Частота математического маятника

Математический маятник

Частота математического маятника

«Мир, в котором мы живём,

удивительно склонен к колебаниям….

Колеблются даже атомы,

из которых мы состоим».

Данная тема посвящена решению задач на математический маятник.

Задача 1. Математический маятник совершил 30 колебаний за минуту. Найдите период и частоту колебаний, а также длину маятника.

ДАНО:СИРЕШЕНИЕПериод колебаний можно определить по формулеЧастота колебаний рассчитывается по формулеПериод колебаний математического маятника рассчитывается также по формулеПреобразуем эту формулу и выразим из неё длину маятника

Ответ: период – 2 с, частота – 0,5 Гц, длина маятника – 99 см.

Задача 2. При уменьшении длины математического маятника на 2 см, период его колебаний уменьшается в 1,5 раза. Найдите первоначальную длину маятника.

ДАНО:СИРЕШЕНИЕПериод колебаний математического маятника определяется по формулеВ соответствии с этим, составим выражения для начального и конечного периода колебанийТ.к. период колебаний уменьшился в 1,5 раза, то получаемПреобразуем полученную формулу

Ответ: 3,6 см.

Задача 3. Математический маятник, проходя нижнюю точку имеет скорость 1 м/с, а его длина равна 20 см. Определите вертикальное отклонение маятника от положения равновесия в момент времени t = 5 с, если в начальный момент времени маятник находится на максимальной высоте.

ДАНО:СИРЕШЕНИЕПоскольку в начальный момент времени отклонение максимально, мы можем заключить, что маятник колеблется по закону косинуса.Запишем уравнение гармонических колебаний в общем видеИсходя из начального условия, сдвиг фаз равен нулю. Очевидно, что максимальное значение y – это и есть амплитуда колебаний.Запишем закон сохранения энергии, который выполняется для математического маятникаТогдаЦиклическая частота математического маятника рассчитывается по формулеТ.к амплитуда и циклическая частота соответственно равныТо уравнение гармонических колебаний представленного математического маятника примет видА по прошествии 5 с

Ответ: 4,5 см.

Задача 4. Шарик массой 200 г, подвешенный на нити совершает колебания. Шарику сообщили заряд 300 мкКл и поместили всю систему в электростатическое поле, линии напряжённости которого направлены вертикально вниз. После этого циклическая частота колебаний увеличилась вдвое. Найдите напряжённость поля.

ДАНО:СИРЕШЕНИЕЦиклическая частота математического маятника определяется по формулеСила тяжестиЭлектростатическая сила равна произведению заряда и напряжённости электрического поляВ электростатике заряд – это величина, аналогичная массе в механике. Ускорение свободного падения – это силовая характеристика гравитационного поля, а напряжённость – это силовая характеристика электрического поля. Поэтому, необходимо найти, так называемое, эффективное ускорение свободного падения, в соответствии с тем, что на маятник действует ещё и электростатическая силаЗапишем теперь выражение для начальной циклической частоты (то есть, до сообщения шарику заряда)Для конечной циклической частотыТ.к. по условию задачиПреобразуем данную формулу и выразим из неё Напряженность поля

Ответ: 1960 Н/Кл.

Задача 5. Материальная точка на нерастяжимой нити длиной 0,3 м совершает колебания, так что максимальный угол отклонения нити от вертикали составляет 30º. Найдите положение материальной точки в момент времени t = 5 с в системе отсчёта, связанной с положением равновесия. В начальный момент времени точка находится в положении равновесия.

ДАНО:РЕШЕНИЕЗапишем уравнение гармонических колебаний для каждой оси с учетом того, что сдвиг фаз равен нулюОчевидно, что амплитуда равны максимальным отклонениямЦиклическая частота математического маятника определяется по формулеТогда с учётом того, чтоУравнения гармонических колебаний для каждой оси принимают видТогда координаты точки через 5 с равны

Ответ: (–4,8 см; 1,3 см).

Источник: https://videouroki.net/video/26-matiematichieskii-maiatnik.html

2.3. Свободные колебания. Математический маятник

Частота математического маятника

Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела.

В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол φ появляется касательная составляющая силы тяжести Fτ = –mg sin φ (рис. 2.3.1).

Знак «минус» в этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.

