Дифракция Фраунгофера на щели, на прямоугольном и круглом отверстиях

Дифракция Фраунгофера на прямоугольной щели

Дифракция Фраунгофера на щели, на прямоугольном и круглом отверстиях

Рис. 3.6 Дифракция плоской волны от щели

Дифракцию в парал­лельных лучах или дифракцию плоских волн впервые иссле­довал немецкий физик И. Фра­унгофер в 1821-1822гг.

Пусть плоская монохроматическая волна падает нормально на не­прозрачный экран Э1 с длинной узкой щелью АВ шириной а (рис. 3.6).

Согласно принципу Гюйгенса – Френеля все точки щели можно рассматривать как вторичные источники световых волн, колеблющихся в одной фазе (так как плоскость щели есть часть волновой поверхности падающей плоской волны), и распространяющихся во всех направлениях.

Из всего многооб­разия направлений выберем одно произвольное и будем рас­сматривать лучи, идущие под углом φ к падающим лучам. Па­раллельно экрану Э1 поместим линзу Л, а в ее фокальной плос­кости – экран Э2, на котором лучи соберутся в некоторой точке Р. Опустим перпендикуляр АС из точки А на крайний луч.

АС представляет собой волновую поверхность для лучей, идущих под углом φ и, согласно определению, все точки данной поверх­ности колеблются в одной фазе. Поэтому отрезок ВС является оптической разностью хода между крайними лучами пучка, ВС = Δ = аsinφ.

Поделим участок ВС на отрезки, равные λ/2 и из то­чек деления проведем плоскости, параллельные АС до пересе­чения с АВ (эти плоскости перпендикулярны рисунку и поэтому на нем изображены как прямые линии). Эти плоскости поделят щель АВ на равные полоски, которые являются зонами Френеля, т.к.

световые волны, идущие от соседних полосок, имеют раз­ность хода λ/2 (см. рис. 3.6). Если число зон будет четным, они попарно погасят друг друга, и в точке Р будет наблюдаться ми­нимум освещенности. Четное число отрезков на участке ВС со­ответствует условию аsinφ = ±2m λ/2, где m = 1,2,3…Это усло­вие называется условием дифракционного минимума. Из него находятся углы, под которыми наблюдаются дифракционные минимумы на экране. Знак “минус” соответствует лучам, иду­щим от щели под углом –φ.

Если число зон Френеля нечетно, на экране в точке Р по­лучается дифракционный максимум. Условие дифракционного максимума имеет вид

аsinφ = ±(2m + 1)λ/2, где m = 1, 2, 3…

Это условие определяет углы, соответствующие макси­мумам освещенности на экране Э2. Число m называется поряд­ком дифракционного максимума или минимума.

В центральной точке экрана О соберутся лучи, идущие в направлении φ = 0, следовательно, без разности хода.

В этом на­правлении щель действует как одна зона Френеля, создавая в точке О самый интенсивный максимум нулевого порядка. Это будет светлая полоса, повторяющая форму щели.

Дифракцион­ная картина от щели симметрична относительно точки О и ин­тенсивности максимумов более высоких порядков уменьшаются в пропорции 1 : 0,047 : 0,017 : 0,008…

Дифракционная картина на экране зависит от отношения длины волны падающего монохроматического излучения λ к ширине щели а. Из условия дифракционного минимума , следовательно расстояния от центра картины до мини­мумов возрастают с уменьшением а. Центральная светлая полоса при этом расширяется.

При а«λ вся поверхность щели будет небольшой частью лишь одной зоны Френеля. Такую щель можно считать линейным источником света, колебания от которого будут распространяться в одной фазе и дифракцион­ной картины не наблюдается.

При а»λ в центре экрана получа­ется широкая равномерно освещенная полоса, обусловленная беспрепятственным прямолинейным распространением света от источника, и на ее краях наблюдаются очень узкие дифракцион­ные полосы.

При освещении щели белым светом дифракционные мак­симумы, соответствующие различным длинам волн пространст­венно разделятся. Чем меньше длина волны, тем ближе к центру экрана будет располагаться ее максимум. Это следует из усло­вия максимума при дифракции от одной щели.

В центре экрана объединятся лучи всех длин волн, так как здесь угол φ = 0 и раз­ность хода Δ = 0, поэтому центральный максимум будет белым. Максимумы первого, второго и высших порядков разложатся в спектры, обращенные фиолетовым краем к центру экрана. По­добные спектры расплывчаты, поэтому четкое разделение по длинам волн при дифракции от одной щели получить не уда­ется.

