Динамика гармонических колебаний

Основное уравнение динамики гармонических колебаний

Динамика гармонических колебаний

Понятие о колебаниях.

Основное уравнение динамики гармонических колебаний.

Гармонические осцилляторы.

Сложение гармонических колебаний.

Влияние внешних сил на колебательные процессы.

Понятие о колебаниях.

П.1. Основные понятия.

Колебания — процессы, обладающие повторяемостью.

Пример:

Тело на пружине; тело в поле силы тяжести; тело в потоке жидкости или газа.

Период– время одного полного колебания.

Периодические колебания —если система приходит в исходное состояние или подобное ему через равные промежутки времени. Эти промежутки времени называются периодами: [ Т ] = с.

Частотаколебаний определяет число полных колебаний в единицу времени:

[ ] = c-1 = Гц

Амплитуда колебаний максимальное отклонение колебательной системы от положения равновесия: [A] = м.

В общем случае физическая величина x с течением времени изменяется по какому-либо закону x(t), если она изменяется по закону sin или cos, то такие колебания называются – гармоническими колебаниями.

Закон гармонических колебаний:

где x(t) — смещение системы от положения равновесия в момент времени t;

ω — циклическая частота колебаний;

φ0 — начальная фаза колебаний;

φ(t) = (φt + φ0) — фаза колебаний.

Гармонические колебания являются периодическими.

x(t+T) = x(t)

x(t+T) = Acos(ω(t+T)) + φ0) = Acos(ωt + φ0)

ωT = 2π =>.

График гармонического колебания:

П.2. Скорость и ускорения при колебаниях.

при .

Скорость также изменяется по гармоническому закону и отстаёт от координат по фазе на .

при .

Ускорение отстаёт от координаты при колебаниях по фазе на π.

П.3. Энергия гармонических колебаний.

Вычислим энергию тела массой m, совершающего гармонические колебания с амплитудой А и круговой частотой ω:

Потенциальная энергияП тела, смещенного на расстояние х от положения равновесия, измеряется той работой, которую произведет возвращающая сила Fx = −kx, перемещая тело в положение равновесия.

Кинетическая энергия К

сложив почленно оба уравнения, получим выражение для полной энергии:

Т.о. полная механическая энергия гармонически колеблющегося тела пропорциональна квадрату амплитуды колебания.

Гармонические осцилляторы.

П.1. Пружинный маятник.

Пружинный маятник – это груз массой m, подвешенный на абсолютно упругой пружине с жесткостью k, совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F = − kx.

Уравнение движения маятника:

Решением этого уравнения всегда будет выражение вида: .

П.3. Физический маятник.

Физический маятникэто твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С.

При отклонении этого тела от положения равновесия на угол α также возникает вращающий момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия:

M= − mgl·sinα,

где l – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника С.

Обозначим через J момент инерции маятника:

Его решение имеет вид: , где

Из формулы следует, что физический маятник при малых отклонениях также совершает гармонические колебания, частота которых зависит от массы и момента инерции маятника.

Аналогично периоду математического маятника получим:

Величину момента инерции J иногда бывает трудно вычислить.

Сопоставляя и получим, что физический маятник с длиной будет иметь такой же период колебаний, как и математический:

где – приведенная длина физического маятникаэто длина такого математического маятника, период колебания которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

Точка O' на продолжении прямой ОС, отстоящая от точки подвеса О на расстоянии приведенной длины , называется центром качаний физического маятника. Применяя теорему Штейнера, получим:

т.е. всегда больше . Точки О и О' всегда будут лежать по обе стороны от точки С.

Точка подвеса О маятника и центр качаний O' обладают свойством взаимозаменяемости: если маятник перевернуть и подвесить за точку О', то прежняя точка О станет центром качаний и период колебаний физического маятника не изменится.

На этом свойстве основано определение ускорения силы тяжести g с помощью так называемого оборотного маятника. Это такой маятник, у которого имеются две точки подвеса и два груза, которые могут перемещаться вдоль оси маятника. Перемещением грузов добиваются того, что расстояние между точками подвеса будет соответствовать . Тогда, измерив период Т и , легко рассчитать g по .

Понятие о колебаниях.

Основное уравнение динамики гармонических колебаний.

Гармонические осцилляторы.

