Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Движение тела, брошеного под углом к горизонту

Движение тела, брошенного под углом к горизонту
Категория: Движение под углом к горизонту

При решении задач с телом, брошенным под углом к горизонту, очень важно помнить, что это движение состоит из двух: тело летит горизонтально, и его скорость постоянна, и одновременно тело сначала взлетает, а потом падает, и движение в вертикальной плоскости является сначала равнозамедленным, а потом равноускоренным. Кроме того, помогает то, что в высшей точке полета вертикальная составляющая скорости тела обращается в ноль. Если всегда помнить про этот факт – не проблема решить любую задачу.

Задача 1. Два тела брошены под углом и к горизонту с одинаковой начальной скоростью. Найти отношение дальностей полета тел и максимальных высот подъема.

Для первого тела максимальная высота подъема:

В наивысшей точке траектории вертикальная составляющая скорости равна  нулю:

Время полета тела до апогея:

Тогда максимальная высота:

Аналогично для второго тела:

Таким образом, отношение высот подъема равно:

Теперь займемся дальностями полетов тел. Тело будет лететь по горизонтали с постоянной скоростью в течение времени и пролетит в итоге  , где :

Аналогично для второго тела:

Определим отношение длин полетов:

Ответ: , .

Задача 2. Какой начальной скоростью должна обладать сигнальная ракета, выпущенная под углом к горизонту, чтобы она вспыхнула в наивысшей точке своей траектории? Время горения запала ракеты 6 с.

В наивысшей точке траектории вертикальная составляющая скорости равна  нулю:

Отсюда можно определить скорость:

Ответ: 85 м/с

Задача 3. Два тела брошены с земли под углами и к горизонту из одной точки. Каково отношение сообщенных им начальных скоростей , если тела упали на землю также в одной точке?

К задаче 3

Время полета первого тела до верхней точки:

Полное время полета:

Вертикальная составляющая скорости тела:

Горизонтальная составляющая:

Дальность полета тела:

Аналогично для второго тела:

Время полета второго тела до верхней точки:

Полное время полета:

Вертикальная составляющая скорости тела:

Горизонтальная составляющая:

Дальность полета тела:

Возьмем отношение дальностей и приравняем к 1, так как тела шлепнулись в одном месте:

Подставим числа:

Ответ: .

Задача 4. Мальчик бросает мяч со скоростью м/с под углом в в сторону стены, стоя на расстоянии 4 м от нее. На каком расстоянии от стены должен встать мальчик, чтобы поймать мяч? Удар мяча о стенку считать абсолютно упругим.

К задаче 4

Сначала выясним, в каком месте траектории находился мяч, когда ударился о стенку: был ли он на первой ее половине, или же он уже прошел точку максимального подъема? От этого зависит угол, под которым мяч подлетел к стенке, а раз удар абсолютно упругий, значит, мячик и отскочил под этим же углом. Поэтому сначала найдем середину траектории мяча, как если бы стенки не было.

Время полета мяча до верхней точки:

Вертикальная составляющая скорости мяча:

Горизонтальная составляющая:

Дальность полета мяча до верхней точки траектории:

Итак, мячик не долетел до верхней точки траектории, теперь можно изобразить стенку и траекторию полета мяча:

Отскок мяча

Из рисунка видно, что, поскольку угол падения равен углу отражения, то траектория отскока мячика будет полностью повторять его траекторию полета без стенки, только в виде отражения:

Как мы выяснили ранее, мячику лететь до верхней точки траектории 5 м, значит, всего он пролетел бы 10 метров, но стенка помешала. Траектория оказалась разбита ею на два куска: 4 и 6 м, 4 до стенки, и 6 – после отскока. Таким образом, мальчику надо отступить на 2 метра, чтобы поймать мяч.

Ответ: отступить на 2 м, расстояние от стены  – 6 м.

Задача 5. Тело брошено со скоростью 20 м/с  под углом к горизонту. Найти координаты точек траектории тела, в которых вектор скорости составляет с горизонтом угол , если начало координат – точка бросания тела?

Горизонтальная составляющая скорости тела сохраняется постоянной на всем пути, она равна .