Для получения более качественной дифракционной кар­тины свет от источника необходимо пропустить через несколько параллельных щелей.

8. Дисперсия и разрешающая сила спектрального прибора.

Основными характеристиками любого спектрального прибора, в том числе и дифракционной решетки, являются его дисперсия и разрешающая сила. От их величин зависит способ­ность прибора пространственно разделить лучи разных длин волн.

Линейная дисперсия D определя­ется как отношение , где dl — расстоя­ние между спектральными линиями, а dλ – разность длин волн этих линий. Определение справедливо также для разности частот линий dν. Угловая диспер­сия , где dφ – разность углов между лучами, отличающимися на dλ или dν со­ответственно. На рис. 3.

9 показаны два луча, идущие под углами φ и φ + dφ, и имеющие длины волн λ и λ + dλ, соответственно.

Для определения угловой дисперсии дифракционной ре­шетки продифференцируем условие главного максимума dsinφ = = mλ. Мы получим

dcosφ dφ = mdλ,

откуда следует . При малых углах cosφ≈1 и Q ≈ ≈m/d, т.е. чем выше порядок спектра и меньше период решетки, тем больше угловая дисперсия. Она не зависит от числа щелей в решетке и характеризует степень растянутости спектра в об­ласти данной длины волны.

Разрешающая сила спектрального прибора R показывает, какие близкие спектральные линии λ1 и λ2 с разностью длин dλ = λ2 — λ1 можно визуально разделить в спектре. , где λ – средняя длина волны разрещаемых линий λ1 и λ2. На рис. 3.10 пунктиром представлены две близкие спектральные линии, а сплошной кривой показаны наблюдаемые результирующие ин­тенсивности.

В случае а) обе линии воспринимаются как одна, в случае б) линии воспринимаются раздельно. Это происходит потому, что возможность визуального разделения линий зависит также от их ширины. Согласно критерию, предложенному анг­лийским физиком Д.Рэлеем, спектральные линии считаются разрешенными, если максимум одной из них совпадает с мини­мумом другой (рис. 3.

10 б).

Разрешающая сила дифракционной решетки R пропор­циональна числу щелей N и порядку спектра m, т.е. R = Nm. Приравняв друг другу два выражения для разрешающей силы, мы получим условие разрешимости линий . Если , то спектральные ли­нии разрешаются, если , линии не разрешаются.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/19_350504_difraktsiya-fraungofera-na-pryamougolnoy-shcheli.html

5.4. Дифракция Фраунгофера на отверстиях

Дифракция Фраунгофера на щели, на прямоугольном и круглом отверстиях

Рассмотрим теперь дифракцию Фраунгофера при падении плоской волны на отверстие в экране. В отличие от длинной щели здесь волны дифрагируют во всех направлениях. Каждой точке наблюдения Р соответствует определенное направление дифрагировавших волн, характеризуемое единичным вектором (рис. 1).

В качестве вспомогательной поверхности E выберем плоскость экрана XY.

Разность хода идущих по направлению вторичных волн из элемента DS этой поверхности и из начала координат O равна проекции вектора , определяющего положение DS в плоскости XY на направление , т. е.

(×). В соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля напряженность поля в точке Р пропорциональна интегралу по всей площади отверстия в экране:

, (1)

Где — волновой вектор света, дифрагировавшего в направлении . Опущенный в (1) коэффициент наклона K(a) можно считать постоянным, когда размеры отверстия много больше длины волны, и заметную интенсивность имеют лишь волны, дифрагировавшие на малые углы A.

Напряженность В плоскости XY, считается равной напряженности поля падающей волны в пределах отверстия экрана и равной нулю за его пределами.

Понимая функцию E(X, Y) именно так, можно распространить интегрирование в (1) на всю плоскость XY:

. (2)

Отсюда видно, что поле в фраунгоферовой дифракционной картине, т. е. в фокальной плоскости объектива, представляет собой (с точностью до постоянного множителя) двухмерное преобразование Фурье функции E(X, Y), описывающей поле в плоскости XY.

Функция E(Kx, Ky), т. е. фурье-образ искаженного препятствием волнового поля E(X, Y) в плоскости XY, пропорциональна комплексной амплитуде плоской волны, дифрагировавшей в определенном направлении Kx, Ky.

Пространственное разделение волн, дифрагировавших в разных направлениях, позволяет наблюдать отдельные фурье-компоненты функции E(X, Y).

Поэтому можно считать, что в дифракции Фраунгофера физически осуществляется разложение функции E(X, Y) в двухмерный интеграл Фурье.

