.

Щелканье кнута и закон сохранения импульса

В раннем-раннем детстве я видел в дачном поселке под Ленинградом, как местные жители встречали вечером стадо коров (позднее коров в дачной местности уже не было). Подгоняя буренок, пастух щелкал кнутом. Вот оно!

Молодому читателю, возможно, надо напомнить, как устроен кнут. А устроен он очень просто: к палке (рукоятке, кнутовищу) привязан узкий длинный ремень (иногда — веревка). Это «устройство» называют еще бичом. Так, в известном стихотворении Н. А. Некрасова эти слова стоят рядом:

Там били женщину кнутом, Крестьянку молодую. Ни звука из ее груди,

Лишь бич свистал, играя…

Двинув кнутовище, пастух сообщает всему ремню импульс — а дальше начинается самое для нас интересное. Конец ремня, привязанный к остановившемуся кнутовищу, тормозится, и всё меньшая часть ремня продолжает движение (рис. 2).

Но в точке перегиба никакая сила на движущуюся часть ремня не действует, значит, ее импульс не изменяется. А поскольку масса этой части ремня уменьшается, то скорость ее должна увеличиваться. Таким образом, движущаяся часть ремня непрерывно ускоряется.

По-видимому, конец ремня даже переходит через скорость звука — и раздается характерный очень громкий щелчок.

Человек, привыкший к рассуждениям, основанным на втором законе Ньютона, может спросить: «Какая же сила ускоряет часть кнута?» В том-то и дело, что никакие внешние силы к ускорению части кнута не имеют отношения.

А движущаяся часть ремня непрерывно ускоряется потому, что этого требует закон сохранения импульса. Аналогия с движением каната в джампинге совершенно очевидна. Привяжите к концу ремня какое-нибудь тело — аналогия станет еще нагляднее.

Но в джампинге в дело вмешивается еще и сила тяжести. Значит, в общем случае нам надо иметь уравнение, описывающее движение тела переменной массы под действием внешних сил.

В одном крайнем случае (в отсутствие внешних сил) уравнение должно обеспечивать сохранение импульса, как в случае с кнутом, в другом (при неизменной массе) — переходить в обычный второй закон Ньютона.

Порядок в этом вопросе навел еще в позапрошлом веке российский ученый Иван Всеволодович Мещерский.

Задача Кейли

На одном достаточно простом примере покажем, как записывается уравнение Мещерского для конкретного движения объекта интересующего нас типа и как можно, не гонясь за математической строгостью, найти его решение. Читатели, интересующиеся лишь основной линией наших рассуждений (о джампинге), вполне могут пропустить этот раздел.

В своей диссертации в обзоре литературы Мещерский пишет: «Изменение массы, совершающееся непрерывно, рассматривает впервые, насколько мне известно, Кейли». И действительно, английский математик Артур Кейли в 1857 году опубликовал статью, в которой проанализировал следующую задачу:

Тяжелая цепь свернута в клубок на самом краю стола (рис. 3), а одно звено свешивается за край стола. Как будет двигаться конец цепи, предоставленной самой себе?

Кейли, конечно, не знал уравнения Мещерского. Мы же воспользуемся этим уравнением. Будем отсчитывать вертикальную координату конца цепи х вниз от края стола. Запишем уравнение (*) для движущегося участка цепи длиной х. Пусть масса единицы длины цепи равна ρ.

Тогда движущийся участок имеет массу m = ρx, на него действует сила тяжести ρgx, за единицу времени масса этого участка увеличивается на . Скорость элемента цепи, лежащего на столе, относительно движущегося участка цепи равна .

Так что уравнение (*) в проекции на ось х примет вид

и мы получим следующее уравнение для функции х(t):

xx'' = xg – x' 2.

Это, как уже сказано, и есть дифференциальное уравнение второго порядка (звучит пугающе). Математики умеют решать такие уравнения, выполняя формальные преобразования, придумывая замены переменных и тому подобное. Но мы же физики — мы пойдем своим путем.