Скорость будет составлять угол в с горизонтом только тогда, когда вертикальная составляющая скорости будет равна горизонтальной составляющей по модулю, так как скорость может составлять с горизонтом как положительный, так и отрицательный угол – когда тело уже прошло верхнюю точку траектории и снижается. То есть подходящих нам точек траектории у тела 2: на взлете и при падении.

К задаче 5

Тогда:

Это произойдет в момент времени, равный:

Очевидно, что координата тела по оси не будет отличаться для обеих точек. Найдем ее:

Координату по оси первой точки (на взлете) найдем, подставив известное время в формулу движения с постоянной скоростью:

Координата второй точки по оси получится, если найденное только что расстояние вычесть из полного пути, пройденного  телом – ведь точки расположены на траектории симметрично. Полный путь тело пройдет за полное время движения, а оно равно удвоенному времени взлета:

Тогда искомая координата:

Теперь давайте все это посчитаем:

Ответ: м, м, м.

Задача 6. С вершины горы бросают камень под углом к горизонту.  Определить начальную скорость камня, если он упал на расстоянии 20 м от точки бросания. Угол наклона горы к горизонту также .

К задаче 6

Удобно ввести систему координат так, чтобы ось совпадала со склоном горы, а ось была бы направлена перпендикулярно склону. Тогда, в такой системе координат, тело будет двигаться с ускорением как по оси , так и по оси . Начальная скорость тела будет направлена под углом к склону, и ее можно разложить на составляющие:

Таким же образом разложим и ускорение свободного падения:

Когда тело доберется до верхней точки траектории, его вертикальная составляющая скорости обратится в ноль:

Откуда найдем время полета до верхней точки:

Полное время полета – вдвое больше:

За полное время тело, двигаясь равноускоренно, пролетит вдоль оси расстояние:

По условию , поэтому

Ответ: м/с

Задача 7. Из пушки выпустили последовательно 2 снаряда со скоростью м/с: первый – под углом к горизонту, второй – под углом (азимут один и тот же). Найти интервал времени между выстрелами, при котором снаряды столкнутся друг с другом.

К задаче 7

Чтобы снаряды столкнулись в воздухе, а произойти это может только на второй половине траектории при заданных углах, нужно, чтобы были равны координаты снарядов по оси и по  оси .

Раскладываем скорости по осям:

Из условия равенства нулю вертикальной составляющей скорости получаем половинку времени полета первого снаряда:

Полное время полета первого снаряда:

Полное время полета второго снаряда:

Снаряды будут лететь по оси с постоянной скоростью, и пролетят

Первый:

Второй:

Так как их координаты равны, то приравняем:

Откуда получаем соотношение:

По оси первый снаряд пролетит:

Второй снаряд пролетит:

Приравняем:

Заменим на :

Сокращаем:

Получим время :

Отсюда время :

И разность времен:

Ответ: 10,56 с

Источник: https://easy-physic.ru/dvizhenie-tela-broshenogo-pod-uglom-k-gorizontu/

Движение тела, брошенного под углом к горизонту (бросок)

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, — движение тела в двумерной системе координат (по двум осям) при изначальном направлении начальной скорости под углом к горизонту.

Данное движение является сложным видом механического движения с криволинейной траекторией. Такие типы движений принято рассматривать в проекции на оси выбранной системы координат.

В нашем конкретном случае возьмём декартову систему координат и запустим тело под углом  к оси ОХ (рис. 1).

Рис. 1. Тело бросили под углом к горизонту

Классическая постановка задач на подобную тематику: тело бросили под углом  к горизонту с начальной скоростью , найти различные параметры движения.

Первое, что мы сделаем, это попробуем данное сложное движение представить как сумму простых (рис. 2).

Рис. 2. Тело бросили под углом к горизонту (максимальная высота подъёма, путь по горизонтали, движение)

Рассмотрим само движение. После броска траектория движущегося тела представляет собой параболу (докажем позже). Выберем произвольную точку на параболе и укажем ускорение, с которым движется тело в данный момент (ускорение свободного падения). Направление данного ускорения — вертикально вниз. Проекции данного ускорения на ось ОХ ( (м/), а на ось OY ( (м/).

Тогда, вдоль оси ОХ, тело движется равномерно (т.к. ускорение вдоль этой оси равно 0). Более сложным является движение тела вдоль оси OY: между точками A и B тело движется замедляясь, при этом движение равнозамедленное. Между точками B и C движение равноускоренное (рис.2, подписи). Исходя из установленного вида движения, можем решать задачу.