При нормальном падении плоской волны на прямоугольное отверстие со сторонами A и B, параллельными осям X и Y из (2) находим:

, (3)

Где U1 = Kxa/2, U2 = Kyb/2, E0 – амплитуда поя волны в плоскости экрана с отверстиями. Распределение интенсивности в дифракционной картине определяется формулой

(4)

Когда длина одной из сторон много больше длины другой, мы приходим к выражению для дифракции на длинной щели. В дифракционной картине от прямоугольного отверстия (рис. 2)

Распределение интенсивности в соответствии с (3) дается произведением распределений от взаимно перпендикулярных щелей.

Интенсивность равна нулю вдоль двух рядов линий, параллельных сторонам прямоугольника. Заметную интенсивность имеют лишь средние цепочки максимумов, образующие «крест» на рис. 2а.

Относительная высота максимумов интенсивности, расположенных вдоль этих линий, характеризуется соотношением

1 : 0,047 : 0,017 : … » 1 : [2/3p]2 : [2/5p]2 : … (5)

Величина остальных максимумов столь мала (0,2% для ближайших к центру), что они трудно наблюдаемы.

Большая часть светового потока приходится на центральный максимум, и именно его можно рассматривать как изображение находящегося в фокусе коллиматора точечного источника, получающееся в фокальной плоскости объектива при ограничении сечения, формирующего изображение пучка света прямоугольной диафрагмой. Это изображение шире в направлении более короткой стороны прямоугольника.

Дифракция Фраунгофера от круглого отверстия представляет большой практический интерес, так как в оптических приборах оправы линз и объективов, а также диафрагмы имеют обычно круглую форму.

При вычислении интеграла (2) целесообразно перейти к полярным координатам r и j в плоскости отверстия: X = rCosJ, Y = rSinJ.

Направление дифрагировавшей волны, соответствующее точке Р, удобно характеризовать углом q с осью Z и азимутальным углом y: KxKSinq CosY, KyKSiny sinq. Тогда Kxx + KyyKR sinq cos(j – y) и интеграл (2) принимает вид

, (6)

RDRDJ — элемент площадки, A – радиус вектор отверстия. Используя интегральное представление для бессолевых функций нулевого порядка

, (7)

Выразим Ep через интеграл от J0(KRsinq) который вычисляется с помощью соотношения

, (8)

Где J1(Z) – функция Бесселя первого порядка.

Дифракционная картина от круглого отверстия имеет вид концентрических светлых и темных колец (рис. 2б) со следующим радиальным распределением интенсивности:

, (9)

Где q — угол дифракции. График этой функции приведен на рис. 3. Она имеет главный максимум при U = 0 и с ростом U осциллирует с быстрым уменьшением амплитуды, подобно функции (sinj/U), описывающей дифракцию на щели. Угловые радиусы qM темных колец равны 0,61l/A, 1,12l/A, 1,62l/A.

Расстояние между соседними кольцами с увеличением их номера приближается к p/2A. Эффективный размер дифракционной картины и здесь обратно пропорционален размеру отверстия. Интенсивность максимумов быстро уменьшается: уже в ближайшем максимуме она составляет менее 2% от интенсивности центрального максимума, на который приходится 84% проходящего через отверстие светового потока.

Поэтому центральный максимум (диск Эйри), имеющий угловой радиус

, (10)

Можно рассматривать как изображение точечного источника, уширенное дифракцией на круговой диафрагме радиусом A. Соотношение (10) играет важную роль в вопросе о разрешающей силе оптических инструментов.

Важно отметить, что распределение интенсивности в фраунгоферовой дифракционной картине не изменится, если отверстие сместить в плоскости экрана в сторону, не изменяя его ориентации. Картина в фокальной плоскости объектива всегда симметрична по отношений к его оси независимо от положения отверстий.

Особый интерес представляет случай, когда в экране имеется большое число N одинаковых отверстий. При правильном, регулярном, расположении отверстий, когда их ориентация и расстояния между ними одинаковы, разность фаз между волнами, дифрагировавшими от соседних отверстий, имеет определенное значение.

Интерференция этих волн существенно влияет на дифракционную картину. В направлениях, для которых разность фаз кратна 2p, амплитуда дифрагировавших волн в N раз больше, а интенсивность в N раз больше, чем от одного отверстия. Такое резкое увеличение интенсивности для некоторых направлений имеет большое практическое значение.

Случай регулярного расположения отверстий подробно рассмотрен на примере дифракционной решетки.

При хаотическом, беспорядочном расположении отверстий фазовые соотношения между волнами от отдельных отверстий имеют случайный характер.