Источник: https://cyberpedia.su/10x78ab.html

Динамика гармонических колебаний. Гармонические осцилляторы: пружинный, математический и физический маятники

Динамика гармонических колебаний

6. Динамика гармонических колебаний

Механические гармонические колебания

Пусть материальная точка совершает пря­молинейные гармонические колебания вдоль оси координат х около положения равновесия, принятого за начало коорди­нат. Тогда зависимость координаты х от времени t задается уравнением, аналогич­ным уравнению (140.1), где s=x:

х=Аcos(ω0t+φ). (141.1)

Согласно выражениям (140.4) и (140.5), скорость v и ускорение а колеблющейся точки соответственно равны

Сила F=ma, действующая на колеблю­щуюся материальную точку массой т, с учетом (141.1) и (141.2) равна

F= -mω20x.

Следовательно, сила пропорциональна смещению материальной точки из положе­ния равновесия и направлена в противопо­ложную сторону (к положению равнове­сия).

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гар­монические колебания, равна

Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические коле­бания под действием упругой силы F, равна

Сложив (141.3) и (141.5), получим форму­лу для полной энергии:

Полная энергия остается постоянной, так как при гармонических колебаниях спра­ведлив закон сохранения механической энергии, поскольку упругая сила консер­вативна.

Из формул (141.4) и (141.6) следует, что Т и П изменяются с частотой 2ω0, т. е. с частотой, которая в два раза превы­шает частоту гармонического колебания.

На рис. 200 представлены графики зави­симости х, Т и П от времени. Так как = =1/2, то из формул (141.3), (141.5) и (141.7) следует, что = =1/2E.

17. Гармонический осциллятор.

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описы­ваемые уравнением вида (140.6):

Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодиче­ского движения и служат точной или при­ближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики.

При­мерами гармонического осциллятора яв­ляются пружинный, физический и матема­тический маятники, колебательный контур (для токов и напряжений столь малых, что элементы контура можно было бы считать линейными; см. §146).

Гармонический осциллятор (в классической механике) — это система, которая при смещении из положения равновесияиспытывает действие возвращающей силы , пропорциональной смещению (согласно закону Гука):

где k — положительная константа, описывающая жёсткость системы.

1. Пружинный маятник — это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F = –kx, где k —жесткость пружины. Уравнение движения маятника

Из выражений (142.1) и (140.1) следует, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону х=А соs (w0t + j) с циклической частотой (142.2)

и периодом (142.3)

Формула (142.3) справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука (см. (21.3)), т. е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника, согласно (141.5) и (142.2), равна

2. Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела (рис. 201).

Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол a, то в соответствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела (18.3) момент M возвращающей силы можно записать в виде

(142.4)

где J — момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подве­са О, l – расстояние между ней и центром масс маятника, Ft= –mg sina »–mga.

возвращающая сила (знак минус обусловлен тем, что направления Ft и a всегда противоположны; sina »a соответствует малым колебаниям маятника, т.е.

малым отклонениям маятника из положения равновесия). Уравнение (142.4) можно записать в виде

Принимая

(142.5)

получим уравнение

идентичное с (142.1), решение которого (140.1) известно:

(142.6)

Из выражения (142.6) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой w0 (см. (142.5)) и периодом

(142.7)

где L=J/(ml)приведенная длина физического маятника.

Точка О' на продолжении прямой ОС, отстоящая от точки О подвеса маятника на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний физического маятника (рис. 201). Применяя теорему Штейнера (16.1), получим

т. е. ОО' всегда больше ОС. Точка подвеса О маятника и центр качаний О' обладают свойством взаимозаменяемости: если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка О подвеса

станет новым центром качаний, и период колебаний физического маятника не изменится.

3. Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити. Момент инерции математического маятника (142.8)

где l — длина маятника.

Так как математический маятник можно представить как частный случай физичес­кого маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке — центре масс, то, подставив выражение (142.8) в формулу (1417), получим выражение для периода малых колебаний математического маятника (142.9)

Сравнивая формулы (142.7) и (142.9), видим, что если приведенная длина L физического маятника равна длине l математического маятника, то периоды колебаний этих маятников одинаковы.

Следовательно, приведенная длина физического маятника — это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.