Рисунок 2.3.1.Математический маятник. φ – угловое отклонение маятника от положения равновесия, x = lφ – смещение маятника по дуге

Если обозначить через x линейное смещение маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса l, то его угловое смещение будет равно φ = x / l. Второй закон Ньютона, записанный для проекций векторов ускорения и силы на направление касательной, дает:

Это соотношение показывает, что математический маятник представляет собой сложную нелинейную систему, так как сила, стремящаяся вернуть маятник в положение равновесия, пропорциональна не смещению x, а

Только в случае малых колебаний, когда приближенно можно заменить на математический маятник является гармоническим осциллятором, т. е. системой, способной совершать гармонические колебания. Практически такое приближение справедливо для углов порядка 15–20°; при этом величина отличается от не более чем на 2 %. Колебания маятника при больших амплитудах не являются гармоническими.

Для малых колебаний математического маятника второй закон Ньютона записывается в виде

Таким образом, тангенциальное ускорение aτ маятника пропорционально его смещению x, взятому с обратным знаком. Это как раз то условие, при котором система является гармоническим осциллятором.

По общему правилу для всех систем, способных совершать свободные гармонические колебания, модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением из положения равновесия равен квадрату круговой частоты:

Эта формула выражает собственную частоту малых колебаний математического маятника.

Следовательно,

Модель. Математический маятник

Любое тело, насаженное на горизонтальную ось вращения, способно совершать в поле тяготения свободные колебания и, следовательно, также является маятником. Такой маятник принято называть физическим (рис. 2.3.2).

Он отличается от математического только распределением масс. В положении устойчивого равновесия центр масс C физического маятника находится ниже оси вращения О на вертикали, проходящей через ось.

При отклонении маятника на угол φ возникает момент силы тяжести, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия:

Здесь d – расстояние между осью вращения и центром масс C.

Рисунок 2.3.2.Физический маятник

Знак «минус» в этой формуле, как обычно, означает, что момент сил стремится повернуть маятник в направлении, противоположном его отклонению из положения равновесия. Как и в случае математического маятника, возвращающий момент M пропорционален sin φ.

Это означает, что только при малых углах φ, когда sin φ ≈ φ, физический маятник способен совершать свободные гармонические колебания. В случае малых колебаний
и второй закон Ньютона для физического маятника принимает вид (см. §1.23)
где ε – угловое ускорение маятника, I – момент инерции маятника относительно оси вращения O.

Модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением равен квадрату круговой частоты:

Здесь ω0 – собственная частота малых колебаний физического маятника.

Следовательно,

Более строгий вывод формул для ω0 и T можно сделать, если принять во внимание математическую связь между угловым ускорением и угловым смещением: угловое ускорение ε есть вторая производная углового смещения φ по времени:

Поэтому уравнение, выражающее второй закон Ньютона для физического маятника, можно записать в виде

Это уравнение свободных гармонических колебаний (см. уравнение (*) §2.2). Коэффициент в этом уравнении имеет смысл квадрата круговой частоты свободных гармонических колебаний физического маятника.

По теореме о параллельном переносе оси вращения (теорема Штейнера) момент инерции I можно выразить через момент инерции IC относительно оси, проходящей через центр масс C маятника и параллельной оси вращения:

Окончательно для круговой частоты ω0 свободных колебаний физического маятника получается выражение:




Лучшие школы, лагеря, ВУЗы за рубежом
Математика, Аннглийский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: online подготовка к ЕГЭ на College.ru, библиотека ЭОРов и обучающие программы на Multiring.ru.

Источник: https://physics.ru/courses/op25part1/content/chapter2/section/paragraph3/theory.html

Математический маятник. Период колебаний математического маятника

Частота математического маятника

Математическим маятником называют материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити, прикрепленной к подвесу и находящейся в поле силы тяжести (или иной силы).

Исследуем колебания математического маятника в инерциальной системе отсчета, относительно которой точка его подвеса находится в покое или движется равномерно прямолинейно.

Силой сопротивления воздуха будем пренебрегать (идеальный математический маятник). Первоначально маятник покоится в положении равновесия С.

При этом действующие на него сила тяжести и сила упругости F?ynp нити взаимно компенсируются.

Выведем маятник из положения равновесия (отклонив его, например, в положение А) и отпустим без начальной скорости (рис. 1). В этом случае силы и не уравновешивают друг друга.

Тангенциальная составляющая силы тяжести , действуя на маятник, сообщает ему тангенциальное ускорение a?? (составляющая полного ускорения, направленная вдоль касательной к траектории движения математического маятника), и маятник начинает двигаться к положению равновесия с возрастающей по модулю скоростью. Тангенциальная составляющая силы тяжести является, таким образом, возвращающей силой. Нормальная составляющая силы тяжести направлена вдоль нити против силы упругости . Равнодействующая сил и сообщает маятнику нормальное ускорение , которое изменяет при этом направление вектора скорости, и маятник движется по дуге ABCD.