Рис. 3. Тело бросили под углом к горизонту (проекции скоростей)

Для рассмотрения движения тела вдоль осей, введём начальные скорости движения тела вдоль выбранных нами осей (рис. 3). На рисунке представлена часть траектории в самом начале движения.

Начальные скорости движения вдоль осей обозначим  и .

Исходя из треугольника, катетами которого являются наши проекции (можно построить параллельным переносом), а гипотенузой — модуль вектора начальной скорости (), можем найти значения необходимых нам проекций:

  • (1)
  • (2)

Вернёмся к рисунку 2. Попробуем найти полное время полёта (). Для этого воспользуемся тем, что вдоль оси OY тело движется равнозамедленно, а в точке B движение вдоль этой оси и вовсе останавливается. Таким образом, конечная скорость в этой точке вдоль оси OY равна 0. Тогда, исходя из движения:

(3)

— т.к. время движения от точки А до B, и от B до C одинаково. Тогда:

(4)

И, учитывая (2):

(5)

Перейдём к вопросу о максимальной дальности броска в горизонтальном направлении ().

Вдоль горизонта тело движется равномерно (рис. 2). Тогда путь, проделанный телом за время :

(6)

А с учётом (1) и (5):

= = (7)

Перейдём к максимальной высоте полёта (). Данный параметр связан с движением тела вдоль оси OY, которое, как мы выяснили, является равноускоренным/равнозамедленным. Рассмотрим участок BC: для него вдоль соответствующей оси тело без начальной скорости движется с ускорением () в течение времени , формируем уравнение:

(8)

С учётом (5):

=  (9)

Таким образом, ряд параметров движения при броске под углом к горизонту можно вычислить, зная лишь начальные параметры броска.

Рис. 4. Тело бросили под углом к горизонту (конечная скорость)

Далее попробуем найти конечную скорость движения (при таких движениях, конечная скорость — скорость при подлёте к Земле). Рассмотрим конечную точку движения С (рис. 4). Скорость тела направлена под неким углом . Построим проекции данного вектора на оси OX и OY. На основании построенного треугольника реализуем теорему Пифагора для поиска модуля полной конечной скорости:

(10)

Найдём компоненты вектора . Т.к. движение вдоль оси OX равномерное, значит, , используя (1):

(11)

Движение вдоль оси OY от точки B в точку C равноускоренное, причём, без начальной скорости за время , тогда:

(12)

Используя (5), получим:

(13)

Подставим (12) и (13) в (10):

= = (14)

Для избавления от тригонометрических функций мы воспользовались основным тригонометрическим тождеством. Таким образом, доказано, что конечная скорость такого движения равна начальной, кроме того, из треугольника видно, что тело подлетело к земле под углом .

Вывод: 

  • для движения тела, брошенного под углом к горизонту, выведены добавочные формулы: (5), (7), (9), которые могут существенно упростить решение задачи.
  • представлен один из общих способов нахождения скорости при криволинейном движении (через теорему Пифагора и поиск компонент вектора).

Источник: https://www.abitur.by/fizika/teoreticheskie-osnovy-fiziki/mexanicheskoe-dvizhenie/dvizhenie-tela-broshennogo-pod-uglom-k-gorizontu-brosok/

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

При прочтении этой темы будет полезно:

У нас есть предложение начать изучать эту тему не с формул, а с жизненного примера. Каждый из нас помнит, что происходит с мячиком / камнем / яблоком и т.д., брошенным одновременно и вверх, и вбок — брошенным под углом к горизонту.

Мы помним, что мячик при этом летит по траектории, которая очень напоминает нам параболу.

А теперь давайте представим другую ситуацию. Пусть теперь мячик точно так же кидает кто-то другой, а мы с вами смотрим на то, как это выглядит со стороны. Предлагаем встать позади кидающего, встанем подальше и смотрим ровно в том направлении, в котором он кидает.

При этом нам будет казаться, что кидающий кидает мячик вертикально вверх. И это будет правда. То есть по вертикали мячик движется так, будто его подкинули вертикально вверх.

А теперь посмотрим сверху на то, как кидающий кидает мячик.