Источник: https://infopedia.su/8x118ea.html

Динамика гармонических колебаний

Динамика гармонических колебаний

Для определения характера движения механической системы нужно, исходя из законов динамики или закона сохранения энергии, составить уравнение движения системы, и если оно приводится к виду (7), то можно однозначно утверждать, что данная система является гармоническим осциллятором, часто­та ω которого равна корню квадратному из коэффициента при х. Рассмотрим несколько примеров с маятниками и затем обобщим получен­ные результаты.

Всякое твердое тело, колеблющееся под действием силы тяжести вокруг неподвижной точки или оси, называют маятником.

Грузик на пружине. Пусть грузик массы т, подвешенный на невесомой пружине жесткости k, совершает вер­тикальные колебания (рис. 2). Возьмем нача­ло О оси X в

положении равновесия, где ,– растяжение пружины в этом по­ложении. Тогда, согласно основному уравнению динамики, , или

.

Из сопоставления с (7) видим, что это урав­нение гармонического осциллятора, колеблю­щегося около положения равновесия с частотой ω и периодом Т,равными

, . (10)

Период колебаний Т не зависит от амплитуды а. Это свойство называется изохронностью колебаний. Изохронность, однако имеет место до тех пор, пока справедлив закон Гука. При больших растяжениях закон Гука нарушается. Тогда и колебания перестают быть изохронными, т. е. появляется зависимость периода колебаний от амплитуды.

Математический маятник. Материальная точка массы т, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити длиной l, совершает коле­бания в вертикальной плоскости (рис. 3).

Здесь удобнее всего использовать уравнение динамики в проекции на орт τ, направление которого совпадает с положительным направлени­ем отсчета дуговой координаты s (величина алгебраическая, на рисунке изображен момент, когда s > 0).

Начало отсчета s возь­мем в положении равновесия – в точке О. мея в виду, что , и что про­екция силы натяжения , запишем: ,или

.

Из сопоставления с (7) видим, что это уравнение, вообще говоря, не является уравнением гармонического осциллятора, поскольку в нем вместо смещения θ стоит . Однако при малых колебаниях, когда , уравнение совпадает с (7):

,

откуда следует, что частота ω и период Т математического ма­ятника, совершающего малые колебания, равны

, . (11)

Физический, маятник. Это твердое тело, совершающее коле­бания вокруг неподвижной оси, жестко свя­занной с телом. Рассмотрим колебания под действием силы тяжести (рис. 4).

Выберем положительное направление отсчета угла θ против часовой стрелки (ось Z направлена к нам).

Тогда проекция момента силы тяже­сти на ось Z запишется как и уравнение динамики вращательного дви­жения твердого тела примет вид

,

где I — момент инерции тела относительно оси О, l — расстоя­ние между осью О и центром масс С. Ограничимся рассмотре­нием малых колебаний, при которых . При этом усло­вии предыдущее уравнение можно записать так:

.

Колебания будут гармоническими с частотой ω и периодом Т, равными

, . (12)

Такую же частоту и период имеет математический маятник длины

, (13)

которую называют приведенной длиной физического маятника.

Точку О' (4), которая находится на прямой, проходя­щей через точку подвеса О и центр масс С, и отстоит от точки О на расстоянии ,называют центром качания физического ма­ятника.

Центр качания О' обладает замечательным свойством: если маятник перевернуть и заставить совершать малые коле­бания вокруг оси О', то период колебаний не изменится.

На этом свойстве основано определение ускорения свободного па­дения с помощью оборотного маятника: экспериментально устанавливают положения двух «сопряженных» точек (осей) О и О', малые колебания вокруг которых происходят с одинако­вой частотой. Это значит, что расстояние ОО' = . Определив ω и , из формулы (14)

находим g.

Рассмотренные примеры относятся к сво­бодным колебаниям без трения, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как она была тем или иным способом выведена из состояния равновесия.

Можно утверждать, что свободные колебания любого осциллятора в от­сутствие трения будут гармоническими, если действующая в нем сила (или момент силы) является квазиупругой, т. е.

си­лой, направленной к положению равновесия и зависящей от смещения из этого положения линейно.

Именно квазиупругий характер силы (или момента силы) служит и критерием малых колебаний.

Кроме того, частота и период свободных колебаний без тре­ния зависят только от свойств самого осциллятора в отличие от амплитуды колебаний и начальной фазы, которые определяют­ся начальными условиями.