Подумаем: какого типа движение может совершать свешивающийся участок цепи? О равномерном не может быть и речи. Может быть — равноускоренное? Что ж, попробуем.

Предположим, что свешивающийся со стола участок цепи движется с неким неизвестным нам пока постоянным ускорением a ( 0 больше ускорения свободного падения g и растет со временем.

Качественно картина явления представляется нам вполне ясной: тело с уменьшающейся массой приобретает под действием силы тяжести всё больший импульс, а значит — ускоряется.

И этот эффект будет тем сильнее, чем больше масса каната (по сравнению с массой прыгуна).

Новый опыт

Снова вернемся к понятию реактивной силы. В элементарных курсах физики реактивную силу, приводящую в движение ракету, обычно объясняют как силу давления продуктов сгорания топлива на стенку камеры сгорания. Представляется, что иногда такое «объяснение» может затемнять суть дела.

Рассмотрим совсем простой, «школьный» опыт. В кузов игрушечного автомобиля поместим длинную тяжелую ленту. Она должна быть свернута таким образом, чтобы иметь возможность разматываться и покидать кузов с минимальным трением.

Закрепим конец ленты на демонстрационном столе и толкнем автомобиль. Лента, покидая кузов и останавливаясь, не уносит импульс, и, следовательно, импульс автомобиля с остатком ленты не меняется. Но масса-то уменьшается! Значит, скорость должна увеличиваться.

Итак, лента разматывается — и автомобильчик разгоняется!

Ясно, что никакой реактивной силы, толкающей автомобильчик вперед, обнаружить не удается (нет никакого давления на стенку кузова). «Но это то же самое, что кнут!» — может сказать читатель. Ну да! Тем удивительнее, что никакого упоминания о таком опыте я никогда не видел.

Удастся ли реально продемонстрировать этот опыт, зависит от того, сможет ли экспериментатор уменьшить силу трения — с одной стороны, между автомобилем и столом и, с другой стороны, между лентой и кузовом — до необходимых значений.

Указание экспериментатору: при сматывании ленты не должна меняться ее высота над столом, а автомобильчик должен быть легким (по сравнению с лентой).

Автору было бы очень интересно услышать об успехах в проведении этого опыта.

Источник: https://elementy.ru/lib/431740

Движение тел переменной массы. Основы теоретической космонавтики

Движение тела с переменной массой. Уравнение Мещерского. Формула Циолковского

.

Реферат подготовил судент: Перов Виталий Группа:1085/3

Санкт-Петербургский Государственный Политехнический Университет

Санкт-Петербург 2005г.

Зарождение космонавтики

Моментом зарождения космонавтики можно условно назвать первый полёт ракеты, продемонстрировавший возможность преодолевать силу земного притяжения. Первая ракета открыла перед человечеством огромные возможности. Много смелых проектов было предложено.

Один из них — возможность полёта человека. Однако, этим проектам было суждено воплотится в реальность только спустя многие годы. Своё практическое применение ракета нашла только в сфере развлечений.

Люди не раз любовались ракетными фейерверками, и, вряд ли кто-нибудь тогда мог представить себе её грандиозное будущее.

Рождение космонавтики, как науки, произошло в 1987 году. В этом году была опубликована магистерская диссертация И.В Мещерского, содержащая фундаментальное уравнение динамики тел переменной массы.

Уравнение Мещерского дало космонавтике «вторую жизнь»: теперь в распоряжении ракетостроителей появились точные формулы, которые позволяли создавать ракеты основываясь не на опыте предыдущих наблюдении, а на точных математических расчетах.

Общие уравнения для точки переменной массы и некоторые частные случаи этих уравнений уже после их опубликования И. В. Мещерским «открывались» в XX веке многими учёными западной Европы и Америки (Годар, Оберт, Эсно-Пельтри, Леви-Чивита и др.).

Случаи движения тел, когда их масса меняется можно указать в самых различных областях промышленности.

Наибольшую известность в космонавтики получило не уравнение Мещерского, а уравнение Циолковского. Оно представляет собой частный случай уравнения Мещерского.

