Движение центра масс системы

Движение центра масс системы

Движение центра масс системы

Допустим, что у нас есть некоторая система, состоящая из n-ного количества материальных точек. Возьмем одну из них и обозначим ее массу как mk.

Приложенные к точке внешние силы (как активные силы, так и реакции связей) имеют равнодействующую Fke. Внутренние силы имеют равнодействующую Fkl.

Наша система находится в движении, следовательно, нужная точка будет иметь ускорение ak. Зная основной закон динамики, мы можем записать следующую формулу:

mkak=Fke+Fkl.

Ее можно применить к любой точке системы. Значит, для всей системы целиком можно сформулировать следующие уравнения:

m1a1=F1e+F1l,m2a2=F2e+F2l,⋯mnan=Fne+Fnl.

Данная формула состоит из дифференциальных уравнений, описывающих движение системы в векторной форме.

Если мы спроецируем эти равенства на соответствующие координатные оси, то у нас получатся дифференциальные уравнения движения в проекциях.

Но в конкретных задачах чаще всего вычислять движение каждой точки системы не требуется: можно ограничиться характеристиками движения всей системы в целом.

Движение центра масс: основная теорема

Характер движения системы можно определить, зная закон, по которому движется ее центр масс.

Определение 1

Центр инерции системы (центр масс) – это воображаемая точка с радиус-вектором R, выражаемым через радиус-векторы r1, r2, … соответствующих материальных точек по формуле R=m1r1+m2r2+…+mnrnm.

Здесь сумма показателей в числителе m=m1+m2+…+m3 выражает общую массу всей системы.

Для нахождения этого закона нам нужно взять уравнения движения системы, приведенные в предыдущем пункте, и сложить их правые и левые части. У нас получится, что:

∑mkak¯=∑Fk¯e+∑Fk¯l.

Взяв формулу радиус-вектора центра масс, получим следующее:

∑mkrk=Mrc.

Теперь возьмем вторую производную по времени:

∑mkak=Mac.

Здесь буквой ac¯ обозначено ускорение, которое приобретает центр масс системы.

Определение 2

Свойство внутренних сил в системе гласит, что Fkl равно нулю, значит, окончательное равенство будет выглядеть так:

Mac¯=∑Fk¯e.

Это уравнение является записью закона движения центра масс. Запишем его:

Движение центра масс системы идентично движению материальной точки той же массы, что и вся система целиком, к которой приложены все действующие на систему внешние силы.

Иначе говоря, произведение ускорения центра масс системы на массу самой системы будет равно геометрической сумме всех внешних сил, действующих на эту систему.

Возьмем полученное выше уравнение и спроецируем его правую и левую части на соответствующие координатные оси. У нас получится:

Mxc¨=∑Fkx¯e, Myc¨=∑Fky¯e, Mzc¨=∑Fkz¯e.

Эти равенства являются дифференциальными уравнениями движения центра масс в проекции на оси в декартовой системе координат.

Практическое значение теоремы о движении центра масс

Данная теорема имеет большую практическую ценность. Поясним, в чем именно она заключается.

Теорема 1

  1. Любое тело, движущееся поступательно, может быть рассмотрено в качестве материальной точки, масса которой равна массе всего тела.

    Во всех других случаях такой подход возможен лишь тогда, когда для определения положения тела в пространстве нам будет достаточно знать, в каком положении находится его центр масс. Также важно, чтобы условия задачи допускали исключение вращательной части движения тела.

  2. С помощью теоремы движения центра масс системы мы можем не рассматривать в задачах неизвестные нам заранее внутренние силы.

Разберем пример применения теоремы для решения практической задачи.

Пример 1

Условие: к оси центробежной машины на нити подвешено кольцо из металла. Оно совершает равномерные вращательные движения с угловой скоростью, равной ω. Вычислите, на каком расстоянии центр кольца находится от оси вращения.

Решение

Очевидно, что система находится под воздействием силы тяжести N N¯ αα. Также необходимо учесть силу натяжения нити и центростремительное ускорение.

Второй закон Ньютона для системы будет выглядеть так:

ma¯=N¯+mg¯.

Теперь создадим проекции обеих частей равенства на оси абсцисс и ординат и получим:

N sin α=ma;N cos α=mg.

Мы можем разделить одно уравнение на другое:

tg α=ag.

Поскольку a=υ2R, υ=ωR, то нужное нам уравнение будет выглядеть так:

R=gtgαω2.

Ответ: R=gtgαω2.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/fizika/osnovy-dinamiki/dvizhenie-tsentra-mass-sistemy/

Система материальных точек. Центр масс. Закон движения центра масс. урок. Физика 10 Класс

Движение центра масс системы

Данный текст представляет собой неотредактированную версию стенограммы, которая в дальнейшем будет отредактирована.

InternetUrok.ru

Физика. 10 класс

Урок 26. Система материальных точек. Центр масс. Закон движения центра масс

Манида С.Н., проф. физического фак-та СПбГУ, г. Санкт-Петербург

28.10.2010 г.