В данной работе колебания физического и математического маятников можно считать свободными, если угол их отклонения от положения равновесия будет менее 10º.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/8_9452_dinamika-garmonicheskih-kolebaniy.html

ПОСМОТРЕТЬ ЁЩЕ:

Источник: https://helpiks.org/2-16348.html

Математический маятник

Пусть материальная точка, имеющая массу $m$, подвешена на длинной нерастяжимой нити. (Длина подвеса $l$). Данная точка выполняет колебания в вертикальной плоскости (рис.1).

Рисунок 1. Математический маятник. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Началом отсчета колебаний будем считать положение равновесия (точку $O$) рис.1. Величину смещения шарика по дуге определим «дуговой» координатой:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

$s=l\Theta$; $\ddot{s}=l\ddot{\Theta}(2)$.

Ось $X$ направим по касательной к траектории движения шарика (рис.1). При этом проекция на эту ось силы натяжения ($\vec F$) будет равна нулю, значит в проекции на $X$ второй закон Ньютона даст нам уравнение:

$m\ddot{s}=m l\ddot{\Theta}=-mg\sin\Theta $ или

$\ddot{\Theta }+\frac{g}{l}\sin \Theta =0 (3).$

Сравнивая уравнения (3) и (1) мы видим, что уравнение (3) не является уравнением гармонического осциллятора, так как во втором слагаемом левой части мы имеем синус угла, вместо самого угла. Но при малых колебаниях можно предположить, что:

$\sin\Theta \approx \Theta $, тогда уравнение (3) переходит в:

$\ddot{\Theta }+\frac{g}{l} \Theta =0 (4),$

которое по форме совпадает с уравнением колебаний гармонического осциллятора. Из уравнения (4) мы получим, что

  • циклическая частота гармонических колебаний математического маятника равна:$\omega_0=\sqrt{\frac{g}{l}}(5)$;
  • период данных колебаний не зависит от амплитуды и равен:$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}(6).$

Колебания частицы в потенциальном поле

Рассмотрим пример колебаний малой частицы в потенциальном поле с заданной потенциальной энергией.

Допустим, что материальная точка массы $m$ выполняет колебания в поле потенциальных сил. Потенциальная энергия данной точки зависит от ее координаты $x$ и представлена функцией:

$U(x)=U_0(1-\cos (\alpha x))$, где $U_0 = const$; $\alpha = const$.

Найдем частоту колебаний частицы, если ее смещение от положения равновесия малы. Положение равновесия точки в $x=0$.

В соответствии с основным уравнением динамики мы имеем:

$m\ddot{x}=F_x (7).$

Потенциальная сила и потенциальная энергия связаны соотношением:

$F_x=-\frac{\partial U(x)}{\partial x} (8).$

Используя заданную в условии функцию $U(x)$, получим:

$ m\ddot{x}=-\alpha U_0\sin (\alpha x)(9).$

Принимая во внимание тот факт, что материальная точка совершает малые колебания, положим:

$\sin (\alpha x) \approx \alpha x $, тогда уравнение (9) приведем к виду:

$m\ddot{x}+\frac{\alpha2U_0}{m}x=0(10).$

Из уравнения (10) следует, что круговая частота гармонических колебаний, совершаемых материальной точкой в заданном случае равна:

$\omega_0=\alpha\sqrt{\frac{U_0}{m}}(11).$

Рассмотренный математический маятник и частица в потенциальном поле – это системы, совершающие свободные колебания при отсутствии трения, происходящие в колебательной системе, которая предоставлена самой себе после выведения ее (каким- либо способом) из состояния равновесия.

Можно говорить о том, что свободные колебания каждого осциллятора, если трение отсутствует можно рассматривать как гармонические, при условии действия в этой колебательной системе квазиупругой силы.

Замечание 1

Силу будем считать квазиупругой, если она имеет направление к положению равновесия и линейно зависит от смещения из данного положения.

Квазиупругость силы – это критерий малости колебаний.

Частота и период свободных колебаний без трения зависят только от свойств самого осциллятора, не зависят, например, от начальных условий колебаний.

Энергия и уравнение движения

Уравнение колебаний получают, не только применяя уравнения динамики, но и закон сохранения энергии ($E$). С этой целью записывают выражение энергии и дифференцируют его по времени. Далее выставляется требование:

$\frac{dE}{dt}=0(12),$

так как энергия сохраняется ($E=const$).