К. Э. Циолковского можно назвать отцом космонавтики. Он был первым, кто увидел в ракете средство для покорения человеком космоса. До Циолковского на ракету смотрели как на игрушку для развлечений или как на один из видов оружия. Заслуга К. Э.

Циолковского состоит в том, что он теоретически обосновал возможность покорения космоса при помощи ракет, вывел формулу скорости движения ракеты, указал на критерии выбора топлива для ракет, дал первые схематические чертежи космических кораблей, привёл первые расчеты движения ракет в поле тяготения Земли и впервые указал на целесообразность создания на орбитах вокруг Земли промежуточных станций для полётов на другие тела Солнечной системы.

Уравнение Мещерского

Уравнения движения тел с переменной массой являются следствиями законов Ньютона. Тем не менее, они представляют большой интерес, главным образом, в связи с ракетной техникой.

Принцип действия ракеты очень прост. Ракета с большой скоростью выбрасывает вещество (газы), воздействуя на него с большой силой.

Выбрасываемое вещество с той же, но противоположно направленной силой, в свою очередь, действует на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении.

Если нет внешних сил, то ракета вместе с выброшенным веществом является замкнутой системой. Импульс такой системы не может меняться во времени. На этом положении и основана теория движения ракет.

Основное уравнение движения тела переменной массы при любом законе изменения массы и при любой относительной скорости выбрасываемых частиц было получено В. И. Мещерским в его диссертации 1897 г. Это уравнение имеет следующий вид:

где

– вектор ускорения ракеты, –– вектор скорости истечения газов относительно ракеты, M- масса ракеты в данный момент времени, –– ежесекундный расход массы, — внешняя сила.

По форме это уравнение напоминает второй закон Ньютона, однако, масса тела m здесь меняется во времени из-за потери вещества. К внешней силе F добавляется дополнительный член, который называется реактивной силой.

Уравнение Циолковского

Если внешнюю силу F принять равной нулю, то, после преобразований, получим уравнение Циолковского:

V=u ln (m0/m)

Отношение m0/m называется числом Циолковского, и часто обозначается буквой z.

Скорость, рассчитанная по формуле Циолковского, носит название характеристической или идеальной скорости. Такую скорость теоретически имела бы ракета при запуске и реактивном разгоне, если бы другие тела не оказывали на неё никакого влияния.

Как видно из формулы, характеристическая скорость не зависит от времени разгона, а определяется на основе учёта только двух величин: числа Циолковского z и скорости истечения u.

Для достижения больших скоростей необходимо повышать скорость истечения и увеличивать число Циолковского. Так как число z стоит под знаком логарифма, то увеличение u даёт более ощутимый результат, чем увеличение z в то же количество раз.

К тому же большое число Циолковского означает, что конечной скорости достигает лишь небольшая часть первоначальной массы ракеты.

Естественно, такой подход к проблеме увеличения конечной скорости не совсем рационален, ведь надо стремится выводить в космос большие массы, при помощи ракет с возможно меньшими массами. Поэтому конструкторы стремятся прежде всего к увеличению скоростей истечения продуктов сгорания из ракет.

Числовые характеристики одноступенчатой ракеты

При анализе формулы Циолковского было выяснено, что число z=m0/m является важнейшей характеристикой ракеты.

Разделим конечную массу ракеты на две составляющие: полезную массу Мпол, и массу конструкции Мконстр.

К полезной относят только массу контейнера, который требуется запустить с помощью ракеты для выполнения заранее запланированной работы.

Масса конструкции – вся остальная масса ракеты без топлива(корпус, двигатели, пустые баки, аппаратура). Таким образом M= Мпол + Мконстр ; M0= Мпол + Мконстр + Мтопл

Обычно оценивают эффективность транспортировки груза при помощи коэффициента полезной нагрузки р. р= M0/ Мпол. Чем меньшим числом выражен этот коэффициент, тем большую часть от общей массы составляет масса полезного груза

Степень технического совершенства ракеты характеризуется конструктивной характеристикой s.