Поэтому для каждого направления наблюдения происходит простое сложение интенсивностей волн, дифрагировавших от всех отверстий. Распределение интенсивности в дифракционной картине от одного отверстия не зависит от его положения.

От большого числа N отверстий получается такая же картина, усиленная по интенсивности в N раз.

Источник: https://www.webpoliteh.ru/5-4-difrakciya-fraungofera-na-otverstiyax/

Дифракция Фраунгофера на щели и круглом отверстии

Дифракция Фраунгофера на щели, на прямоугольном и круглом отверстиях
Проекционные аппараты Читать далее: Разрешающая способность глаза

2.2. Дифракция Фраунгофера на щели и круглом отверстии.

Если перед линзой расположена диафрагма в виде узкой щели ширины D, то расчет для дифракционной картины Фраунгофера не представляет труда. В этом случае для распределения интенсивности в дифракционной картине получается выражение

(2.2)

Здесь q – угловая координата плоскости наблюдения. При наблюдении дифракции в геометрически сопряженной плоскости линейная координата r связана (в случае малых углов) с угловой координатой соотношением: r = F*q. (или r = F2*q для случая рисунка 2.2).

Распределение l(q) имеет главный максимум при q = 0 и эквидистантно расположенные нули при sinq = ml/D, где m – целое число. Значительная часть энергии света, прошедшего через щель, локализуется в главном дифракционном максимуме, угловая полуширина которого равна l/D.

Интенсивность соседнего максимума составляет приблизительно 5 % от интенсивности в центре дифракционной картины. Этот случай представляет для дифракционной теории оптических инструментов чисто методический интерес, поскольку, как правило, входные апертуры имеют вид круглых отверстий.

Расчет фраунгоферовой дифракции на круглом отверстии оказывается достаточно громоздким и приводит к бесселевым функциям первого порядка I1.

Распределение интенсивности света при дифракции Фраунгофера на круглом отверстии диаметра D выражается формулой

(2.3)

Распределения (2.2) и (2.3) очень похожи друг на друга. Картина дифракции на круглом отверстии имеет вид концентрических колец. Центральное светлое пятно носит название пятна Эйри. Интенсивность в максимуме первого светлого кольца составляет приблизительно 2 % от интенсивности в центре пятна Эйри. Распределение (2.3) показано на рис. 2.3.

Рисунок 2.3.

Дифракция Фраунгофера на круглом отверстии.

При оценке разрешающей способности оптических инструментов важно знать размер центрального дифракционного максимума. Угловой радиус пятна Эйри выражается соотношением

(2.4)

2.3. Интенсивность света в фокусе линзы.

Как следует из формулы (2.4), линейный размер дифракционного пятна пропорционален 1/D , а его площадь в фокальной плоскости ~ 1/D2. При этом полный поток световой энергии, проходящий через линзу, изменяется пропорционально ее площади (~ D2). Таким образом, интенсивность света в фокусе (в центре пятна Эйри) изменяется прямо пропорционально D4.

Этот результат можно строго получить методом зон Френеля. Линзу следует рассматривать, как зонную пластинку, которая компенсирует фазовые сдвиги световых колебаний в фокусе как от различных зон Френеля так и от разных элементов одной и той же зоны.

На языке векторных диаграмм это означает, что линза «выпрямляет» цепочку элементарных векторов, образующих векторную диаграмму для кольцевых зон Френеля.

Число зон Френеля, укладывающихся на линзе, в случае, когда точка наблюдения совпадает с главным фокусом, равно m = D2/4lF. Вклад одной зоны равен pA0, где А0 — амплитуда волны от источника. Пренебрегая закручиванием спирали, то есть считая вклады всех зон одинаковыми, получим А = mpA0. Следовательно, выигрыш от фокусировки

(2.5)

где S – площадь линзы. Из-за малого значения оптической длины волны отношение I / I0 оказывается весьма значительным. Например, для линзы диаметром D = 5 см и фокусным расстоянием F = 50 см выигрыш от фокусировки оказывается порядка 108.

2.4. Дифракционный предел разрешения оптических инструментов

2.4.1. Разрешающая способность телескопа.

Под разрешающей способностью телескопа принято понимать разрешающую способность его объектива. Телескопы предназначены для наблюдения удаленных объектов (звезд).

Пусть с помощью телескопа, объектив которого имеет диаметр D, рассматриваются две близкие звезды, находящиеся на угловом расстоянии . Изображение каждой звезды в фокальной плоскости объектива имеет линейный размер (радиус пятна Эйри), равный lF/D.