Замечание 2

Система, совершающая колебания, является гармоническим осциллятором только, если потенциальная энергия пропорциональна квадрату смещения из положения равновесия:

$U(x)\sim x2(13)$.

Условие (13) называют «энергетическим» условием малости колебаний.

Получим уравнение гармонического осциллятора, если потенциальная энергия задана функцией:

$U(x)=\alpha x2$,

кинетическая энергия равна:

$E_k=\beta \dot{x}2,$

где $x$- смещение от положения равновесия; $\alpha $ и $\beta $ постоянные большие нуля. Убедимся, что условие сохранения полной механической энергии ($E=U+E_k$) приведет к получению уравнения движения колебательной системы.

  • Найдем полную механическую энергию, как сумму потенциальной и кинетической энергии:$E=U+E_k=\alpha x2+\beta \dot{x}2 (14).$
  • Продифференцируем полную энергию ($E$) (14) по времени:$\frac{dE}{dt}=2\alpha x\dot{x}+2\beta\dot{x}\ddot{x}(15).$
  • Приравняем полученную производную к нулю, так как $E=const$:$\frac{dE}{dt}=2\alpha x\dot{x}+2\beta\dot{x}\ddot{x}=0(16).$

Из уравнения (16) следует, что равенство нулю производной ($\frac{dE}{dt}$) возможно, если :

$\ddot{x}+\frac{\alpha}{\beta}x=0 (17).$

Уравнение (17) является уравнением гармонических колебаний осциллятора в заданном случае.

При этом круговая частота колебаний составляет:

$\omega_0=\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}.$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/garmonicheskie_kolebaniya/dinamika_garmonicheskih_kolebaniy/

4. Динамика гармонических колебаний

Динамика гармонических колебаний

Для определенияхарактера движения механической системынужно:

— составить уравнениедвижения системы исходя из законовдинамики или закона сохранения энергии;

— сравнить суравнением (1.1.3) ;

— если оно приводитсяк такому виду, то можно однозначноутверждать, что данная система являетсягармоническим осциллятором, частотаω0которого равна корню квадратномуиз коэффициента прих.

Колебания груза на пружине

Рассмотримколебания груза на пружине, при условии,что пружинане деформирована за пределы упругости.

Покажем,что такой груз будет совершатьгармонические колебания относительноположения равновесия (рис.1.1.3).

Действительно,согласно закону Гука, сжатая илирастянутая пружина создаёт гармоническуюсилу:

где –коэффициент жёсткости пружины,

координатаположения равновесия,

хкоординатагруза (материальной точки) в моментвремени ,

смещение отположения равновесия.

Поместимначалоотсчета координаты в положение равновесиясистемы. В этом случае.

Если пружинурастянуть на величину х, после чегоотпустить в момент времениt=0,то уравнение движения груза согласновторому закону Ньютона примет вид

kx=ma, или,и

(1.1.6)

Это уравнениесовпадает по виду с уравнением движения(1.1.3) системы, совершающей гармоническиеколебания, его решение будем искать ввиде:

. (1.1.7)

Подставим (1.17) в(1.1.6), имеем: то есть выражение (1.1.7) являетсярешением уравнения (1.1.6) при условии,что

Еслив начальный момент времени положениегруза было произвольным, то уравнениедвижения примет вид:

.

Рассмотрим,как меняется энергия груза, совершающегогармонические колебания в отсутствиевнешних сил (рис.1.14).

  • Если в момент времени t=0 : грузу сообщить смещение х=А, то его полная энергия станет равной потенциальной энергии деформированной пружины , кинетическая энергия равна нулю (точка 1).

Нагруз действует сила F= -kx, стремящаясявернуть его в положение равновесия,поэтому груз движется с ускорением иувеличивает свою скорость, а, следовательно,и кинетическую энергию. Эта сила сокращаетсмещение груза х, потенциальная энергиягруза убывает, переходя в кинетическую.Система «груз — пружина» замкнутая,поэтому её полная энергия сохраняется,то есть:

. (1.1.8)

  • В момент временигруз находитсяв положении равновесия(точка 2), его потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая максимальна.

Максимальнуюскорость груза найдём из закона сохраненияэнергии (1.1.8):

За счёт запасакинетической энергии груз совершаетработу против упругой силы и пролетает положение равновесия.Кинетическая энергия постепеннопереходит в потенциальную.