. Чем большим числом выражается конструктивная характеристика, тем более высокий технический уровень у ракеты-носителя.

Можно показать, что все три характеристики s, z и p связаны между собой следующими уравнениями:

Многоступенчатые ракеты

Достижение очень больших характеристических скоростей одноступенчатой ракеты требует обеспечения больших чисел Циолковского и ещё больших по величине конструктивных характеристик (т.к всегда s>z).

Так, например при скорости истечения продуктов сгорания u=5км/с для достижения характеристической скорости 20км/с требуется ракета с числом Циолковского 54,6.

Создать такую ракету в настоящее время невозможно, но это не значит, что скорость 20км/с не может быть достигнута при помощи современных ракет. Такие скорости обычно достигаются при помощи одноступенчатых, т.е составных ракет.

Когда массивная первая ступень многоступенчатой ракеты исчерпывает при разгоне все запасы топлива, она отделяется. Дальнейший разгон продолжает другая, менее массивная ступень, и к ранее достигнутой скорости она добавляет ещё некоторую скорость, а затем отделяется. Третья ступень продолжает наращивание скорости, и т.д.

Согласно формуле Циолковского, первая ступень в конце разгона достигнет скорости

, где . Вторая ступень увеличит скорость ещё на , где . Полная характеристическая скорость двухступенчатой ракеты будет равна сумме скоростей, сообщаемых каждой ступенью в отдельности: . Если скорости истечения из ступеней одинаковы, то , где Z= — число Циолковского для двухступенчатой ракеты.

Нетрудно доказать, что в случае 3-x ступенчатой ракеты число Циолковского будет равно Z=

.

Итак, предыдущая задача достичь скорости 20км/с легко решается с помощью 3-х ступенчатой ракеты. Для неё число Циолковского будет также равно 54,6, однако, числа Циолковского для каждой ступени (при условии их равенства между собой) будут равны 3.79, что является вполне достижимым для современной техники.

Список литературы

Основы космонавтики / А. Д. Марленский

Люди русской науки: Очерки о выдающихся деятелях естествознания и техники / под редакцией С. И. Вавилова.

Источник: https://mirznanii.com/a/313062/dvizhenie-tel-peremennoy-massy-osnovy-teoreticheskoy-kosmonavtiki

�.�. ���������

Движение тела с переменной массой. Уравнение Мещерского. Формула Циолковского
      ������� ��������� �������� ���� ���������� ����� (��������, �������� ������ �������������� ����������� �� ����� �� ���� ��������� �����, ������������ �� �������� �������).

      ����� � ������ ������� t ����� ������ m, � �� �������� v; ����� �� ��������� ������� dt �� ����� ���������� �� dm � ������ ������ m�dm, � �������� ���������� �� �������� v+dv. ��������� �������� ������� �� ����� dt ����� �����:
��� u — �������� ��������� ����� ������������ ������.

��������� ������ � ���� ���������, �������:
      ���� �� ������� ��������� ������� ����, �� ��� dp = Fdt. ����� Fdt = mdv + udm, ���

                                                                        (2.12)

��� ���� �������� ���������� �����Fp. ���� ������ u �������������� v, �� ������ ����������, � ���� ��������� � v, �� ����������.

      ����� �������, ��������� �������� ���� ���������� ����� ����� ��������� ���:

                                                                                   (2.13)

��������� (2.13) ���������� ���������� �.�. ����������.

      �������� ��������� (2.12) � �������� ������, �� ������� �� ��������� ������� ������� ����. �����, ������� F = 0 � ������, ��� ������ �������� ������������ (�������� ��������� ����� ���������), �������: ������ ���
��� � ���������� ��������������, ������������ �� ��������� �������. ���� � ��������� ������ ������� v=0, � ��������� ����� ������ ���������� m0, �� C = u*ln m0. �������������,

                                       (2.14)

      ���������� ����������� �������� �������� �.�. ������������. �� ��������� (2.14) ������� ��������� ������������ ������:

      �) ��� ������ �������� ����� ������ m, ��� ������ ������ ���� ��������� ����� m0;
      �) ��� ������ �������� ��������� ����� u, ��� ������ ����� ���� �������� ����� ��� ������ ��������� ����� ������.
      ��������� ���������� � ������������ ����������� ��� �������, ����� �������� vu ������� ������ �������� ����� c.