Рис. 1

Чем ближе подходит маятник к положению равновесия С, тем меньше становится значение тангенциальной составляющей . В положении равновесия она равна нулю, а скорость достигает максимального значения, и маятник движется по инерции дальше, поднимаясь по дуге вверх. При этом составляющая направлена против скорости.

С увеличением угла отклонения а модуль силы увеличивается, а модуль скорости уменьшается, и в точке D скорость маятника становится равной нулю. Маятник на мгновение останавливается, а затем начинает двигаться в обратном направлении к положению равновесия. Вновь пройдя его по инерции, маятник, замедляя движение, дойдет до точки А (трение отсутствует), т.е. совершит полное колебание.

После этого движение маятника будет повторяться в уже описанной последовательности.

Получим уравнение, описывающее свободные колебания математического маятника.

Пусть маятник в данный момент времени находится в точке В. Его смещение S от положения равновесия в этот момент равно длине дуги СВ (т.е. S = |СВ|). Обозначим длину нити подвеса l, а массу маятника — m.

Из рисунка 1 видно, что , где . При малых углах () отклонения маятника , поэтому

Знак минус в этой формуле ставят потому, что тангенциальная составляющая силы тяжести направлена к положению равновесия, а смещение отсчитывают от положения равновесия.

Согласно второму закону Ньютона . Спроецируем векторные величины этого уравнения на направление касательной к траектории движения математического маятника

Из этих уравнений получим

— динамическое уравнение движения математического маятника. Тангенциальное ускорение математического маятника пропорционально его смещению и направлено к положению равновесия. Это уравнение можно записать в видеa

Сравнивая его с уравнением гармонических колебаний , можно сделать вывод, что математический маятник совершает гармонические колебания. А так как рассмотренные колебания маятника происходили под действием только внутренних сил, то это были свободные колебания маятника. Следовательно, свободные колебания математического маятника при малых отклонениях являются гармоническими.

Обозначим

— циклическая частота колебаний маятника.

Период колебаний маятника . Следовательно,

Это выражение называют формулой Гюйгенса. Оно определяет период свободных колебаний математического маятника.

Из формулы следует, что при малых углах отклонения от положения равновесия период колебаний математического маятника:

  1. не зависит от его массы и амплитуды колебаний;
  2. пропорционален корню квадратному из длины маятника и обратно пропорционален корню квадратному из ускорения свободного падения.

Это согласуется с экспериментальными законами малых колебаний математического маятника, которые были открыты Г. Галилеем.

Подчеркнем, что эту формулу можно использовать для расчета периода при одновременном выполнении двух условий:

  1. колебания маятника должны быть малыми;
  2. точка подвеса маятника должна покоиться или двигаться равномерно прямолинейно относительно инерциальной системы отсчета, в которой он находится.

Если точка подвеса математического маятника движется с ускорением то при этом изменяется сила натяжения нити, что приводит к изменению и возвращающей силы, а следовательно, частоты и периода колебаний. Как показывают расчеты, период колебаний маятника в этом случае можно рассчитать по формуле

где — «эффективное» ускорение маятника в неинерциальной системе отсчета. Оно равно геометрической сумме ускорения свободного падения и вектора, противоположного вектору , т.е. его можно рассчитать по формуле

Источник: http://tepka.ru/fizika/13.6.html

Математический маятник. Частота колебаний математического маятника (формула)

Частота математического маятника

Математическиймаятник -материальная точка, подвешенная наневесомой нерастяжимой нити, и совершавшаяколебания в вертикальной плоскости поддействием силы тяжести.

Если отклонитьмаятник от положения равновесия,то силатяжести и силаупругости будутнаправлены под углом. Равнодействующаясила ужене будет равна нулю.

Под воздействиемэтой силы маятник устремится к положениюравновесия, но по инерции движениепродолжится и маятник отклоняется вдругую сторону. Равнодействующая силаего снова возвращает.

Частотаматематического маятника —Чем больше период колебаний математическогомаятника, тем меньше частота.

Важногде происходят колебания! На Луне и наЗемле один и тот же математическиймаятник при одинаковых начальныхусловиях колебаться будет по-разному.Так как ускорениесвободного падения наЛуне отличается от ускорения свободногопадения на Земле.

линейнаяскорость— это производная от пройденного путипо времени.

Отдельныеточки вращающегося тела имеют различныелинейные скорости (метр/сек).Скорость каждой точки, будучи направленапо касательной к соответствующейокружности, непрерывно изменяет своенаправление.