  • При груз имеетмаксимальное отрицательное смещение –А,кинетическая энергияWk=0, груз останавливается и начинает движение к положению равновесия под действием упругой силыF= —kx.

Далее движениепроисходит аналогично.

5. Маятники

Под маятникомпонимают твёрдое тело, котороесовершает под действием силы тяжестиколебания вокруг неподвижной точки илиоси.

Различают физическийи математический маятники.

Математическиймаятникэто идеализированнаясистема, состоящая из невесомойнерастяжимой нити, на которой подвешенамасса, сосредоточенная в одной материальнойточке.

например,математическим маятником, являетсяшарик на длинной тонкой нити.

Отклонениемаятника от положения равновесияхарактеризуется углом φ, который образуетнить с вертикалью(рис.1.15).

При отклонениимаятника от положения равновесиявозникает момент внешних сил (силытяжести) :

,

где m– масса, – длина маятника

Этот моментстремится вернуть маятник в положениеравновесия (аналогично квазиупругойсиле) и направлен противоположно смещениюφ, поэтому в формуле стоит знак«минус».

Уравнение динамикивращательного движения для маятникаимеет вид:

=,

где —момент инерцииматематического маятника,

угловоеускорение

Или .

Рассмотрим случаймалых колебаний,поэтомуsinφ ≈φ, обозначим,

имеем: ,или,

и окончательно =0-этоуравнение гармоническихколебаний,

его решение:.

Частота колебанийматематического маятника определяетсятолько его длиной и ускорением силытяжести, — и не зависитотмассы маятника.

Период равен:.

Если колеблющеесятело нельзя представить, как материальнуюточку, то маятник называют физическим(рис.1.1.6).

Физическиймаятниктвердоетело, которое может вращаться поддействием своей силы тяжести вокругнеподвижной горизонтальной оси О, непроходящей через центр тяжести тела.

Ось О называютосью качания маятника.

Центр тяжестимаятника совпадает с его центром масс.

Точка подвесамаятника— точка О пересечения осикачания маятника и перпендикулярнойоси качания.

Уравнение егодвижениязапишем в виде:

.

В случае малыхколебаний ,или=0, где

Это уравнениедвижения тела, совершающего гармоническиеколебания.

Частотаколебаний физического маятника зависит от его массы, длины и моментаинерции относительно оси, проходящейчерез точку подвеса.

Обозначим .

Величина называется приведённой длиннойфизического маятника — этодлина математического маятника, периодколебаний которого совпадает с периодомданного физического маятника.

Точка напрямой, соединяющей точку подвеса сцентром масс, лежащая на расстоянииприведённой длины от оси вращения,называется центром качания физическогомаятника (О’).

Если маятникподвесить в центре качания, то приведённаядлина и период колебаний будут теми же,что и в точке О.

Таким образом,точка подвеса и центр качанияобладают свойствами взаимности:при переносе точки подвеса вцентр качения прежняя точка подвесастановится новым центром качения.

Периодколебания:

Математическиймаятник, который качается с таким жепериодом, как и рассматриваемыйфизический, называется изохроннымданному физическому маятнику.

Общие выводы.Рассмотренные примеры

  • относятся к свободным колебаниям без трения, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как она была тем илииным способом выведена из состояния равновесия.

  • свободные колебания любого осциллятора в отсутствие трения будут гармоническими, если действующая внем сила (или момент силы) являетсяквазиупругой, т. е. силой, направленной к положению равновесия и зависящей от смещения из этого положениялинейно.

  • квазиупругий характер силы (или момента силы)служит и критериеммалых колебаний.

  • частота и период свободных колебаний без трения зависят только от свойств самого осциллятора.

  • Амплитуда колебаний и начальная фаза определяются начальными условиями.

Рассмотрим ещеодин пример на малые колебания.

Пример.Частицамассытсовершает колебанияв силовом поле, где ее потенциальнаяэнергия зависит от координаты хкакгдеU0и α —постоянные. Найдем частоту ω0малых колебаний частицы около положенияравновесиях = 0.

Согласно основномууравнению динамики,

/

Так как колебаниямалые, то ипредыдущее уравнение можно привести квиду

/

Отсюда следует,что .

Источник: https://studfile.net/preview/1966782/page:3/

Booksm
Добавить комментарий