      ������� ������

  • �������� � ������ ��������, ��������� �������� �������� �������� ������ �������� ��� � �������, ������� �������� ��� �������� ��� ��������.
  • � ������ �������� ������������ ����� � ��������������� �������� �������� ���� ����� ������ �������. ������ ����� ������� ���������� ������������� ������������ ������ ������� � ������������� ��������� �������: ���������� ����� ������� �������, ������������ ������� ������������� ���������� ���� ��������� ���� �������� ����������, ���� �� ��� �� ��������� ������ ���� ��� �������� ������ ��� ��������������.
  • ������������ ���������� ������� �������, ������������ ������� ��������� ������������ �����, �� ������� �� ��������� ������ ����, �������� ���������� � ������������, ��� �� �������. ������� �������, ���������� ������������ ������������ ������� ������� � ����������, ���������� ��������������.
  • �������� ������ ���� ��������� ������������� ��������� ��� �������� ���������� �����������. ����� ���������� ���� ��� ��� �������������� �������� �������� �����.
  • ���� � ��� ��������� ���������� ��������, ���������� ����� ������������� ����������� �� ���� �� ������� ������ ��� ��� �����, � ���������� �������� ���� ����������� ��������� ��� �������� ���� ����� � �������.
  • ������ ����� ������� ������������� ��������� �������: ���������, ������������� ����� (������������ ������), ��������������� ���������������� ����������� ���, ��������� � ��� �� ����������� � ������� ��������������� ����� ����:

    ����� ����� ������������ ������� ������ ������� ������: �������� ��������� �������� ���� (������������ �����) ����� ���������������� ����������� ���:
    ��� p=mv — ������� ����. ������ ����� ������� ���������� ������ � ������������ �������� �������.

  • ������ �������� ������������ ����� (���) ���� �� ����� �������. ����, � �������� ��������� ���� �� ����� ������������ �����, ����� �� ������, �������������� ���������� � ��������� ����� ����������� ����� ������ (������ ����� �������):
    ��� ���� ��������� � ������ ������, ��������� ������ � �������� ������ ����� �������.
  • � ��������� ������������ ������� ����������� ��������������� ����� ������� � ����� ���������� ��������: ������� ��������� ������� ������������ ����� (���) � �������� ������� �� ����������:
    ��� n � ����� ������������ ����� � �������. ��������� (�������������) ���������� ������������ �������, �� ������� �� ��������� ������� ����.
  • ����� ���������� �������� �������� ���������� ������������ ������������: ��� ������������ �������� � ������������ ��������� ������� ��� ��� ������ �� ���������� �������� �� ����������.

      ������� ��� ������������ � ����������

  1. ����� ������� ������� ���������� �������������? ������ ������� �������, ��������� � ������, ������ ������, �������������?
  2. ����� �������� ���� ���������� �����������? ��� �������� ����� ���������� ���� ��� ��� �������������� ��������?
  3. ��� ����� ����, ��� ��� ���������������?
  4. ����� �������� ������ ������ ������������ ��������?
  5. ������������� ������ �������. �������� �� ������ ����� ������� ���������� ������� ������?
  6. � ��� ����������� ������� ������������� �������� ���?
  7. ��� ���������� ������������ ��������? ����� ������� �������� ���������� (��������������)?
  8. ������������� ����� ���������� ��������. � ����� �������� �� �����������?
  9. ����� ��������� ������������ ����������� �������������� ������ ���������� ��������?
  10. �������� ��������� �������� ���� ���������� �����. ����� ������������ ������ ��������� ������� ������� ������������?