При этом нам будет казаться, что мячик будто просто «катится» по земле, а вовсе не летит по параболе.

Что это значит? Это значит, что полет мячика, брошенного под углом к горизонту, можно представить как два одновременных движения:

  • равномерное движение по горизонтали (вдоль поверхности земли);
  • равноускоренное движение с ускорением свободного падения g⃗\vec{g}g⃗​ по вертикали (перпендикулярно поверхности земли).

Ура! Теперь (мы надеемся) нам все понятно! Мы поняли, что движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно представить как одновременное движение тела, брошенного вертикально вверх (вертикально), и равномерное движение вдоль «земли» (горизонтально).

А теперь распишем все по-научному.

Мы расписываем наше движение по осям координат. Ось XXX мы направляем горизонтально (вдоль поверхности земли), а ось YYY — вертикально (перпендикулярно поверхности земли). При этом ускорение свободного падения g⃗\vec{g}g⃗​ у нас направлено вертикально вниз.

Для решения задач на эту тему необходимо научиться записывать уравнения движения для каждой из осей. Возможно, пока вам не очень понятно, зачем это нужно делать, но чуть позже вы поймете.

Напомним, что уравнения движения — это формулы, которые показывают, как зависит координата от времени и как зависит скорость от времени. Попробуйте выбрать правильные уравнения.

Как найти V0xV_{0x}V0x​? V0xV_{0x}V0x​ — это просто компонента (часть) скорости V0V_0V0​, которая направлена вдоль оси XXX.

Это просто проекция скорости V0V_0V0​ на ось XXX.

Подытог:

x=x0+V0xtx=x_0+V_{0x}tx=x0​+V0x​t, а поскольку мячик бросают из начала координат, то x=V0xtx=V_{0x}tx=V0x​t.

Vx=V0x=V0⋅cosα=constV_x=V_{0x}=V_0\cdot\cos\alpha=constVx​=V0x​=V0​⋅cosα=const.

Начальная координата y0=0y_0=0y0​=0, поскольку «бросок» происходит из точки с координатой 000. Подставим значения y0y_0y0​ и aya_yay​ в уравнение координаты и получим:

y=V0yt−gt22y=V_{0y}t-\frac{gt2}{2}y=V0y​t−2gt2​.

Теперь давайте найдем V0yV_{0y}V0y​.

V0yV_{0y}V0y​ — это проекция вектора V0⃗\vec{V_0}V0​⃗​ на ось OYOYOY.

Теперь последнее — зависимость скорости от времени для оси OYOYOY. Мы помним, что движение там равноускоренное. Ускорение — это ускорение свободного падения.

Мы помним, что проекция ускорения равна ay=−ga_y=-gay​=−g. Поэтому формула для скорости переписывается в виде:

Vy=V0y−gtV_y=V_{0y}-gtVy​=V0y​−gt.

Подытог:

y=V0yt−gt22y=V_{0y}t-\frac{gt2}{2}y=V0y​t−2gt2​,

Vy=V0y−gtV_y=V_{0y}-gtVy​=V0y​−gt,

V0y=V0⋅sinαV_{0y}=V_0\cdot \sin\alphaV0y​=V0​⋅sinα.

И окончательный итог:

По оси XXXПо оси YYYКоординатаСкоростьНачальная скорость
x=V0xtx=V_{0x}tx=V0x​t y=V0yt−gt22y=V_{0y}t-\frac{gt2}{2}y=V0y​t−2gt2​
Vx=V0x=constV_x=V_{0x}=constVx​=V0x​=const Vy=V0y−gtV_y=V_{0y}-gtVy​=V0y​−gt
V0x=V0cosαV_{0x}=V_0\cos\alphaV0x​=V0​cosα V0y=V0sinαV_{0y}=V_0\sin\alphaV0y​=V0​sinα

Выглядит устрашающе. Согласны. Но если вы поймете то, что здесь было объяснено, и если вы сможете записать такие формулы — то вам не страшна никакая задача ЕГЭ вплоть до задач части 222.

В задачах о теле, брошенном под углом к горизонту, чаще всего бывает нужно найти:

  • время подъема на вершину tвершиныt_{вершины}tвершины​;
  • максимальную высоту подъема hhh;
  • время падения на землю ttt;
  • дальность полета LLL.