Система материальных точек. Закон движения центра масс

Здравствуйте. Тема урока: «Система материальных точек, центр масс, закон движения центра масс». До этого мы изучали законы движения, законы сохранения для одной или двух материальных точек. Теперь мы приступим к изучению этих систем для произвольных систем материальных точек.

Любые физические тела состоят из огромного числа микрообъектов, которые, конечно, можно при очень хорошем приближении считать материальными точками. Твердые тела обладают таким свойством, что расстояние между любыми точками в этом теле сохраняется.

Для описания движения твердого тела вполне достаточно описывать движение одной из его точек – по крайней мере, при поступательном движении твердого тела. Однако бывают и жидкие, и газообразные тела. Например, происходит взрыв сверхновой звезды, в разные стороны разлетается огромное количество разных частиц.

Описать их поведение, не зная конкретное взаимодействие этих частиц, иногда бывает просто невозможно. И тем не менее существуют общие закономерности, общие законы движения этих объектов, к изучению которых мы сейчас приступим.

Итак, рассматриваем произвольную систему очень большого числа материальных точек. Каждая из этих точек имеет некоторую массу, которая обозначается mi, и некоторую скорость . Каждая из этих точек имеет импульс .

Если мы сложим все эти импульсы, получим некоторую величину, которую будем называть импульсом системы . Эта величина по размерности есть произведение массы на скорость.

Понятно, что буквой M мы будем называть массу системы, это просто суммарная масса всех частиц, составляющих эту систему.

Что же такое скорость этой системы ? Ведь каждая точка имеет свою скорость, точки направлены произвольным образом, какая же точка системы движется с этой скоростью ?

Для того чтобы это понять, рассмотрим совсем другую величину, которую будем называть «центр масс системы». По определению, координаты центра масс системы есть некоторая сумма произведений масс на радиус-вектора каждой точки, деленное на полную массу системы.

Эта величина имеет определенную размерность, размерность длины (мы обозначаем ее буквой R и называем радиус-вектором некой точки). Эта точка носит название «центр массы».

Но если мы теперь посмотрим на скорость изменения этой координаты, на скорость изменения положения этой точки, то в правой части у нас только одна величина зависит от скорости – это координата конкретной массы.

Значит, вместо координаты этой массы у нас появится скорость этой массы, а вместо координаты центра масс появится скорость центра масс. И мы видим, что скорость центра масс

– это и есть та скорость, которая входит в определение импульса. Таким образом, импульс представляет собой массу системы, умноженную на скорость центра масс. Если импульс системы материальных точек – это суммарный импульс этих материальных точек, то и изменение импульса системы естественно описывать как суммарное изменение частей, составляющих эту систему.

Для материальных точек мы знаем, что изменения импульса по второму закону Ньютона это есть сила, действующая на данную материальную точку, и время, в течение которого эта сила действует. Изменение импульса есть импульс силы. В этой формуле мы видим, что сумма изменения импульсов материальных точек есть суммарный импульс силы, действующий на различные части этой системы.

В этом выражении ?t – общее для всех слагаемых, его можно вынести на суммирование, тогда мы получим сумму сил, действующих на тела системы, а это и есть суммарная система, действующая на систему в целом — . Этот последний переход

очень нетривиален, поскольку взаимодействие между частями системы здесь также учитывается. Среди сил, действующих на отдельные части системы, есть силы, действующие извне, и есть силы, действующие внутри этой системы.

Но по третьему закону Ньютона сила действия равна силе противодействия и противоположно направлена. Очень часто говорят, что в третьем законе Ньютона силы, приложенные к разным телам, поэтому нельзя складывать. Силы – это векторы, и их всегда можно складывать как векторы.

Силы взаимодействия частей системы, складываясь, дают ноль, поэтому в правой части этого равенства стоит только суммарная внешняя сила, действующая на систему. Таким образом, мы получаем второй закон Ньютона для системы произвольным образом взаимодействующих материальных точек.

Изменение импульса системы  есть — импульс силы, действующий на эту систему. В обычной форме второго закона Ньютона масса, умноженная на ускорение, равна силе

В данном случае тривиальна интерпретация: масса любой сложной системы, умноженная на ускорение той точки, которую мы назвали «центр масс», есть  – суммарная внешняя сила, действующая на систему.

Таким образом, мы доказали, что второй закон Ньютона применим к любым, сколь угодно сложным системам. На этом мы заканчиваем изучение понятия «центр масс» и законов движения центра масс.

На следующем уроке мы рассмотрим законы сохранения или изменения импульса и энергии системы материальных точек.

Источник: https://interneturok.ru/lesson/physics/10-klass/bmehanika-sistemy-telb/sistema-materialnyh-tochek-tsentr-mass-zakon-dvizheniya-tsentra-mass

Booksm
Добавить комментарий