      ������� ������� �����

      ������ 1. ����� ���������� ����� (m1=m2=0,5 ��) ��������� ����� � ���������� ����� ��������� ����, ����������� �� ����� ����� (���. 2.2). ����������� ������ ����� m2 � ���� = 0,15. ����������� ������� � �����, ����������: �) ���������, � ������� �������� �����; �) ���� ��������� ����.

      ����: m1=m2=0,5 ��; = 0,15.
      �����: , .
�������       �� ������� ������ ������� ��������� �������� ������ ����� ���:

      �����: = 4,17 �/�2, = 2,82 �.

      ������ 2. ������ ������ 5 ��, ���������� �� ������, � ������� ����� ���������� ����� �������� 300 �/�. � ���� ����� �� ���������� �� ��� �������, ������ ������� ������� ������ 3 �� ������� � �������� ����������� �� ��������� 100 �/�. ���������� �������� �������, ��������, �������.

      ����: m = 5 ��; v = 300 �/�; m1 = 3 ��; v1 = 100 �/�.
      �����: v2.
�������       �� ������ ���������� �������� mv = m1v1 + m2v2;
      �����: v2 = 900 �/�.

      ������ ��� ���������������� �������

  1. ���� ������ 2 �� �������� ������������ �� ������ s = A — Bt + Ct2 — Dt3, ��� = 2 �/�2, D = 0,4 �/�3. ���������� ����, ����������� �� ���� � ����� ������ ������� ��������.
  2. � ���� �������� ���� ������ 500 �. ���������� ���� ��������� ����, ���� ���� � ������: �) ��������� � ���������� 2 �/�2; �) �������� � ��� �� ����������.
  3. �� ���� ������ 10 ��, ������� �� ��������� ��������� (���� α ����� 20°), ��������� ������������� ������������ ���� 8 �. ����������� �������, ����������: �) ��������� ����; �) ����, � ������� ���� ����� �� ���������.
  4. � ������� �����, ����� �������� 2 � � ������ 1 �, �������� ��������� ��������� ����. ����������� ������ ����� ����� � ������ = 0,15. ����������: �) ���������, � ������� �������� ����; �) ����� ����������� ���� ����� �����; �) �������� ���� � ��������� �����.
  5. ��� ����� � ��������� ������� m1m2 (m1 >m2) ��������� �� ������ ����, ����������� ����� ����������� ����. ������ ���� � ���� ���������� � ����������� ������� � ��� �����, ����������: �) ��������� ������; �) ���� ��������� ����.
  6. ��������� � ������ ����� ������ = 2 � ����� �� ������� �� �������������� ������� ����. � ����� �������� ������ ������ m = 8 �� � ���������� � ���. ����������� �������, ����������, � ����� ��������� ����� ��������� ���������, ���� � ������ ��������� �������� ������� 450 �/�, � �� ����������� � ������ ���� ��� ����� 30° � ���������.
  7. �� ��������������� ���������, ���������� �� ������� �� ��������� 3 ��/�, ��������� ������. ����� ��������� � ������� 10 �. ����� ������ ��������� � ������� �������� ���������. ������ ������ 10 �� �������� �� ������ ��� ����� 60° � ���������. ���������� �������� ������� (������������ �����), ���� ����� �������� �������� ��������� ����������� � 2 ����.
  8. ������� ������ 70 �� ��������� �� ����� �����, ����� ������� 5 � � ����� 280 ��. ������� ��������� �� ��� �����. �� ����� ���������� ����� ������������ �� ���� ������������ ���?
  9. ����� ������ 200 � �������� � ������ �� ��������� 10 �/� � �������� �� ��� � ����� �� ���������. ���������� �������, ���������� �������, ���� �� ����� ����� �������� ��� ����� 30° � ��������� ������.
  10. ��� ������ ������� 2 � 4 �� ��������� �� ���������� �������������� 5 � 7 �/�. ���������� �������� ����� ����� ������� ���������� ����� � �������: �) ������� ��� �������� �������; �) ���� ��������� ��������� ���� �����.

Источник: http://csfm.volgatech.net/elearning/Nurgaliev/text/2.5.html

Booksm
Добавить комментарий