При этом центры изображений находятся на расстоянии y*F. Как и в случае спектральных приборов, при определении дифракционного предела разрешения используется условный критерий Рэлея (рис. 2.4).

Разница состоит в том, что в случае спектральных приборов речь идет о разрешении двух близких спектральных линий по их изображениям, а в случае оптических инструментов – о разрешении двух близких точек объекта.

Согласно критерию Рэлея, две близкие точки объекта считаются разрешенными, если расстояние между центрами дифракционных изображений равно радиусу пятна Эйри.

Рисунок 2.4.

Предел разрешения изображений двух близких звезд по Рэлею.

Применение критерия Рзлея к объективу телескопа дает для дифракционного предела разрешения:

(2.6)

Следует отметить, что в центре кривой суммарного распределения интенсивности (рис. 2.4) имеется провал порядка 20 % и поэтому критерий Рэлея лишь приблизительно соответствует возможностям визуального наблюдения. Опытный наблюдатель уверенно может разрешать две близкие точки объекта, находящиеся на расстоянии в несколько раз меньшем ymin.

Числовая оценка дает для объектива диаметром D = 10 см, ymin = 6,7*10-6 рад = 1,3”, а для D=102 см, ymin = 0,13”.

Этот пример показывает, насколько важны большие астрономические инструменты. Крупнейший в мире действующий телескоп-рефлектор имеет диаметр зеркала D = 6 м. Теоретическое значение предела разрешения такого телескопа ymin = 0,023”.

Для второго по величине телескопа-рефлектора обсерватории Маунт-Паломар с D = 5 м теоретическое значение ymin = 0,028”. Однако, нестационарные процессы в атмосфере позволяют приблизиться к теоретическому значению предела разрешения таких гигантских телескопов лишь в те редкие кратковременные периоды наблюдений.

Большие телескопы строятся главным образом для увеличения светового потока, поступающего в объектив от далеких небесных объектов.

Проекционные аппараты Читать далее: Разрешающая способность глаза

… основано на результатах огромного числа экспериментальных исследований дифракции света, интерференции, поляризации света и распространения в анизотропных средах.

Одна из важнейших традиционных задач оптики — получение изображений, соответствующих оригиналам как по геометрической форме, так и по распределению яркости решается главным образом геометрической оптикой с привлечением физической оптики …

… как я писал вам, совершенствуется в колорите»[31].

В то же время Крамской со свойственной ему глубиной и широтой во взглядах на искусство сразу же почувствовал здоровую основу и сильные стороны творчества Шишкина и его огромные возможности.

В том же письме к Васильеву Крамской, отмечая с суровой беспристрастностью некоторую ограниченность, присущую в те годы творчеству Шишкина, определил место и …

Источник: https://www.KazEdu.kz/referat/53088/3

Дифракция Фраунгофера от круглого отверстия

Дифракция Фраунгофера на щели, на прямоугольном и круглом отверстиях

ДифракциюФраунгофера от круглого отверстиядиаметром Dможно наблюдать на удаленном экранеили в фокальной плоскости собирающейлинзы, направив на отверстие в непрозрачнойпреграде нормально плоскую световуюволну. Дифракционная картина будетиметь вид центрального светлого пятна,окруженного чередующимися темными исветлыми кольцами.

Нижеизображена зависимость интенсивностисветаотвеличины Ф=.Имеется главный максимум при φ = 0 (в неговсе вторичные волны приходят в одинаковыхфазах) и ряд максимумов (светлые кольца)и минимумов (темные кольца), тем болееблизких между собой, чем большеDи чем меньшеλ. Индекс (о) у отмечает, что это интенсивность светапри дифракции от круглого отверстия.

Соответствующийрасчет дает для первого минимума (первоготемного кольца): .

Для экрана,установленного на большом расстоянииLот преграды с отверстием, с учётоммалости угла φ1(),получаем для диаметра первого тёмногокольца:

.

В центрефраунгоферовой дифракционной картиныот круглого отверстия всегда образуетсямаксимум.

Подавляющая частьсветового потока (~84%), проходящего черезотверстие, попадает в область центральногосветлого пятна, которое можно рассматриватькак изображение удалённого точечногоисточника, уширенного дифракцией откраёв круглого отверстия диаметра .Размер дифракционной картины тем меньше,чем больше диаметр отверстия.

Случай круглогоотверстия на практике представляетбольшой интерес, так как все оправы линзи объективов имеют обычно круглую форму.

Критерий применимости геометрической оптики

Пусть на отверстиепадает плоская волна. Для т-ой зоны Френеля ()имеем:

.