Если вы просматривали тему «Движение тела, брошенного вертикально вверх», то вы, наверно, уже догадались, каким образом находятся все эти величины.

Для тех же, кто не догадался или же не читал ту тему, мы скажем, что для нахождения этих четырех величин используются особенности тех точек траектории, в которых надо найти время, координату и т.д.

Главное слово — особенности. Чтобы было понятнее, рассмотрим нахождение этих величин на конкретном примере.

Условие

Из пушки вылетел снаряд с начальной скоростью V0=100V_0=100V0​=100 м/с под углом к горизонту α=30∘\alpha=30{\circ}α=30∘. Найдите:

  • время подъема на вершину tвершиныt_{вершины}tвершины​;
  • максимальную высоту подъема hhh;
  • время падения на землю ttt;
  • дальность полета LLL.

Решение

Шаг 1. Сделаем что? Правильно — рисунок. Обозначим на нем оси.

Шаг 2. Запишем уравнения движения. Сначала в общем виде:

x=x0+V0xtx=x_0+V_{0x}tx=x0​+V0x​t,

Vx=V0x=V0cosα=constV_x=V_{0x}=V_0\cos\alpha=constVx​=V0x​=V0​cosα=const,

y=y0+V0yt+ayt22y=y_0+V_{0y}t+\frac{a_yt2}{2}y=y0​+V0y​t+2ay​t2​,

Vy=V0y+aytV_y=V_{0y}+a_ytVy​=V0y​+ay​t,

V0y=V0sinαV_{0y}=V_0\sin\alphaV0y​=V0​sinα.

«Адаптируем» уравнения к нашему случаю:

x=V0xtx=V_{0x}tx=V0x​t,

Vx=V0x=V0cosα=constV_x=V_{0x}=V_0\cos\alpha=constVx​=V0x​=V0​cosα=const,

y=V0yt−gt22y=V_{0y}t-\frac{gt2}{2}y=V0y​t−2gt2​,

Vy=V0y−gtV_y=V_{0y}-gtVy​=V0y​−gt,

V0y=V0sinαV_{0y}=V_0\sin\alphaV0y​=V0​sinα.

Подставим конкретные числовые значения:

x=100⋅cos30∘⋅tx=100\cdot \cos 30{\circ}\cdot tx=100⋅cos30∘⋅t,

Vx=100⋅cos30∘V_x=100\cdot \cos 30{\circ}Vx​=100⋅cos30∘,

y=100⋅sin30∘⋅t−10t22y=100\cdot \sin 30{\circ}\cdot t-\frac{10t2}{2}y=100⋅sin30∘⋅t−210t2​,

Vy=100⋅sin30∘−10tV_y=100\cdot \sin 30{\circ}-10tVy​=100⋅sin30∘−10t,

V0y=100⋅sin30∘V_{0y}=100\cdot \sin 30{\circ}V0y​=100⋅sin30∘.

Замечательно!

Шаг 3. Займемся временем подъема на вершину tвершиныt_{вершины}tвершины​.

Помните воображаемый эксперимент, когда мы смотрели сзади на человека, бросающего мячик под углом к горизонту? Нам казалось, что мячик просто подбрасывается вверх. В верхней точке он как бы «замирает». Но замирает он только по оси OYOYOY.

Это так работает «тормозящее» действие ускорения свободного падения. При этом по оси OXOXOX скорость не равна нулю. Напомним вам, что скорость по оси OXOXOX не изменяется — она всегда постоянна, поскольку вдоль оси OXOXOX нет никакого ускорения.

Красным цветом на рисунке обозначен вектор скорости в верхней точке траектории. Он перпендикулярен оси OYOYOY, поэтому проекция на эту ось равна Vy=0V_y=0Vy​=0.

Итак:

Vy=V0y−gt=0⇒100⋅sin30∘−10t=0⇒V_y=V_{0y}-gt=0\Rightarrow 100\cdot \sin 30{\circ}-10t=0\RightarrowVy​=V0y​−gt=0⇒100⋅sin30∘−10t=0⇒

50−10t=0⇔t=550-10t=0\Leftrightarrow t=550−10t=0⇔t=5.

Поэтому время подъема на верхнюю точку траектории равно tвершины=5t_{вершины}=5tвершины​=5 секунд.