 Величинаскорости  определяетсяскоростью вращения тела ирасстоянием R рассматриваемой точки отоси вращения.

Пусть за малый промежутоквремени телоповернулось на уголТочка, находящаяся на расстоянии R отоси проходит при этом путь, равный :

Линейнаяскорость точки по определению:

линейноеускорение— это производная от скорости по времени.

Формулалинейного ускорения:

a= dv/dt = d2s/dt2,где s – путь,пройденный телом.

Сложениескоростей —с помощью данного закона определяетсяскорость движения тела относительнонеподвижной системы отсчёта. Она равнавекторной сумме скорости этого телаотносительно подвижной системы отсчетаи скорости самой подвижной системыотсчета относительно неподвижнойсистемы

Длятого, чтоб было более понятно, какработает закон сложения скоростей,рассмотрим такой пример. Вагон движетсясо скоростью 50 км\ч (это будет ),в вагоне идет человек со скоростью 3км\ч (это будет ),найти скорость человека относительноЗемли.

Уданной задачи будет два решения. Есличеловек будет идти по направлениюдвижения вагона, то скорость человекаотносительно Земли будет 53 км\ч.

Аесли человек будет идти против движениявагона, то скорость человека относительноЗемли будет 47 км\ч.

ВФормуле мы использовали :

 —Конечнаяскорость тела

 — Скоростьтел в различных инерциальных системахотчета

Колебанияназываются свободными(или собственными), если они совершаютсяза счет первоначальной сообщеннойэнергии при последующем отсутствиивнешних воздействий на колебательнуюсистему (систему, совершающую колебания).

Пружинныймаятник —это груз массой т,подвешенный на абсолютно упругой пружинеи совершающий гармонические колебанияпод действием упругойсилы Fkx, где kжесткостьпружины.

Частотапружинного маятника — Чем большепериод колебаний пружинного маятника,тем меньше частота

 —ЧастотаПружинного маятника,  — Периодколебаний маятника

 —Массагруза, или масса маятника,  —Жесткость пружины

  1. Угловая скорость, частота вращения, период вращения (определение, единицы измерения, связь между величинами). Связь между линейной и угловой скоростями.

Угловаяскорость численно равна углу поворотарадиуса за единицу времени.

Периоди частота

Периодвращения T -это время, за которое тело совершаетодин оборот.

Частотавращение — это количество оборотов заодну секунду.

Частотаи период взаимосвязаны соотношением

Связьс угловой скоростью

Линейнаяскорость точки.Направление вектора линейной скоростивсегда совпадает с касательной кокружности  Точка,лежащая на окружности радиусом R,за один оборот пройдет путь .Поскольку время одного оборота телаесть период T,то модуль линейной скорости точки можнонайти так:

Таккак ,то

  1. Условия возникновения затухающих колебаний (соотношение между собственной частотой и коэффициентом затухания). Амплитуда затухающих колебаний (формула).

Соотношение:β — коэффициент затухания. Этот коэффициентхарактеризует скорость затуханияколебаний, При наличии сил сопротивленияэнергия колеблющейся системы будетпостепенно убывать, колебания будутзатухать.

Амплитуда колебаний -это максимальное расстояние, накоторое удаляетсяколеблющееся тело от своего положенияравновесия. Амплитудазатухающих колебаний изменяется позакону ,где А0 –начальная амплитуда. Зависимостьамплитуды показана на рис. 8.3.

Рис.8.3. График затухающих колебаний

  1. Механическая работа (определение, единицы измерения). Мощность силы (определение, единицы измерения).

Механическаярабоат— тоскалярная физическая величина, котораяхарактеризует процесс перемещения телапод действием силы и равна произведениюмодуля силы F на модуль перемещения S ина косинус угла  междуними

 Еслитело под действием силы  совершаетперемещение ,работа А этойсилы равна скалярному произведениюсилы на вектор перемещения. Работа силыесть скалярная величинаА=

А=

мощностьсилы —скалярная физическая величина N, равнаяотношению работы А, совершаемой силой,к промежутку времени ,в течение которого она совершается:

Работасилы, совершаемая в единицу времени,называется мощностью.Мощность N этофизическая величина, равная отношениюработы A кпромежутку времени t,в течение которого совершена этаработа: 

ВМеждународной системе (СИ) единицамощности называется ватт(Вт).Ватт равен мощности силы, совершающейработу в 1 Дж за время 1 с. 

Еслитело движется прямолинейно и на негодействует постоянная сила, то онасовершает работу .Поэтому мощность этой силы

Источник: https://studfile.net/preview/2099581/page:6/

Booksm
Добавить комментарий