Если размернеоднородности h намного меньше 1-ой зоны Френеля (),то наблюдают дифракцию Фраунгофера.

Если размер h сравним с размером 1-ой зоны Френеля (либо чуть меньше, либо равен несколькимпервым зонам Френеля) т.е. , то наблюдают дифракцию Френеля.

Если размернеоднородности значительно больше чемнесколько первых зон Френеля ,то надо пользоваться только законамигеометрической оптики.

Лекция 15

Дифракционная решётка

Дифракционнуюрешётку может представлять системапараллельных щелей одинаковой шириныa, находящихсядруг от друга на одинаковом расстоянииb.Величинаd= a+ bназываетсяпостояннойрешёткиили её периодом.

Традиционнымспособом изготовления дифракционнойрешётки является нанесение на стекляннуюпластинку параллельных штрихов черезодинаковые интервалы с помощью делительноймашины, снабжённой алмазным резцом(штрихи свет не пропускают, обеспечиваяодинаковые непрозрачные промежуткимежду щелями). В настоящее времяразработаны и другие технологииизготовления дифракционных решёток.

Общий размеррешётки в направлении, перпендикулярномк её элементам

,

где N– число штрихов решётки.

Пусть на решёткупадает плоская монохроматическая волнаперпендикулярно её плоскости. Наблюдениедифракционной картины производится впараллельных лучах с помощью линзы,собирающей свет на экран, помещённый веё фокальной плоскости или на значительномудалении экрана от места расположениядифракционной решетки.

Придифракции на решётке колебания во всехточках щелей происходят в одной фазе,поскольку эти точки принадлежат однойи той же волновой поверхности.Следовательно, колебания, приходящиев точку наблюдения РО,Рφ,… , от разных щелей когерентны. Длянахождения результирующей амплитуды(и интенсивности) необходимо найтифазовые соотношения между этимикогерентными колебаниями.

При расчётедифракционной картины на экране,необходимо учитывать интерференциювторичных волн как от разных участководной щели (дифракцияФраунгофера от щели),так и от разных щелей решётки (многолучеваяинтерференция).Для учёта многолучевой интерференциитакже как и при рассмотрении дифракцииФраунгофера на щели удобно использоватьметодвекторных диаграмм.

В фокус линзы, т.е.в середину дифракционной картины,когерентные колебания от всех щелейприходят в одинаковой фазе. Это означает,что если амплитуда от одной щели равнаА01, а число щелей в решётке N, то результирующая амплитуда в точкеР0равна

A0= A01.N.

В точку Рφ придутколебания одинаковой амплитуды Аφ1, но с разными фазами: разность фазколебаний от соседних щелей одинаковаи равна , так как разность хода для них.

Выберем началоотсчёта времени так, чтобы фазаэлектрического поля, создаваемого вточке наблюдения Рφпервой(крайней) щелью, была равна нулю. Векторнаядиаграмма в этом случае – ломаная линия,состоящая из звеньев одинаковой длиныАφ1, причём каждое звено образует одинаковыйугол γ с предыдущим звеном .

Обозначимрезультирующую амплитуду в точкеРφот всех щелей Аφ.

Из рисунка имеем

,где

ОС = R – радиусокружности.

и .

Исключив R,получим

,

где .

Для интенсивностисвета получаем

, где – интенсивность света при дифракцииФраунгофера от одной щели в направленииуглаφ.

Окончательнополучаем

, где

интенсивность отодной щели при .

Очевидно ,когда векторная диаграмма образуетзамкнутый многоугольник. Первый разцепочка векторов замыкается и векторобращается в нуль, когда уголстановитсяравным 2π; затем 4π, 6π и т.д.

Цепочкараспрямляется, и Аφимеет наибольшее возможное значение,а именно: Аφ=N.Aφ1(),если…т.е. векторная цепочка вытягивается впрямую.

При, будут максимумы (и).

С учётом того, чтои что в максимумахполучаем условие максимумов:

Волны от соседнихщелей усиливают друг друга, т.е. волныот всех щелей усиливают друг друга. Этоозначает, что последнеесоотношение определяет направления,по которым образуются главные максимумы.

Графически сложениеамплитуд от отдельных щелей, приводящеек образованию главных максимумовпоказано на рисунке.

Амплитуда Аφглавных максимумов, не одинакова. Онамодулируется множителем ,т.е.амплитуда главных максимумов модулируетсядифракцией Фраунгофера ототдельныхщелей.Максимальное значение равно единице.