Шаг 4. Найдем высоту подъема hhh. Время подъема у нас есть, поэтому высоту подъема можно найти с помощью уравнения для координаты yyy:

y=V0yt−gt22⇒y=100⋅sin30∘⋅t−10t22y=V_{0y}t-\frac{gt2}{2}\Rightarrow y=100\cdot \sin 30{\circ}\cdot t-\frac{10t2}{2}y=V0y​t−2gt2​⇒y=100⋅sin30∘⋅t−210t2​.

Подставим в это уравнение t=5t=5t=5:

y(5)=50⋅5−10⋅522=250−125=125y(5)=50\cdot 5-\frac{10\cdot 52}{2}=250-125=125y(5)=50⋅5−210⋅52​=250−125=125.

Отлично! Высота подъема равна h=y(5)=125h=y(5)=125h=y(5)=125 м.

Шаг 5. Теперь приступим к нахождению времени падения на землю.

Воспользуемся тем, что в точке, где снаряд падает на землю, координата yyy равна нулю:

y=V0yt−gt22=0⇒100⋅sin30∘⋅t−5t22=0⇒y=V_{0y}t-\frac{gt2}{2}=0\Rightarrow 100\cdot\sin 30{\circ}\cdot t-\frac{5t2}{2}=0\Rightarrowy=V0y​t−2gt2​=0⇒100⋅sin30∘⋅t−25t2​=0⇒

50t−5t2=0⇔5t2−50t=0⇔t2−10t=0⇔50t-5t2=0\Leftrightarrow 5t2-50t=0\Leftrightarrow t2-10t=0\Leftrightarrow50t−5t2=0⇔5t2−50t=0⇔t2−10t=0⇔

t(t−10)=0⇒t1=0t(t-10)=0\Rightarrow t_1=0t(t−10)=0⇒t1​=0, t2=10t_2=10t2​=10.

Получилось два ответа. Почему?

Итак, время падения на землю равно tпадения=10t_{падения}=10tпадения​=10.

Обратите внимание: на то, чтобы достигнуть вершины, тело затратило 555 секунд. А на то, чтобы пролететь всю траекторию, оно затратило 101010 секунд. То есть тело 555 секунд «взбиралось» на вершину и столько же времени (555 секунд) «спускалось» вниз. Так будет всегда. Время подъема = времени спуска. Знать это бывает полезно для решения задач части 111 ЕГЭ.

Шаг 6. Дальность полета. Дальность — это же координата по оси OXOXOX! Значит, дальность мы могли бы вычислить по формуле:

x=V0xt⇒x=100⋅cos30∘⋅tx=V_{0x}t\Rightarrow x=100\cdot\cos 30{\circ}\cdot tx=V0x​t⇒x=100⋅cos30∘⋅t.

Надо знать только время полета. А его мы уже нашли! tпадения=10t_{падения}=10tпадения​=10.

Тогда:

L=x(10)=100⋅cos30∘⋅10=1000⋅32≈866L=x(10)=100\cdot\cos 30{\circ}\cdot 10=1000\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\approx866L=x(10)=100⋅cos30∘⋅10=1000⋅23​​≈866 (м).

Ура! Мы все сделали.

Ответ: tвершины=5t_{вершины}=5tвершины​=5 (с), h=y(5)=125h=y(5)=125h=y(5)=125 (м), tпадения=10t_{падения}=10tпадения​=10 (c), L=x(10)≈866L=x(10)\approx 866L=x(10)≈866 (м).

Резюме и некоторая «концентрированная выжимка» из того материала, что мы разобрали

На самом деле при решении этой задачи мы действовали немного вслепую. Мы использовали то, что могли использовать, и находили то, что можно было находить. Мы «цеплялись» за то, что увидели, а именно:

  • в верхней точке траектории компонента вектора скорости Vy=0V_y=0Vy​=0
  • в точке падения y=0y=0y=0.

Задачи для самостоятельного решения: #движение под углом к горизонту

Источник: https://lampa.io/p/%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B0,-%D0%B1%D1%80%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D0%BF%D0%BE%D0%B4-%D1%83%D0%B3%D0%BB%D0%BE%D0%BC-%D0%BA-%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%83-000000000cf27fcd2ecba53891294b99

Booksm
Добавить комментарий