Оно достигается приусловии, которое соответствуетцентральномумаксимуму(φ= 0). Амплитуда всех остальных главныхмаксимумов меньше.

Если главный максимумприходится на направление, для которого(а значит), то этот главный максимум отсутствует.

Целое число тв условии главных максимумов называютпорядкомглавногомаксимумаили порядкомспектра.

Минимумы излученияобразуются тогда, когда в результатесложения векторов амплитуд от отдельныхщелей получается результирующая нулеваяамплитуда, т.е. .Это происходит, еслибудетравен чётному числу π. Поэтому условиеминимумовамплитуд (и интенсивностей) в дифракционнойкартинезаписывается в виде

Между двумясоседними главными максимумами имеется(N– 1) минимумов. Ясно, что между минимумамидолжны быть максимумы, которые называютсявторостепенными.Следовательно, между двумя соседнимиглавными максимумами имеется (N2)второстепенных максимумов.

На этимаксимумы и минимумы накладываютсяминимумы, возникающие при дифракции ототдельной щели. Второстепенные максимумыслабы по сравнению с главными максимумами.Они создают более или менее равномерныйслабый фон.

На нём выступают узкие ирезкие главные максимумы, в которыхконцентрируется практически весьдифрагированный свет.

На эти максимумыи минимумы накладываются минимумы,возникающие при дифракции от отдельнойщели. Наиболее яркими получаютсямаксимумы в пределах центральногомаксимума при дифракции от одной щели.

Пунктирная криваяизображает интенсивность от одной щели,умноженную на .

Источник: https://studfile.net/preview/1672847/page:3/

Дифракция Фраунгофера на щели, на прямоугольном и круглом отверстиях

Дифракция Фраунгофера на щели, на прямоугольном и круглом отверстиях

Дифракция Фраунгофера на длинной, прямоугольной щели — простейший и важный с точки зрения применения на практике случай дифракции. Пусть ширина щели равна $b$, длина ее бесконечна. Плоская монохроматическая волна падает на щель перпендикулярно (рис.1).

Рисунок 1.

Поле световой волны можно найти за щелью по принципу Гюйгенса как результат интерференции когерентных вторичных волн от разных точек волнового фронта щели. Рассмотрим вторичные волны, которые дает полоса волнового фронта, имеющая ширину $dx$ (эта полоса параллельна щели) (рис.1). Такие волны складываются в цилиндрическую волну Ее ось — выделенная полоса $dx.$ Угол $\vartheta$ (рис.

1) считают малым, но следует учесть разность фаз волн, которые исходят между разными полосками (имеются в виду фазы колебаний на бесконечном расстоянии от щели). Волна, которая исходит от $dx$ опережает волну этого же направления, распространяющуюся из середины щели $O$ на величину: $kxsin\vartheta.

$ Как результат, поле световой волны ($E$) на бесконечности, которое создается всей щелью, выразим как:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Интеграл (1) записан с точностью до множителей, которые не влияют на относительное распределение поля волны по направлениям. Из выражения (1) следует, что распределение интенсивности света в зависимости от направления имеет вид:

где $I_0$ — интенсивность в направлении падающей волны.

Функции $\frac{sin\alpha }{\alpha }\ и\ {\left(\frac{sin\alpha }{\alpha}\right)}2$имеют максимум равный единице при $\alpha=0$. При $\alpha =m\pi,\ где\ m=\pm 1,\pm 2,\dots ,\ \frac{sin\alpha }{\alpha }={\left(\frac{sin\alpha }{\alpha }\right)}2=0,\ $то есть имеется минимум интенсивности. Условие минимума можно записать как:

Выражение (3) значит, что разность хода волн крайних точек щели содержит цело число волн.

Между двумя соседними минимумами расположены максимумы разных порядков, чьи положения определены уравнением:

Можно считать, что максимумы лежат посередине между соседними минимумами.

Если свет падает на щель по углом ($\vartheta_0$), отличном от ${90}0$, то условие дифракционного минимума перейдет в выражение:

В случае малых углов условие минимума можно записать как:

Основная доля света сосредотачивается в центральной полосе дифракции, то есть между минимумами первого и минус первого порядков.

Световые лучи, которые прошли через диафрагму, отклоняются от своего первоначального направления на угол:

где $D$ — поперечное сечение пучка (в таком направлении, где оно минимально). Данное изменение ширины пучка вызвано волновой природой света и не может быть ликвидировано при заданной ширине пучка. Следовательно, параллельные пучки света — идеализация.

В том случае, если ширина щели становится меньше (или порядка) длины волны, приближенный метод, использованный выше, становится неприменимым, задачу по поиску распределения поля следует решать, применяя уравнения Максвелла и соответствующие граничные условия.

Дифракция Фраунгофера на прямоугольном отверстии

Пусть свет падает перпендикулярно к плоскости экрана с отверстиями. Плоскость координат ($XY$) совместим с плоскостью экрана. Пусть $dF$ — элемент площади в плоскости экрана, его радиус вектор $\overrightarrow{r}(x,y)$. При этом направление световой волны после дифракции определим через единичный вектор $\overrightarrow{s}$.

Разность хода между лучами, которые распространяются в направлении $\overrightarrow{s}$ из элемента $dF$ и начала координат ($O$) — это длина отрезка $OA$, которая равна ($\overrightarrow{r}\overrightarrow{s}$) рис.2. Разность фаз при этом равна$\ k\left(\overrightarrow{r}\overrightarrow{s}\right).

$ При этом поле для картины дифракции Фраунгофера представим как:

Если рассматривать прямоугольное отверстие, то применяют прямоугольную систему координат, выбирая оси координат параллельными сторонам отверстия.

Рисунок 2.

Используя выражение (7) для прямоугольного отверстия со сторонами $a,b$, имеем:

где $\alpha =\frac{1}{2}kas_x=\frac{\pi as_x}{\lambda },\ \beta =\frac{1}{2}kas_y=\frac{\pi as_y}{\lambda }.$

Интенсивность определена в соответствии с формулой:

Дифракция Фраунгофера на круглом отверстии

Так как все оправы линз и объективов имеют в большинстве случаев круглую форму, то дифракция на круглом отверстии имеет большой практический интерес.

В таком случае при вычислении интеграла (7) переходят к полярным координатам.

Если углы дифракции малы, то интеграл выражается с помощью функции Бесселя первого порядка ($J_1(\alpha )$), где $\alpha =kR\vartheta =\frac{2\pi R\vartheta }{\lambda }$, где $R$ -радиус отверстия, $\vartheta$ — угол дифракции.

В центре картины дифракции находится круглый максимум, окруженный темными и светлыми кольцами дифракции. Максимумы интенсивности в светлых кольцах убывают. Радиус первого темного кольца находят из условия:

Угловой размер (${\theta }_0$) светлого круглого пятна, которое наблюдается из центра:

В пределах центрального светлого пятна сосредоточено $84\%$ всей энергии, которая проходит через отверстие.

Пример 1

Задание: Какое число длин волн размещается на ширине щели, если на нее нормально падает монохроматический свет? Направление распространения световой волны на четвертую темную полосу дифракции равно $2{}\circ {12}'.$ Считайте щель узкой.

Решение:

В качестве основы для решения задачи используем условие минимумов для дифракции света, падающего перпендикулярно на узкую щель:

\[bsin\vartheta =m\lambda \left(1.1\right).\]

Число длин волн размещается на ширине щели ($\frac{b}{\lambda }$) из выражения (1.1) равно:

\[\frac{b}{\lambda }=\frac{m}{sin\vartheta }\left(1.2\right).\]

Из условия задачи имеем $m=4$, $\vartheta$=$2\circ {12}'=2,2\circ $.

Проведем вычисления:

\[\frac{b}{\lambda }=\frac{4}{sin2,2}=104.\]

Ответ: $\frac{b}{\lambda }=104$.

Пример 2

Задание: На экран с круглым отверстием ($R=1,2$ мм) перпендикулярно падает параллельный пучок света с длиной волны равной $0,6$ мкм. Каково максимальное расстояние от отверстия до точки, расположенной на оси отверстия, где может наблюдаться самое темное пятно.

Рисунок 3.

Решение:

В качестве основы для решения задачи используем формулу для минимумов при дифракции на круглом отверстии:

\[R=\sqrt{bm\lambda \ }\to b=\frac{R2}{m\lambda }\left(2.1\right)\ (где\ m-четное\ число).\]

По условию задачи $m=2$ самый темный минимум. Переведем данные в систему СИ:

$R=1,2\ мм=1,2\cdot {10}{-3}м$, $\lambda =0,6\ мкм=0,6\ \cdot {10}{-6}м.$ Проведем вычисления:

\[b=\frac{{\left(1,2\cdot {10}{-3}\right)}2}{2\cdot 0,6\ \cdot {10}{-6}}=1,2\ \left(м\right).\]

Ответ: $b=1,2\ м$.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/optika/difrakciya_fraungofera_na_scheli_na_pryamougolnom_i_kruglom_otverstiyah/

Booksm
Добавить комментарий